第09讲 直线的方程（二）（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第09讲 直线的方程（二） 【人教A版2019】 模块一 求直线方程的一般方法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（24-25高二上·云南·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】讨论直线是否过原点，再设直线的斜截式求解即可. 【解答过程】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上， 所以，解得，所以直线方程为， 故所求直线方程为或. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）斜率为，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线的点斜式方程求解即可. 【解答过程】所求直线方程为，即. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【解题思路】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【解答过程】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 【变式1.3】（24-25高二上·广东揭阳·阶段练习）写出满足下列条件的直线方程： (1)已知直线l过点，且倾斜角为. (2)已知直线l过点，且斜率为2. (3)已知直线l过两点. 【解题思路】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）利用直线的点斜式方程求解即得. （3）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【解答过程】（1）由直线的倾斜角为，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）直线的方程为，即. （3）直线的斜率，所以直线的方程为，即. 【题型2 直线过定点问题】 【例2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将直线化为，据此可得定点坐标. 【解答过程】 ， 令，解得，则所过定点为. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点. 【解答过程】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将直线化为，即可得定点. 【解答过程】直线可化为，则时有，即恒过定点． 故选：D. 【变式2.3】（24-25高二上·上海松江·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【解题思路】求出直线过的定点，即可得答案. 【解答过程】解：因为线的方程是， 即为， 令，解得， 即直线过定点, 所以直线一定经过第三象限. 故选：C. 模块二 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 【例3】（24-25高二上·广东·期中）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得到结果. 【解答过程】由题意可得直线的斜率为1，则直线的方程为，即. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）过点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由直线与直线垂直，求出要求直线的斜率，利用点斜式求解即可. 【解答过程】直线斜率为， 所以要求直线斜率为，又因为过点， 所以直线方程为，即. 故选：D. 【变式3.2】（2025·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案. 【解答过程】设边上的高所在的直线为， 由已知可得，，所以直线l的斜率. 又过，所以的方程为， 整理可得，. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线过点，且直线与直线平行，与直线垂直，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，利用垂直直线斜率关系，建立方程，结合点斜式方程，可得答案. 【解答过程】由题意得，直线与直线垂直， 则，解得， 故直线的方程为，即. 故选：B. 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）过点且与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设所求直线方程为，代入点的坐标可求. 【解答过程】设所求直线方程为， 因为该直线经过点，所以，故， 故所求直线方程为． 故选：A． 【变式4.1】（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设与直线平行的直线为，再将代入，即可得到结果. 【解答过程】因为直线，即， 设与平行的直线为， 将代入可得，解得， 所以直线方程为. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【解答过程】直线的斜截式方程为，则其斜率为， 因为直线过点，且与直线平行，所以， 则直线的点斜式方程为，即为． 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为. (1)求的一般式方程； (2)若直线经过点，且，求的方程. 【解题思路】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，在根据两点求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程即可； （2）根据平行直线的直线系方程假设出直线，再由直线经过点求出直线方程. 【解答过程】（1）由的三个顶点为，且为的中点， 可得，即，则， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，直线的方程为， 因为，可设直线的方程为， 直线经过点，可得，解得， 所以直线的方程为. 【题型5 根据两直线平行求参数】 【例5】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．2或4 【解题思路】根据两线平行有斜率相等列方程，求参数即可. 【解答过程】因为直线的斜率存在，当时，直线的斜率也一定存在， 所以，解得，经验证满足题设. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·北京延庆·期中）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据一般式方程的形式，结合两直线平行的条件，列式求解. 【解答过程】若直线，则，解得：. 所以“”是“直线的充分必要条件. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高二上·浙江金华·期末）直线：与直线：互相平行，则（    ） A．1 B．4 C． D． 【解题思路】根据两直线平行得到方程，解出验证即可. 【解答过程】因为两直线平行， 则有， 解得，经验证此时两直线不重合， 故选：C. 【变式5.3】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知直线与平行，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【解题思路】根据两直线平行要求，若直线与平行,则满足计算即可. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，解得或， 经检验时两直线重合. 故选：A. 【题型6 根据两直线垂直求参数】 【例6】（24-25高二上·广西南宁·期末）若直线和直线垂直，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】根据直线垂直满足的关系得到方程，求出答案. 【解答过程】由题意得，解得. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知直线，，若，则（    ） A．1或2 B．0 C． D．0或 【解题思路】利用两直线垂直的性质得到关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】因为，，， 所以，解得或， 经检验，或满足题意，故或. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由直线垂直的充要条件，可列出方程组解出即可. 【解答过程】由题意知：直线与直线垂直，则， 直线与直线垂直，则， 即得. 故选：B. 【变式6.3】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）当a为何值时，直线：与直线：. (1)平行； (2)垂直. 【解题思路】（1）根据题意得到，即可得到答案. （2）根据题意得到，即可得到答案. 【解答过程】（1）要使，则需满足. 故当时，直线与直线平行. （2）要使，则需满足，∴. 故当时，直线与直线垂直. 模块三 直线方程的实际应用 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（24-25高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答. 【解答过程】依题意，设l与t的关系式为：，是常数， 于是得，解得， 则l与t的关系式为，当时，， 所以所求直线的方程为，铁棒在100℃时的长度是m. 【变式7.1】（2025高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【解题思路】建立如图所示坐标系，利用垂直关系得到斜率关系从而得到直线方程，再代入点即可求出； 【解答过程】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m． 【变式7.2】（24-25高三·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、CD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段CD上，设此点为. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线方程； (2)若折痕所在的直线的斜率为k（k为常数），试用k表示点的坐标，并求折痕所在的直线方程. 【解题思路】（1）求得的坐标，进而求得折痕所在直线方程. （2）根据是否为进行分类讨论，结合中点和斜率求得折痕所在直线方程. 【解答过程】（1）设，由于折痕的斜率为， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 由解得，所以， 所以的中点坐标为， 所以折痕所在的直线方程为，即. （2）当时，，折痕所在直线方程为. 当时，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由解得，所以， 所以的中点坐标为， 所以折痕所在的直线方程为， 时，折痕也符合上式， 综上所述，折痕所在的直线方程为. 【变式7.3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【解题思路】（1）根据题意可得，根据直线的截距式方程即可求解. （2）设，可得，展开配方即可求解. 【解答过程】（1）由题意得， 所以线段所在直线的方程为，即； （2）设，则草坪的占地面积 故当时，，此时． 一、单选题 1．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【解题思路】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【解答过程】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设直线方程为，将代入化简即可得出答案. 【解答过程】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 3．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 【解题思路】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【解答过程】因为直线与互相垂直， 所以，解得或（方程不为直线，舍去）. 故选：D. 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【解答过程】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 5．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知直线的一个方向向量为，则下列直线与垂直的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线的方向向量得到斜率，然后求直线方程即可. 【解答过程】由题意知直线的斜率为，则直线与垂直. 故选：B． 6．（24-25高二上·广东湛江·期末）已知直线与直线平行，则（   ） A． B．或0 C．1 D．1或0 【解题思路】根据平行关系列式求解，并代入检验即可. 【解答过程】若直线与直线平行， 则，解得或， 若，直线与直线平行，符合题意； 若，直线与直线平行，符合题意； 综上所述： 或0. 故选：B. 7．（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据垂直关系，以及点斜式直线方程，即可求解. 【解答过程】，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 故选：A. 8．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知直线 ，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，直线 的倾斜角为 B．当 时， C．若 ，则 D．直线 的纵截距为 a 【解题思路】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；求出的纵截距后可判断D． 【解答过程】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误； 对于B，等价于，解得，故B错误； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，，当时，直线 的纵截距为，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·青海海南·期中）直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论直线l是否过原点，结合截距式方程运算求解即可. 【解答过程】当直线l过原点时，直线l的方程为，即； 当直线l不过原点时，设直线l的方程为， 则，解得， 则直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程可能是或. 故选：BD. 10．（24-25高二上·吉林·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在轴上的裁距为 C．过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 D．过点且垂直于直线的直线方程为 【解题思路】对于A，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；对于C，举反例即可判断C选项，从而求解；对于D，根据直线之间的垂直关系，将代入直线方程，可得答案； 【解答过程】对于A：得直线过定点，故A项正确，符合题意； 对于B：令，得，故在轴上的截距为，故B项正确，符合题意； 对于C：过点，且与坐标轴截距相等，故C项错误，不符合题意； 对于D：由的斜率分别为，则有， 故两直线互相垂直，将代入直线方程得， 故在直线上，故D项正确，符合题意； 故选：ABD. 11．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【解题思路】根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【解答过程】过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知直线l的方程为，则直线l过定点 . 【解题思路】利用直线过定点的求法即可得解. 【解答过程】直线，可化为， 令，解得，所以直线恒过定点. 故答案为：. 13．（24-25高二上·湖北·期中）经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为 或 . 【解题思路】分情况讨论直线是否过原点，然后根据不同情况求出直线方程. 【解答过程】当直线过原点时,因为直线过原点和点，则斜率. 直线方程为，即.   当直线不过原点时,设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线的截距式方程为. 因为直线过点，将点的坐标代入截距式方程. 解得. 所以直线方程为，化为一般式为.   故所求直线方程为或. 故答案为：或. 14．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 【解题思路】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【解答过程】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此 故答案为：2. 四、解答题 15．（24-25高二上·重庆·阶段练习）根据下列各条件写出直线方程，并化为一般式． (1)斜率是，经过点； (2)经过点两点； 【解题思路】（1）根据点斜式，即可求出直线方程，再将其化为一般式方程； （2）根据两点式，即可求出直线方程，再将其化为一般式方程. 【解答过程】（1）由点斜式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为； （2）由两点式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为． 16．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知的顶点分别为． (1)求边的中线所在直线的方程； (2)求边的垂直平分线所在直线的方程． 【解题思路】（1）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由点斜式可得直线方程； （2）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由垂直可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程； 【解答过程】（1）设中点的坐标为，则，，所以， 边的中线过点两点， 所以， 所以所在直线方程为， 即； （2）因为的斜率， 所以的垂直平分线的斜率， 所以的垂直平分线所在直线的方程为， 即． 17．（24-25高二上·青海海南·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的值． 【解题思路】（1）根据直线平行列式求解，并代入检验即可； （2）根据直线垂直列式求解即可. 【解答过程】（1）因为，则， 整理得，解得或， 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意． 综上所述：． （2）因为，所以，解得或． 18．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知顶点，，. (1)求边BC上的高所在直线的方程； (2)若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程. 【解题思路】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其高线方程； （2）当直线l过坐标原点时可得直线方程；当直线l不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. 【解答过程】（1）由、，且， 所以其高线斜率满足，即， 所以边BC的高所在直线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 19．（24-25高二上·陕西延安·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【解题思路】（1）将直线整理后解方程组可得，分情况讨论截距是否为零可得直线的方程； （2）分别解得两点坐标求得面积的表达式，利用基本不等式即可得的最小值以及此时直线的方程． 【解答过程】（1）将整理可得， 令，可得， 即可得定点， 若在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为； 若在两坐标轴上截距不为零且相等， 设直线的截距式方程为，代入点即可得，解得； 此时直线的方程为； 综上可知直线的方程为或； （2）易知，且，可得； 所以三角形的面积为； 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最小值为，此时直线的方程为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线的方程（二） 【人教A版2019】 模块一 求直线方程的一般方法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（24-25高二上·云南·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1.1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）斜率为，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【变式1.3】（24-25高二上·广东揭阳·阶段练习）写出满足下列条件的直线方程： (1)已知直线l过点，且倾斜角为. (2)已知直线l过点，且斜率为2. (3)已知直线l过两点. 【题型2 直线过定点问题】 【例2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·上海松江·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 模块二 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 【例3】（24-25高二上·广东·期中）已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）过点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2025·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线过点，且直线与直线平行，与直线垂直，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）过点且与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为. (1)求的一般式方程； (2)若直线经过点，且，求的方程. 【题型5 根据两直线平行求参数】 【例5】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．2或4 【变式5.1】（24-25高二上·北京延庆·期中）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5.2】（24-25高二上·浙江金华·期末）直线：与直线：互相平行，则（    ） A．1 B．4 C． D． 【变式5.3】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知直线与平行，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【题型6 根据两直线垂直求参数】 【例6】（24-25高二上·广西南宁·期末）若直线和直线垂直，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 【变式6.1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知直线，，若，则（    ） A．1或2 B．0 C． D．0或 【变式6.2】（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）当a为何值时，直线：与直线：. (1)平行； (2)垂直. 模块三 直线方程的实际应用 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（24-25高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【变式7.1】（2025高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【变式7.2】（24-25高三·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、CD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段CD上，设此点为. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线方程； (2)若折痕所在的直线的斜率为k（k为常数），试用k表示点的坐标，并求折痕所在的直线方程. 【变式7.3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 一、单选题 1．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知直线的一个方向向量为，则下列直线与垂直的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东湛江·期末）已知直线与直线平行，则（   ） A． B．或0 C．1 D．1或0 7．（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知直线 ，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，直线 的倾斜角为 B．当 时， C．若 ，则 D．直线 的纵截距为 a 二、多选题 9．（24-25高二上·青海海南·期中）直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·吉林·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在轴上的裁距为 C．过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 D．过点且垂直于直线的直线方程为 11．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 三、填空题 12．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知直线l的方程为，则直线l过定点 . 13．（24-25高二上·湖北·期中）经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为 . 14．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·重庆·阶段练习）根据下列各条件写出直线方程，并化为一般式． (1)斜率是，经过点； (2)经过点两点； 16．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知的顶点分别为． (1)求边的中线所在直线的方程； (2)求边的垂直平分线所在直线的方程． 17．（24-25高二上·青海海南·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的值． 18．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知顶点，，. (1)求边BC上的高所在直线的方程； (2)若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程. 19．（24-25高二上·陕西延安·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$