专题21.5 配方法（专项练习）（拓展延伸篇）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.5 配方法（专项练习）（拓展延伸篇） 【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·广西贺州·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·山西运城·模拟预测）配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 4．（21-22八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，若已知点，则下列结论一定不成立的是 A． B． C． D． 5．（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 6．（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，若第n个图形需要黑色棋子的个数是440个，则n的值为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 8．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 9．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是矩形，，是等边三角形，且点在射线上，点在射线上，点是的中点，连接，则长度的最小值为（   ） 2、 A．3 B． C． D． 3、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）方程的解是 ． 12．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）若分式的值为，则的值为 ；若，则 ． 13．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是 ． 14．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）如果，则 ． 15．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ． 16．（22-23八年级上·上海静安·期中）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，如果，则此时的值是 ． 17．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，是等腰直角三角形，，已知．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为 ． 18．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是 ；当C、F、G三点共线时，的长是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程： （1） （2）（配方法） 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知关于的方程只有一个负根，求的取值范围． 21．（本小题满分10分）（2025·河北·一模）如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果． 甲 乙 丙 丁 取倒数 平方 取相反数 加2 （1）若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果； （2）如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为，求选取的数字． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一个根为0，求实数的值； （2）当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于______对称； （2）若关于的多项式．关于对称，求的值； （3）整式关于______对称． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题，下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项得， 配方得， 所以， 直接开平方得， 所以． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是（   ） A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：； 【拓展应用】 （1）已知是实数，求代数式的最小值； （2）已知都是实数，求代数式的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.5 配方法（专项练习）（拓展延伸篇） 【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·广西贺州·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 直接根据配方法变形即可解答． 解： ． 故选A． 2．（2023·山西运城·模拟预测）配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：用配方法解一元二次方程的过程实际上把一元二次方程转化为一元一次方程的过程．先将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解． 解：先将一元二次方程由一般化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解，这个过程体现的数学思想是转化思想． 故选C． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先判断出，再将分式方程化成一元二次方程，利用直接开平方法解方程，然后进行检验即可得． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或（不满足，舍去）， 经检验，是原方程的解， 所以方程的根的情况是有一个实数根， 故选：C． 4．（21-22八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，若已知点，则下列结论一定不成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理可得：，再利用配方法求解的最小值，再求解的最小值，从而可得答案． 解：由勾股定理可得： 当时，有最小值 ∴的最小值为 所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意； 故选A 【点拨】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键． 5．（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点所在的象限． 解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，，， ∴点所在的象限是第一象限； 当时，，， ∴点所在的象限是第二象限； 综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限． 故选：A． 6．（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得，进而得到，把代入，配方可得，再根据非负数的即可求出的最小值，由倒数的定义得到是解题的关键． 解：∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 7．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，若第n个图形需要黑色棋子的个数是440个，则n的值为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】此题主要考查了图形变化规律，得出棋子数量与边数的关系是解题关键，结合前四个图形，得出图形与棋子个数的关系，求出n即可． 解：结合图形，第1个图形是， 第2个图形是，第3个图形是， 按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是． ∵第n个图形需要黑色棋子的个数是440个， ， 解得：（不合题意舍去）． 故选：B． 8．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 首先根据非负性得到，则，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可． 解：∵ ∴， ∴， ∴， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ③时，， 则化为：，解得：或（舍）； ④时，， 则化为：，解得：或（舍）； ⑤当时，均不成立， ∴方程的解为或或， 故选：A． 9．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A、B点的坐标，表示出的长，再根据配方法确定出的最小值；然后再根据三角形的面积可得的最大值，再根据点M在x轴负半轴解答． 解：∵点和点， ∴， ∴的最小值为1，此时最长， ∴， 解得． 又∵点M在x轴负半轴， ∴点M的坐标为． 故选：D． 【点拨】本题考查配方法的应用，解题的关键是根据三角形的面积判断出最小时，最长． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是矩形，，是等边三角形，且点在射线上，点在射线上，点是的中点，连接，则长度的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】先以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴和轴，建立平面直角坐标系，得出，再求出点，运用两点的坐标且结合勾股定理表示长度，即，即可作答． 解：以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴和轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ∵四边形是矩形，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， 设 ∴ ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， ∴， 当时，， 则长度的最小值为， 故选：A． 