第10讲 直线的交点坐标与距离公式（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第10讲 直线的交点坐标与距离公式 【人教A版2019】 模块一 直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】解二元一次方程组即得交点坐标. 【解答过程】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立方程组可解得答案. 【解答过程】联立方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的方程与的方程联立,即可解得交点坐标为. 【解答过程】设直线的方程为，因为直线经过两点， 所以，解得， 所以的方程为， 将直线与直线的方程联立，解得， 所以直线与的交点坐标为． 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【解答过程】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过解方程组求出交点坐标，再结合互相垂直两直线斜率的关系、直线点斜式方程进行求解即可. 【解答过程】由，所以两直线的交点的坐标为， 因为直线的斜率为，所以与之垂直的直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线方程是， 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【解答过程】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】先求出两条已知直线的交点，再将求得的交点代入直线即可得解. 【解答过程】联立，解得， 将点代入到直线，得，故. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二下·湖北孝感·开学考试）经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出交点，再根据平行关系求方程即可. 【解答过程】解：联立，解得，即交点为， 因为直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即． 故选：B． 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【解题思路】将点分别代入两直线方程即可解得，. 【解答过程】将点代入直线的方程可得，解得； 将代入直线的方程可得，解得； 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出两条直线的交点，并根据交点在第一象限，解出的取值范围即可. 【解答过程】由得， 因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【解答过程】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B. 模块二 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型4 两点间的距离公式的应用】 【例4】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【解题思路】利用两点之间的距离公式计算即得. 【解答过程】点和点之间的距离为. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据斜率列方程，求得，进而求得. 【解答过程】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】根据题意，利用两点间的距离公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】因为与，可得， 即，解得或． 故选：A. 【变式4.3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【解题思路】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【解答过程】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B. 【题型5 点到直线的距离公式的应用】 【例5】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】点到直线的距离. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线与直线的交点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】联立方程得出交点，再应用点到直线距离公式计算即可. 【解答过程】联立得交点为，所以距离. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【解答过程】点到直线的距离公式得， 解得或． 故选：C. 【变式5.3】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离． 【解答过程】由得，即， 所以点到直线 的距离为， 故选：A． 【题型6 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例6】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【解答过程】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）平行直线与直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两直线平行可求得，根据两平行直线的距离公式计算即得. 【解答过程】由可得，因，故， 则与之间的距离为：. 故选：B. 【变式6.2】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）两条平行直线和间的距离为，则a，d分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据两线平行的判定列方程求参数a，再由平行线的距离公式求. 【解答过程】由题设，可得，则直线为， 所以. 故选：D. 【变式6.3】（24-25高三上·云南·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．或11 B．或16 C．1或11 D．1或16 【解题思路】根据两直线平行求出，再由距离公式求出，即可得解. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，解得，则直线，即为， 又与之间的距离是，所以，解得或； 所以或. 故选：C. 【题型7 与距离有关的最值问题】 【例7】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【解题思路】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解. 【解答过程】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将所求代数式等价为两点之间距离的平方，由动点在直线上，则最小值为定点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式，可得答案. 【解答过程】可表示为点到的距离的平方， 由点在直线上的运动， 则的最小值为点到直线的距离的平方， . 故选：A. 【变式7.2】（24-25高二上·山西·期中）已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 【解题思路】先求出定点，再根据当时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可. 【解答过程】将直线l的方程变形为，由， 得，所以直线l过定点， 当时，点P到l的距离最大，故最大距离为. 故选：D. 【变式7.3】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【解答过程】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【解题思路】直接利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】点到直线的距离. 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【解题思路】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【解答过程】设，则， 即， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两直线平行的充要条件先计算参数，再根据平行线的距离公式计算即可. 【解答过程】由题意可知，即，可化为， 所以两平行线的距离为. 故选：B. 4．（24-25高二上·福建福州·期中）直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】联立方程组求得交点坐标，由垂直求出直线斜率，然后写出直线方程. 【解答过程】联立方程组解得，即交点为， ，∴，∴，即. 故选：B. 5．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 6．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线不过第二象限，则原点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由直线不过第二象限，可得到的范围，再由点到直线的距离可求出其范围. 【解答过程】，即 令，解得， ∴直线过定点 ∵直线不过第二象限，∴或，解得 则原点到直线的距离 故选：B. 7．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若点在直线：上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【解题思路】根据表达式特征求出点到直线的距离即可. 【解答过程】易知代表点与点之间的距离， 因此当两点连线与直线垂直时，取得最小值， 其最小值为点到直线的距离. 故选：A. 8．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 【解题思路】根据点到直线的距离公式计算即可. 【解答过程】依题意，即,解得或. 故选：AB. 10．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（   ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【解题思路】联立求解直线的交点，将交点坐标代入即可得的值. 【解答过程】由题意可得这三条直线交于同一点，联立 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得， 解得或2，经检验，直线有交点，不平行. 故选：AC. 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 【解题思路】结合题设直线方程得两直线斜率为，，对于A，由直线垂直的关系列式即可求出m；对于B，根据直线平行和斜率的关系求出m，再结合直线平行间的距离公式即可求解；对于C，根据直线过定点问题的方法直接计算即可得解；对于D，由题设得点到直线距离的最大时，再结合两点间距离即可求解. 【解答过程】由题，斜率为， ，斜率为， 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，且即， 又两条平行直线与间的距离为， 所以或，故B错误； 对于C，对，令， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，由C可知直线过定点， 所以要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线：与直线：的交点坐标为 . 【解题思路】联立方程即可求解. 【解答过程】联立，解得，故交点为， 故答案为：. 13．（24-25高二上·河南信阳·阶段练习）已知点到直线的距离为1，则 . 【解题思路】利用距离公式可求的值. 【解答过程】由题设有，故，故. 故答案为：. 14．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 【解题思路】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案. 【解答过程】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 【解题思路】（1）易知直线斜率为负即可得，得出与坐标轴交点坐标解得，可得结果； （2）由（1）得，联立两直线方程即可解得交点坐标. 【解答过程】（1）易知直线斜率为负，可得，令，可得， 令0，可得， 所以，解得， 所以直线的斜率为． （2）由（1）得， 联立，解得， 所以直线与的交点坐标为. 16．（24-25高二上·重庆·期中）已知a为实数，设直线：，：. (1)若，求a的值； (2)若，求与的距离. 【解题思路】（1）根据两直线的位置关系求出即可； （2）根据两直线的位置关系求出，检验并利用两平行线间的距离公式计算即可求解. 【解答过程】（1）由题意知，若， 则，解得. （2）若，则，即，解得或. 当时，，此时， 两平行线之间的距离为； 当时，，此时重合，不符合题意. 所以两平行线之间的距离为. 17．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【解题思路】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可; （2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可. 【解答过程】（1）由解得, 即两直线的交点坐标为. 直线经过点和，由两点式方程得，， 化简得所求直线方程为. （2）由可得直线的斜率为， 故平行于直线的直线的斜率为， 结合（1）问可得：两条直线与的交点为， 由点斜式方程得，， 化简得所求直线方程为. 18．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知为实数，设直线，. (1)若，求的值及与的交点坐标； (2)若，求与的距离. 【解题思路】（1）根据直线方程特点，分和两种情况分析判断，利用两直线垂直的判断方法求得值，回代方程，联立即可求得交点坐标； （2）根据直线方程特点，分和两种情况分析判断，利用两直线平行的判断方法求得值，检验即得直线方程，再利用两平行直线的距离公式，计算即得. 【解答过程】（1）因为直线，，， 当时，直线，，不符合题意 当时，直线斜率为，直线斜率为， 由可得： 即，解得； 则， 联立方程组，解得， 则与的交点坐标为. （2）因为直线，，， 由（1）知：时，不符合题意; 当时，由可得：，即， 解得或， 当时，两直线方程均为，不合题意， 当时，方程为，即， 方程为，即， 故与的距离为. 19．（24-25高二上·浙江丽水·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程． 【解题思路】（1）求出交点坐标，由平行设的方程为，代入交点坐标求解可得． （2）分类讨论，判断斜率不存在的直线是否满足题意，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求解． 【解答过程】（1）由，解得， 可得两直线和的交点为, 当直线与直线平行，设的方程为， 把点代入求得， 可得的方程为． （2）当的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为2． 当的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，求得， 故的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 直线的交点坐标与距离公式 【人教A版2019】 模块一 直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2.3】（24-25高二下·湖北孝感·开学考试）经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式3.3】（24-25高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型4 两点间的距离公式的应用】 【例4】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【变式4.1】（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4.3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【题型5 点到直线的距离公式的应用】 【例5】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线与直线的交点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5.3】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【题型6 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例6】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）平行直线与直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）两条平行直线和间的距离为，则a，d分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6.3】（24-25高三上·云南·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．或11 B．或16 C．1或11 D．1或16 【题型7 与距离有关的最值问题】 【例7】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【变式7.1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·山西·期中）已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（    ） A．3 B． C． D．5 【变式7.3】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 3．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建福州·期中）直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线不过第二象限，则原点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若点在直线：上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 8．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．0 B． C．3 D．2 10．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（   ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 三、填空题 12．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线：与直线：的交点坐标为 . 13．（24-25高二上·河南信阳·阶段练习）已知点到直线的距离为1，则 . 14．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 16．（24-25高二上·重庆·期中）已知a为实数，设直线：，：. (1)若，求a的值； (2)若，求与的距离. 17．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 18．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知为实数，设直线，. (1)若，求的值及与的交点坐标； (2)若，求与的距离. 19．（24-25高二上·浙江丽水·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$