1.1集合的概念与表示（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

第一章 集合 1.1 集合的概念与表示 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：集合基本概念，元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法 教学难点：元素与集合的关系，集合中元素的三个特性的应用 理解集合的概念；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号． 理解元素确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题． 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。 课程目标 学科素养 数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法； 逻辑推理：互异性的辨析与应用； 数学运算：集合相等的参数计算，描述法转化为列举法时的运算； 直观想象：集合的图形表示； 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。 新知引入 实数集 有理数集 自然数集 鸟群、羊群、鱼群…都是“同一类对象汇集在一起”，这就是本章将要学习的集合. 蓝蓝的天空，一群鸟在欢快地飞翔 茫茫的草原，一群羊在悠闲地走动 清清的湖水，一群鱼在自由地游戏 在过去的学习中，我们已经使用了“自然数集”，“有理数集”，“实数集”等术语。那到底，什么是集合？怎么用集合语言来刻画研究的对象呢？ 新知引入 康托尔 罗素描述其“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作” 集合论是德国数学家康托尔于１９世纪末创立的． 康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过 “数集”限制，提出了一般性的“集合”概念． 希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”. 其实我们早已接触过集合，具体什么是集合，它有着什么的魅力？现在就让我们一起走进学习一下。 新知探究 情境2：在初中的数学学习中，我们曾做过下面的作业： 情境1：常言道：“物以类聚，人以群分”。各种事物因类别相同而聚合，各种人物因志趣不同而分开。 思考：究竟，什么是集合? 如何用数学语言表示集合? 新知探究 问题1：填一填，你能发现它们有什么共同特点吗？什么是集合？ 可以发现，对于给定的数，这个数要么可以填入“整数集合”，要么不可以填入“整数集合”中，两者有且只有一种情形成立。 “整数集合”是由确定的、互不相同的“数”组成。对于任意给定的一个数，这个数要么在“整数集合”中，要么不在整数集合中，两者一定有且只有一个成立。 √ × 新知探究 概念生成：集合与元素 集 合 定义 记法 一定范围内某些______、____ _对象的全体组成一个集合. 确定的 不同的 常用大写拉丁字母表示，如集合 __、集合__等. A B 元 素 定义 记法 集合中的 _____ _____称为该集合的元素，简称元. 常用小写的拉丁字母，表示. 每一个 对象 新知探究 “中国的直辖市”组成一个集合，该集合的元素就是 北京、天津、上海和重庆 如： 这5个字母 这3个字母 这4个数 ④“以内的所有质数”组成一个集合，该集合的元素就是 ②“中的字母”组成一个集合，该集合的元素就是 ③“”中的字母也组成一个集合，该集合的元素就是 新知探究 不是，不能；因为集合的元素具有确定性. 4个，因为集合的元素具有互异性. 一样，因为集合的元素具有无序性. 思考1：（1）…是“之间的所有偶数”这一集合里面的元素吗？ （2）“较小的数”能组成一个集合吗？ 思考2：集合：组成的集合，和集合： 组成的集合一样吗？ 思考3：1,2,1,3,4这五个数组成的集合中有几个元素？ 集合中元素的性质： 确定性，互异性，无序性 新知探究 符号 名称 含义 全体非负整数组成的集合 全体正整数组成的集合 全体整数组成的集合 全体有理数组成的集合 全体实数组成的集合 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 或 常用数集及其记法 新知探究 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与 集合的关系 属于 如果是集合中的元素，就说______ _______ “属于” 不属于 如果不是集合中的元素，就说________ _______ “不属于” 属于 不属于 元素与集合的关系 练习巩固 辨析1.下列例子都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？ （１）１～１０之间的所有偶数； （２）新希望中学年入学的全体高一学生； （３）所有的正方形； （４）到直线的距离等于定长的所有点； （５）方程的所有实数根； （６）地球上的四大洋； （ 7 ）某校高一（1）班所有跑得快的女生； （ 8 ）中国著名的数学家. √ × √ √ √ √ √ × 元素：2、4、6、8、10 元素：新希望中学2025年入学的全体高一学生 元素：所有正方形 元素：到直线的距离等于定长的所有点 元素：1，2 元素：太平洋，北冰洋，印度洋，大西洋 有限集 有限集 有限集 有限集 无限集 无限集 标准不确定，造成元素不确定 集合元素性质1 确定性 练习巩固 辨析2.