【点拨】本题考查了点的坐标，30度的直角三角形，勾股定理，矩形的性质，等边三角形的性质，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直接开平方法，掌握直接开平方法解方程是解题的关键．根据直接开平方法求解方程即可． 解：， ， 或（舍去）， ， 或． 故答案为：或． 12．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）若分式的值为，则的值为 ；若，则 ． 【答案】 1 或 【分析】根据分式值为的条件及配方法解一元二次方程即可求得答案． 本题考查分式值为的条件及配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 解：由分式值为的条件可得且， 解得：； ， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：或； 故答案为：；或． 13．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤，完全平方公式是解题的关键．根据配方法把原式变成平方和的形式，根据非负数的性质解答． 解： = = 因为任何数的平方都大于等于0， 所以，那么， 当，时，代数式取得最小值． 此时． 综上，该代数式的最小值是． 故答案为： 14．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）如果，则 ． 【答案】36 【分析】先将变形成，进而求得a、b的值，然后再对因式分解即可解答． 解： ，解得：； ． 故答案为：36． 【点拨】本题主要考查了配方法的应用、因式分解法的应用、非负数的性质等知识点，掌握完全平方公式的结构并配方成平方和等于零的形式是解答本题的关键． 15．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理及二次根式的应用，求得方程的两个根是关键．解一元二次方程，求得方程的两根，由勾股定理求得斜边的长． 解：解方程， 得：，， 即：直角三角形的两直角边分别和， 由勾股定理得斜边长为：． 故答案为：． 16．（22-23八年级上·上海静安·期中）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，如果，则此时的值是 ． 【答案】或 【分析】根据与的大小关系，取与中的最大值化简所求方程，求出解即可． 解：当，即时，方程为， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的解； 当，即时，方程为 去分母得：， 解得：（不符合题意，舍），， 经检验都为分式方程的解． 故答案为：或． 【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 17．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，是等腰直角三角形，，已知．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为 ． 【答案】（，） 【分析】设，过A作轴于点D，过C作轴，交AD于点E，证明，进而用b表示C点坐标，再由中点公式求得M点的坐标． 解：过A作轴于点D，过C作轴，交AD于点E，如图所示， ∵， ∴， 设，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M为BC的中点， ∴， ∴， 当时，PM有最小值， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 18．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是 ；当C、F、G三点共线时，的长是 ． 【答案】 或 【分析】如图 1 中，在的上方作正方形， 连接，求出的取值范围，再利用三角形中位线定理求解即可； 的长分两种情形，分别画出图形求解即可． 解：如图1中，在的上方作正方形， 四边形和四边形是正方形， ，， H为的中点， ， ， ，， ， ， ， ； 如图2中，当C，F，G三点共线时，连接， 过点D作于点J，交的延长线于点K，设交于点O，则， 四边形和四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 设，则， ， ， 或（舍）， ， ， ， ， ， ， 如图3，当C，G，F三点共线时， 同理可得，， 则， 综上所述，的长为或， 故答案为：，或． 【点拨】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会用分类讨论的思考问题． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·云南昆明·期中）解方程： （1） （2）（配方法） 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，进而根据直解开平方法解，即可求解． （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 解：（1）解：， ， ， 解得，； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 或 ，   解得：． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知关于的方程只有一个负根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据配方法解得，再根据关于的方程只有一个负根，列出一元一次不等式组，解之即可求解． 解：由配方法解方程得：， ， ， ，且原方程只有一个负根， ， ， 的取值范围：． 21．（本小题满分10分）（2025·河北·一模）如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果． 甲 乙 丙 丁 取倒数 平方 取相反数 加2 （1）若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果； （2）如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为，求选取的数字． 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题涉及到倒数、平方、相反数等数学概念的运算及解一元二次方程，熟练掌握概念解一元二次方程的解法是解题的关键。 （1）按照给定的运算顺序逐步计算即可。 （2）通过设未知数，根据运算顺序列出一元二次方程来求解。 解：（1）解：若选取数字2，按照丙乙丁甲的顺序运算得： ， （2）解;设所选数字为x，根据运算程序所以列出方程： ， ∴， 解得，， ∵所选数为非负数， ∴所选数为0． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一个根为0，求实数的值； （2）当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 【答案】（1）或；（2）13或11，详见分析 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的定义以及三角形三边关系等知识点， （1）将代入原方程可得出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值； （2）先求解方程的解，再结合（1）以及等腰三角形的定义和三角形的三边关系，即可找出三角形的腰长，再根据三角形的周长公式即可得出结论，将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键． 解：（1）∵方程有一个根为0， ∴把代入方程得， ∴或； （2）当时，方程为， 整理得， 配方得， 直接开平方得或， 解得， 当的底为3时，则该三角形的三边长为3，5，5，其周长为13， 当的底为5时，则该三角形的三边长为5，3，3，其周长为11， 综上所述，的周长为13或11． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于______对称； （2）若关于的多项式．关于对称，求的值； （3）整式关于______对称． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了配方法的应用，灵活运用配方法以及新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可解答； （3）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可． 解：（1）解：，则多项式关于对称． 故答案为：3． （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∵关于的多项式，关于对称， ∴， ∴． （3）解： ∴关于对称． 故答案为：． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题，下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项得， 配方得， 所以， 直接开平方得， 所以． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是（   ） A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：； 【拓展应用】 （1）已知是实数，求代数式的最小值； （2）已知都是实数，求代数式的最小值． 【答案】[问题解决]（1）A；（2）；[拓展应用]（1）4；（2） 【分析】本题主要考查利用完全平方公式下的配方法的应用， [问题解决]（1）根据运算过程即可知为完全平方公式； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； [拓展应用]（1）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，有最小值4； （2）将原式变形为，结合，即可知当且时，有最小值． 解：[问题解决]（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2， 则运用的是完全平方公式， 故选：A； （2）移项得，二次项系数化为1得， 配方得，即， 直接开平方得， 则； [拓展应用] （1）． 无论取什么数，都有， ， 当时，有最小值4， 即代数式的最小值是4； （2） ． 无论取什么数，都有， ， 当且时，有最小值， 即代数式的最小值是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$