1.1.3直线的方程（第1课时）（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.3直线的方程 第一课时 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 1.倾斜角的定义：直线与轴相交时,取轴为基准，轴正方向与直线 向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角。 2.斜率的定义：我们把一条直线的的倾斜角α的正切值叫做这条直线的 斜率（slope）斜率通常用小写字母k 表示，即：k=tanα 3. 倾斜角、斜率、方向向量间的关系： 注：k值与直线上两点的顺序无关，斜率是定值． k＝ tanα = 直线的方向向量() 章节导读 1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系 1.3 直线 的方程 1.4两条直线的平行与垂直 1.5两条直线的交点坐标 直线的倾斜角 斜率 倾斜角与方向向量间的关系 一般式 、点法式 点斜式 、斜截式 、两点式 两条直线平行 两条直线垂直 1.6距离公式 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式 学 习 目 标 1 2 3 理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点及适用条件. 明确直线的点斜式方程和斜截式方程的参数含义. 能准确利用直线方程的点斜式、斜截式求直线方程. 读教材 阅读课本P8-P11，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“直线的点斜式方程”吧！ 1.直线的点斜式方程和斜截式方程是什么？ 2.任何直线都有点斜式、斜截式方程吗？ 3.直线的截距、直线与坐标轴交点到原点的距离相同吗？ 新课引入 下面我们一起来探究，直线上任意一点的 坐标满足的关系式？ 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线。也就是说，这条直线上任意一点的坐标与点的坐标和斜率之间的关系是完全确定。 那么，这一关系如何表示呢？ 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的点斜式方程 3 题型训练 2 直线的斜截式方程 新知探究1 探究1 在平面直角坐标系中，一条直线上任意一点的坐标与 直线上一点 和直线斜率之间的关系如何表示？ 解：如图， 设是直线上不同于点的任意点， 因为直线斜率为，由斜率公式得， 整理得. 新知探究1 思考 直线上每个点的坐标都满足关系式吗？ 解：由上述推导过程可知： 我们已经证明了直线上不同于点任意点的坐标都满足关系式： 因此：直线上每个点的坐标都满足关系式： 新知探究1 思考 坐标满足关系式的每一个点都在直线上吗？ 解：若点的坐标满足关系式，则有 当时，这时点与重合，点在直线上； 当时，有，即， 这时直线斜率为因为直线和直线的斜率都为且都过点，所以两条直线重合，点在直线上。 因此：坐标满足关系式的每一个点都在直线上。 新知1 1. 直线的点斜式方程： 直线的点斜式方程 方程:称为过点， 斜率为的直线的方程， 我们把它叫做直线的 点斜式方程，简称点斜式。 (1)直线上每个点的坐标(x, y)都满足关系式y－y0=k(x－x0)； (2)坐标满足关系式的每一个点都在直线上. 构成元素：直线上一定点，直线斜率 应用条件：直线斜率存在. 概念辨析 思考 当直线的斜率为0或者斜率不存在时，直线的方程是什么？ 当直线的斜率为时 即 当直线的斜率不存在时 不存在，直线与x轴垂直 不能用点斜式表示 即 l x y O P0(x0,y0) P(x,y) l x y O P0(x0,y0) P(x,y) 典例分析 例1 求出经过点P(－1，2)且满足下列条件的直线的方程，并画出直线： (1)倾斜角为 ； (2)与x 轴垂直； (3)与x 轴平行. 解：(1)∵直线的倾斜角为，∴该直线的斜率为k=tan ∴该直线方程的点斜式为y－2=[x－(－1)]； (2)∵直线经过点P(－1，2)且与x轴垂直，∴该直线的方程为x=－1； (3)∵直线经过点P(－1，2)且与x轴平行，即斜率k=0，∴该直线的方程为y=2. 课本第10页 典例分析 例2 求经过求经过A (－5，0)，B(3，－3)两点的直线的方程？ 解：由经过两点的直线斜率的计算公式，可得 所以该直线方程的点斜式为 即 课本第11页 典例分析 例3 写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(3,-1),斜率是； (2)经过点(,2),倾斜角是30°； (3)经过点(0,3),倾斜角是0°； (4)经过点(-4,-2),倾斜角是 (5)经过点，与平行； (6)经过点，且与轴垂直. 典例分析 例4 (1)直线点斜式方程是y=x，求直线的斜率、倾斜角？ (2)直线点斜式方程是，求直线的斜率和倾斜角？ 解：(1)=1，斜率为1，所求直线的倾斜角为 (2) 方法总结 直线的点斜式方程： 直线经过点 斜率不存在 斜率存在 k=0， 直线方程为 k≠0 ， 直线方程为 斜率不存在， 无点斜式方程 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的点斜式方程 3 题型训练 2 直线的斜截式方程 新知探究2 我们把直线与轴的交点的纵坐标b叫做直线在轴上的截距. （0，b） 探究2 该如何表示过点，斜率为的直线的方程？ 解：将点和斜率代入直线的点斜式方程， 得，即. 新知2 2. 直线的斜截式方程： 直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 构成元素：直线斜率，直线在轴上的截距 使用条件：直线斜率存在 （0，b） 斜截式方程 （特殊的点斜式） 新知2 3. 直线的直线的截距及其几何意义： 直线的斜截式方程 (1)坐标系中：把直线与轴的交点的纵坐标b 叫做直线在轴上的截距；把直线与轴的交点 的横坐标叫做直线在轴上的截距。 (2)直线方程式中： 令＝0，解出的 特别注意：截距不是距离(截距是直线与坐标轴的交点的横、纵坐标，可取任意实数，而距离是非负数， 所以截距不是距离) 概念辨析 思考 斜截式方程与一次函数之间有什么区别与联系？ (2)区别：对于，从函数的角度看，它表示的是自变量与因变量 之间的对应关系；而从直线方程的角度看，它表示的是平面直角坐标系中一条 直线上点的坐标所满足的代数关系.它们所讨论的问题是不一样的。 (1)联系：一次函数的解析式与直线的斜截式方程的形式一致， 一次函数的图象是一条直线，就是方程的直线. 另外，一次函数中的的系数≠0，否则就不是一次函数了；但直线的 斜截式方程中的可以为0，表达与轴平行或重合的直线. 典例分析 例1 倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的 斜截式方程是 . 解：∵直线的倾斜角为，∴其斜率， ∵直线与轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在轴上的截距是3或-3， ∴所求直线方程是或. 或. 注意： 距离与截距的区别 典例分析 例2 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2， 直线l 与l1平行且与l2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程？ 解：由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l ∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 典例分析 例3 分别写出下面直线方程的斜率与截距： 解：(1)斜率为2，在y轴上的截距为－4，在x轴上的截距为2； (2)斜率为－2，在y轴上的截距为4，在x轴上的截距为2； (3)斜率为－3，在y轴上的截距为0，在x轴上的截距为0。 (1)y=2x-4 (2)2x+y-4=0 (3)3x+y=0 方法总结 直线的斜截式方程： (1)截距是与坐标轴的交点横、纵坐标，可取任意实数， 而距离是非负数，所以截距不是距离； (2)截距分为横截距(与x轴交点的横坐标)与纵截距(与y轴交点的纵坐标)； (3)点斜式与斜截式适用条件：斜率存在， 所以当不能确定斜率是否存在时，要分情况讨论。 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的点斜式方程 3 题型训练 2 直线的斜截式方程 求直线方程 题型1 题型探究 例1 将直线绕它与轴的交点逆时针旋转 得到的直线方程？ 解：直线的斜率=1，倾斜角为，与轴的交点为(－1，0) 逆时针旋转， 所求直线的斜率为：且过点(－1，0)，所以直线方程为： 求直线方程 题型1 题型探究 题型探究 例3 已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点( ) A.(1,3) B.(－1，－3) C.(3,1) D.(－3，－1) 直线过定点问题 题型2 解：直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1).故选C. C 题型探究 例4 已知直线l：y＝kx＋2k＋1，求直线l 恒过的定点？ 解： 由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1). 直线过定点问题 题型2 题型探究 例5 已知直线l 在y 轴上的截距等于它的斜率，求直线l 的定点？ 解： 由题意可设方程为y＝ax＋a，即y－0＝a(x＋1)， 由点斜式方程可知，直线过定点(－1,0). 直线过定点问题 题型2 课堂小结 和的几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距. 两种直线方程:由定点和定方向确定直线 直线方程 几何要素 适用范围 点斜式方程（简称点斜式） 直线上一点坐 斜率 直线存在斜率 斜截式方程（简称斜截式） 斜率 直线在轴上的截距 直线存在斜率 即 不存在，直线与x轴垂直 不能用点斜式表示 即 感谢聆听! 例2 求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的eq \f(1,4)，且在y轴上的截距是－5的直线方程？ 解：∵直线y＝－eq \r(3)x＋1的斜率k＝－eq \r(3)，∴其倾斜角α＝120°，由题意， 得所求直线的倾斜角α1＝eq \f(1,4)α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3). ∵所求直线的斜率是eq \f(\r(3),3)，在y轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x－5. $$