5.4 二次函数与一元二次方程同步练习 2024-2025学年苏科版数学九年级下册

苏科版九年级下 5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习 一．选择题（共10小题） 1．抛物线y=x2-2x+1与坐标轴交点个数为（　　） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列二次函数的图象与x轴有两个不同的交点的是（　　） A．y=x2 B．y=x2+4 C．y=3x2-2x+5 D．y=3x2+5x-1 3．已知二次函数y=（a-1）x2-2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜-2 4．若二次函数y=x2+4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 5．二次函数y=2x2-2x+m（m为常数）的图象如图所示，如果当x=a时，y＜0，那么当x=a-1时，函数值（　　） A．y＜0 B．0＜y＜m C．m＜y＜m+4 D．y＞m 6．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是（　　） ​ A．-2＜x＜2 B．-4＜x＜2 C．x＜-2或x＞2 D．x＜-4或x＞2 7．若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c=0的解为（　　） A．x1=-3，x2=-1 B．x1=1，x2=3 C．x1=-1，x2=3 D．x1=-3，x2=1 8．若关于x的方程x2+px+q=0没有实数根，则函数y=x2-px+q的图象的顶点一定在（　　） A．x轴的上方 B．x轴的下方 C．x轴上 D．y轴上 9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，若∠OBC=∠OCA，则ac的值为（　　） A．-1 B．-2 C． D． 10．我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2-4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　） ①图象与坐标轴的交点为（-1，0），（3，0）和（0，3）； ②图象具有对称性，对称轴是直线x=1； ③当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大； ④当x=-1或x=3时，函数的最小值是0； ⑤当x=1时，函数的最大值是4， A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共5小题） 11．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线是x=1，它与x轴的一个交点是（3，0），则它与x轴的另一个交点是______． 12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ______． 13．如图，二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，4），B（8，2），则不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ______． 14．若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况为 ______． 15．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（-1，0）和（3，0），关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0（c≠0）的两个根分别是m和n,则= ______． 三．解答题（共5小题） 16．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax（x-2）+c（a为常数，且a＞0）． （1）求抛物线的对称轴； （2）当-2＜x＜-1时，抛物线在x轴上方，当2＜x＜3时，抛物线在x轴下方，求a,c满足的关系式； （3）已知该二次函数图象上有A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若对于m-1＜x1＜m,m＜x2＜m+1，总有y1＜y2，求m的取值范围． 17．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4（实数a为常数）的图象为图象T． （1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点； （2）是否存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由． 18．已知二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）． （1）求二次函数的表达式及A点坐标； （2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积的最大值及此时点D的坐标． 19．如图，二次函数图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，点C的坐标为（3，0），顶点D的坐标为（2，-1）． （1）求二次函数的表达式； （2）判断△ADC的形状，并说明理由． 20．如图1，抛物线y=ax2-2x+c（a≠0）的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，-3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的点，过点P作PM∥y轴交BC于点M，求PM的最大值及此时点P的坐标． 苏科版九年级下 5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、C 2、D 3、C 4、C 5、C 6、B 7、C 8、A 9、A 10、A  二．填空题（共5小题） 11、（-1，0）； 12、-2＜x＜6； 13、x＜-2或x＞8； 14、两个相等的实数根或两个不相等的实数根； 15、；  三．解答题（共5小题） 16、解：（1）已知二次函数y=ax（x-2）+c（a为常数，且a＞0）． ∵二次函数y=ax（x-2）+c=ax2-2ax+c, ∴对称轴为直线； （2）∵当-2＜x＜-1时，抛物线在x轴上方，对称轴为直线x=1， ∴由对称性可知当3＜x＜4时，抛物线也在x轴上方． ∵当2＜x＜3时，抛物线在x轴下方， ∴抛物线经过（3，0），即3a+c=0； （3）由题意可得：当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵m-1＜x1＜m,m＜x2＜m+1， ∴x1＜x2，总有y1＜y2 ∴当x=m-1≥1时，y随x的增大而增大，则y1＜y2始终成立， 解得m≥2； 当x=m-1＜1时，y随x的增大而减小，此时m＜2， 如解图， 要使y1＜y2，则x=m-1和x=m在对称轴两侧，且直线x=m-1到直线x=1的距离小于等于直线x=m到直线x=1的距离， 即1-（m-1）≤m-1， 解得 ∴， 综上所述． 17、解：当时，函数表达式为y=12x+6，令y=0，得，不符合题意， 当时，在y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4中，令y=0，得0=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4， 解得或， ∵，a是整数， ∴当2a+1是6的因数时，是整数， ∴2a+1=-6或2a+1=-3或2a+1=-2或2a+1=-1或2a+1=1或2a+1=2或2a+1=3或2a+1=6， 解得或a=-2或或a=-1或a=0或或a=1或， ∵a是整数， ∴a=-2或a=-1或a=0或a=1． 18、解：（1）把B（1，0），C（0，-3）代入y=x2+bx+c得：， 解得， ∴二次函数的表达式为y=x2+2x-3， 当y=0时，x2+2x-3=0， 解得x1=1，x2=-3， ∴A（-3，0）； （2）过点D作x轴的垂线交AC于点G，连接AD、CD， 设直线AC的表达式为y=kx+n, 把A（-3，0）、C（0，-3）代入得：， 解得， ∴直线AC的表达式为y=-x-3， 则， ∴当DG取最大值时，△ACD的面积最大， 设D（m,m2+2m-3），则G（m,-m-3）， ∵点D位于第三象限， ∴-3＜m＜0，DG=-m-3-（m2+2m-3）=-m2-3m, ∴， ∴当时，△ACD的面积最大，最大值为， 此时，点D的坐标为． 19、解：（1）∵顶点D的坐标为（2，-1）， ∴设y=a（x-2）2-1， 将点C（3，0）代入得：a（3-2）2-1=0， 解得：a=1， ∴y=（x-2）2-1； （2）△ADC是直角三角形， 当x=0时，y=（x-2）2-1=3， ∴A（0，3）， ∵C（3，0），D（2，-1）， ∴AC2=32+32=18，AD2=22+42=20，CD2=12+12=2， ∴AC2+CD2=AD2， ∴△ADC是直角三角形． 20、解：（1）把B（3，0），C（0，-3），代入y=ax2-2x+c（a≠0）得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3； （2）在二次函数y=x2-2x-3中，令y=0，得x2-2x-3=0， 解得：x1=-1，x2=3， ∴B（3，0）， 设直线BC的解析式为yBC=kx+b,将B（3，0），C（0，-3）代入得， ，解得， ∴直线BC的解析式为yBC=x-3， 设P（x,x2-2x-3），（0＜x＜3）， ∵PM∥y轴， ∴M（x,x-3）， ∴， ∵-1＜0， ∴当时，PM最大值为，此时． 学科网（北京）股份有限公司 $$