专题21.4 配方法（专项练习）（夯实基础篇）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.4 配方法（专项练习）（夯实基础篇） 【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·新疆·三模）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，开方得，解得，故本选项不符合题意； D、，开方得，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）用配方法解方程，应把方程的两边同时（    ） A．加上 B．加上 C．减去 D．减去 【答案】C 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 解：， ， ， 所以用配方法解方程，应把方程的两边同时加上，即减去， 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）用配方法解一元二次方程，配方的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式、配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法． 结合完全平方公式进行配方即可得解． 解：根据完全平方公式可得， 即． 故选：． 4．（2025·全国·模拟预测）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义的理解，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据新定义得出，利用直接开平方法求解可得． 解：由题意可知，即， 解得：， 故选：B． 5．（2025·山东淄博·一模）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的距离公式列式计算，即可作答． 解：依题意，， 上式表示与之间的距离， ， 上式表示与之间的距离， 由勾股定理得， 结合三角形三边关系得的最大值是点B和点C的距离，即的最大值， 故选：B． 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 7．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）已知点的坐标为，则点到直线的距离最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】考查了配方法的应用，非负数的性质，坐标与图形性质，关键是得到点到直线的距离是． 点到直线的距离是，利用配方法即可得到点到直线的最小值． 解：点到直线的距离是， 当时，点到直线的最小值为1． 故选：B． 8．（21-22八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的多项式的最大值为7，则m的值可能是（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】A 【分析】将多项式配方后解答即可． 解：， 因为关于的多项式的最大值为7， 所以， 解得：， 所以可能为2． 故选：A． 【点拨】此题考查配方法的运用，关键是将多项式配方后解答． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 10．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，，点在正半轴上，点在直线上，当点的“点积值”为，点的“点积值”为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，解一元二次方程，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象是解题关键． 根据题意设，通过“点积值”的定义求出点坐标，根据平行四边形的性质结合“点积值”求出点的坐标，即可求解点的坐标． 解：点在直线上， 设， 点的“点积值”为， ，解得：， 或， 四边形是平行四边形， ， 设或， 点的“点积值”为， 或，解得：， ， 点在正半轴上， ． 故选：C． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·山西吕梁·二模）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程的方法：直接利用开平法求解即可． 解：， ， ， 故答案为：． 12．（23-24九年级下·浙江·自主招生）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，熟练掌握利用完全平方公式配方是解题的关键．先通过等式的变形对等式左边进行变形及配方，再利用非负数的性质求解即可． 解：， 两边同乘以，得：， 变形为：， 得：， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， 则， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数，解方程即可． 解：∵一元二次方程中不含x的一次项， 即不含x的一次项， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得：， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）若，其中x代表电路中的某个参数，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的性质，根据题意可得或，则或，据此求解即可． 解：∵， ∴或， ∴或， 解得或， ∵ ∴不符合题意舍去 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 16．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故答案为：3． 17．（20-21九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知的两边分别为和，第三边是方程的一个根，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握这些形状和方法，能熟练求直角三角形和等腰三角形面积是解题的关键．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理确定第三边的长，再分类判断三角形的形状，进而求其面积即可． 解：解方程， 得：，， 的两边分别为和， 第三边的边长， 即第三边的边长， 第三边的边长为或． ①当时， 又， 此三角形是直角三角形， 这个三角形的面积是：； ②当时， 此三角形是等腰三角形， 如图，设，， 过点作于点， ， ， 等腰三角形的面积为； 故答案为：或． 18．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）若方程能配成的形式，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一次函数图象与其系数的关系，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方得到，则，据此可得直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为；三． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·广西河池·期中）已知实数a，b满足，解关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性，二次方的非负性，一元二次方程的解法，根据题意得出，，是解题的关键． 先根据，得出，，得出一元二次方程，解方程即可． 解：∵ ∴， ∴， 原方程化为 ∴． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用直接开平方法求解． 解：（1）解： ∴； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北唐山·期末）下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（且）的求根公式的过程． ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 第四步 （1）嘉淇的解法从第_____步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是_____； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1）四，；（2） 【分析】本题考查配方法解一元二次方程： （1）观察可知，第四步，等号两边同时开平方时出现错误，应为； （2）先移项，再利用完全平方公式进行配方，即可求解． 解：（1）解：嘉淇的解法从第四步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是， 故答案为：四，； （2）解：， ， ． 22．（本小题满分10分）（2025·河北唐山·二模）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． （1）已知x为非零实数，计算：； （2）将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，以及配方法的应用． （1）根据新定义运算代入计算即可． （2）根据新定义运算可得，再进一步结合配方法证明即可 解：（1）解：； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x为何值，运算结果都不超过12． 23．（本小题满分10分）（2024九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： （1）求证：对于任何实数，都有； （2）不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系． （1）根据非负数的性质解答； （2）利用作差法比较大小即可． 解：（1）证明：， ； （2）解：， ， ，． ． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·四川眉山·期末）阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： （1）请补充完成探究二，直接在横线处填空； （2）当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? （4） 【答案】（1），；（2），最大值为；（3）时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键． （1）根据平方数的非负性，可得，则当时，取得最小值，由此即可求解； （2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，，结合（1）的方法即可求解； （3）设，则，则有，结合（1）的方法即可求解． 解：（1）解：∵，则， ∴当时，取得最小值， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）解：代数式变形得， ∵，则， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：四边形是长方形， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.4 配方法（专项练习）（夯实基础篇） 【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·新疆·三模）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）用配方法解方程，应把方程的两边同时（    ） A．加上 B．加上 C．减去 D．减去 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）用配方法解一元二次方程，配方的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·山东淄博·一模）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．6 6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）已知点的坐标为，则点到直线的距离最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 8．（21-22八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的多项式的最大值为7，则m的值可能是（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 9．（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，，点在正半轴上，点在直线上，当点的“点积值”为，点的“点积值”为时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·山西吕梁·二模）方程的根是 ． 12．（23-24九年级下·浙江·自主招生）若，则 ． 13．（24-25八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ． 14．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）若，其中x代表电路中的某个参数，则 ． 15．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 16．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 17．（20-21九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知的两边分别为和，第三边是方程的一个根，则的面积为 ． 18．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）若方程能配成的形式，则直线不经过第 象限． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·广西河池·期中）已知实数a，b满足，解关于x的一元二次方程． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北唐山·期末）下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（且）的求根公式的过程． ………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 第四步 （1）嘉淇的解法从第_____步开始出现错误； 事实上，当时，方程的求根公式是_____； （2）用配方法解方程：． 22．（本小题满分10分）（2025·河北唐山·二模）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． （1）已知x为非零实数，计算：； （2）将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 23．（本小题满分10分）（2024九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： （1）求证：对于任何实数，都有； （2）不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·四川眉山·期末）阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： （1）请补充完成探究二，直接在横线处填空； （2）当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? （4） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$