集合是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（ ）. 、 、 、1 、 【答案】 辨析3.用符号“”或“”填空： 0 ； ； 0.5 ； ； ； . 小技巧：判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征或共同属性.要么是，要么不是. 新知探究 问题2：我们可以用自然语言描述一个集合.除此之外，还可以用什么方式来表示集合呢？ 前面我们遇到过的“中国的直辖市”组成的集合，“中的字母”组成的集合，还可以怎么表示呢？ 列举法和描述法是表示集合的常用方式 问题3：什么是列举法和描述法？ 新知探究 表示方法 定义 注意事项 例如 自然语言 列举法 描述法 集合的表示方法 用文字叙述的形式描述集合 把集合中的所有元素一一列举出来，并置于花括号“”内 将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来 注意叙述清楚 元素之间用“，”隔开，列举时与元素的次序无关. 写成的形式 “中国的直辖市”组成的集合 “中的字母”组成的集合 ； 新知探究 思考4：有没有其它方法可以表示集合呢？ 图法：形式：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合. 作用：直观地表示集合. 北京，上海， 天津，重庆 新知探究 集合相等： (1) 定义：如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等. (2) 本质：与相等，即A中的元素都是B的元素，（） 中的元素也都是A的元素（） 问题4：你能用不同的方法表示：由方程所有的实数解组成的集合吗？ 列举法： 描述法： 思考5：和是什么关系呢？ 典例精讲 例1：用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于 13 的所有偶数组成的集合； (2)由1～15 以内的所有质数组成的集合. 解：(1)设大于1且小于 13 的所有偶数组成的集合为A， 那么 (2)设由 1～15 以内的所有质数组成的集合为 B， 那么 . 小技巧：列举法表示应注意： (1)在元素个数较少或较多(无限）但有规律时用列举法表示集合， (2)“{ }”表示“所有”的含义，不能省略；元素之间用“，”隔开，而不能用“、”，元素无顺序，满足无序性. 典例精讲 例2：用描述法表示下列集合： (1) 大于1的所有偶数组成的集合； (2) 不等式 的解集. 解：(1)设大于1的偶数为 ，并且满足条件 ， 因此，这个集合表示为 (2)由 可得，故不等式的解集 为 . 小技巧：列举法表示应注意： (1)写代表元素，分清楚集合中的元素是数还是点或是其他的元素. (2)明确元素的共同特征，将写在竖线(冒号或分号)的后面. 新知探究 集合的分类： (1) 含有__________元素的集合称为有限集； (2) 含有__________元素的集合称为无限集； (3) _______________的集合称为空集，记作⌀. 有限个 无限个 不含任何元素 辨析3：判断正误 (1) ⌀ (　　) (2) 集合中的元素是和. (　　) (3) 集合是有限集. (　　) × × × 练习巩固 练习1：用下列所给对象能构成集合的是 、3的近似数 、所有小于0的实数 、某校高一班的游泳小能手 、全体很大的自然数 【答案】 练习2：下列说法正确的是 、某校爱好足球的同学组成一个集合　　　　　　　 、是不大于的自然数组成的集合 、集合和表示同一集合　　　　 、组成的集合有个元素 【答案】 练习巩固 练习4：用适当的方法表示下列集合： （1）由方程的所有实数根组成的集合； （2）一次函数与图象的交点组成的集合； （3）不等式的解集. 练习3. 用符号 “”或 “”填空： (1)设为所有亚洲国家组成的集合，则中国　　，美国　　，印度　　，英国　； (2)若，则　　； (3)若，则　　； (4)若，则　　，　　; (5) , , , . 练习巩固 练习5：集合，若，则的值为？ 解：当时，，此时满足题意； 当时，， 当时，满足题意， 当时，不满足集合互异性. 所以，的取值集合为. 小技巧：解决此类问题一般是先根据集合中元素的确定性求出元素中所含参数的所有可能取值，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验. 练习巩固 练习6：已知集合中含有两个元素和且，则的值为？ 解：∵，而中含有两个元素1和 ∴(1)若=1，则集合,不符合集合元素的互异性； (2)若，则=1（舍去）或， 当时集合，符合. 综上，的值为0. 练习7：已知，，若集合,则的值为 【答案】 小结 集合的概念 含义 元素的性质 元素与集合的关系 常见数集 研究对象 确定性、互异性、无序性 表示方法 集合 元素组成的整体 属于、不属于 :自然数集（非负整数集）； ：正整数集 整数集； 有理数集； 实数集 列举法、描述法、图法 分类 有限集、无限集、空集 元素 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $$