精品解析：安徽省怀宁县高河中学2024-2025学年高一下学期5月联考数学试题（E卷）

2024～2025学年度第二学期高一5月联考 数学（E卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，点是棱的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形和正方形的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直，点在线段上运动，点在正方形内运动，，且始终保持，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 对任意两个非零向量，定义新运算：表示向量的夹角．若非零向量满足，向量的夹角，且是整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 10. 已知中，角、、的对边分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是直角三角形，则 D. 若是锐角三角形，是线段上一点，则的最小值为 11. 如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 13. 已知非零向量的夹角为，且，则在上的投影向量为______． 14. 如图，已知正四棱锥的棱长均为2，分别是的中点，是所在平面内的一点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数是关于的方程的一个根，复数． （1）求； （2）若复数为纯虚数，求． 16. 已知向量满足，且. （1）求向量与的夹角的余弦值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 在面积为的锐角中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，为外接圆的圆心，记和的面积分别为，求的最大值． 18. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点的直线与边分别相交于点．设，． （1）若，求的值； （2）求的最小值； （3）若是边长为的等边三角形，求的最小值． 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期高一5月联考 数学（E卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法以及几何意义即可求解. 【详解】由，得复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算及向量垂直的条件计算即可. 【详解】因为，所以，解得． 故选：A． 3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，求面积即可. 【详解】由题可知原图中，，，， 所以的面积为． 故选：C． 4. 某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据体积先计算出圆锥的高，再根据高计算出圆锥的母线，即展开图扇形的半径，最后在根据弧长公式求出圆心角. 【详解】设圆锥的高为，则，解得，母线长为， 所以圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为． 故选：D． 5. 已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，点是棱的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，推出就是异面直线与所成角或其补角，由条件证明两两垂直，利用余弦定理求出相关边和角即得. 【详解】如图，取的中点，连接， 则，所以就是异面直线与所成角或其补角． 因，，则两两垂直， 在中，，，所以． 连接，在中，，， 由余弦定理，， 在中，，所以， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D． 6. 在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简可得，计算可得，由正弦定理可得，代入可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以，所以，故． 由正弦定理，得， 故． 故选：B． 7. 如图，正方形和正方形的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直，点在线段上运动，点在正方形内运动，，且始终保持，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证得平面，再结合三角形全等的性质及圆的性质求出最小值. 【详解】如图，过点作，垂足为，连接， 而，，，平面，则平面． 又平面，则，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 平面，于是，而，因此，即， 则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，所以的最小值为． 故选：B 8. 对任意两个非零向量，定义新运算：表示向量的夹角．若非零向量满足，向量的夹角，且是整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由新定义运算结合向量及三角函数相关运算即可求解． 【详解】由，知． 因为，所以，． 因为，所以，． 因为是整数，所以，所以，， 而，即，所以， 因为，，所以，即， 故的取值范围为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的性质、共轭复数的概念、复数的乘除、模的计算等对每个选项逐一判断即可. 【详解】取，，满足，而虚数不能比较大小，故A错误； 由，知是的共轭复数，则，故B正确； 设，，则， 则即，于是，若， 则成立，此时； 若，，由知；由知：，此时； 同理当时，；若，由得， 则，此时；因此若，则或，故C正确； 取，，满足，而，故D错误． 故选：BC. 10. 已知中，角、、的对边分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是直角三角形，则 D. 若是锐角三角形，是线段上一点，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可判断A；结合正弦定理与三角恒等变换可判断B；由已知可得，计算可求得，可判断C；利用平面向量数量积的运算性质和二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】由，得，由余弦定理得， 即，故A正确； 由及正弦定理，得，即， 所以，即， 所以，故B错误； 由上知，所以均不为直角，进而，则， 代入，得．因为为锐角，所以，， 所以，所以，故C正确； 过作，则．又在之间运动时，与的夹角为钝角， 因此要求的最小值，应在之间运动，即， 又， 当时，取最小值为，故D错误． 故选：AC． 11. 如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出正方体的体对角线得球半径判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；作出二面角并求解判断C；作出截面并求出面积判断D. 【详解】对于A，由，得正方体的外接球半径， 因此正方体的外接球表面积为，A错误； 对于B，由，，得四边形是平行四边形，， 而平面，平面，则平面， 是平面与平面的交线，平面，因此，B正确； 对于C，分别取的中点，，连接，则， ，，，又，则，， 因此是平面和平面所成的二面角的平面角， 则，C正确； 对于D，延长使得，连接交于点，连接交于点， 则，，且，， 四边形为菱形，平面截正方体所得截面为五边形， 又，，， 所以的面积为，五边形的面积为，D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘方进行计算，找出规律，然后根据共轭复数的概念即可得到结果. 【详解】因为；；；， 所以， 那么，所以． 故答案为：. 13. 已知非零向量的夹角为，且，则在上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由数量积的运算律结合投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由题知， 所以在上的投影向量为． 故答案为： 14. 如图，已知正四棱锥的棱长均为2，分别是的中点，是所在平面内的一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可证得平面．则关于平面对称，可得即可得出结果. 【详解】如图，连接．因为，都为正三角形，为的中点， 所以，，，所以平面． 所以关于平面对称，，， 当且仅当三点共线时，等号成立，即的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数是关于的方程的一个根，复数． （1）求； （2）若复数为纯虚数，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程中，结合复数相等求出的值，从而求得的模； （2）根据复数为纯虚数求得的值，再进行复数的除法运算即可． 【小问1详解】 由题知， 整理得， 则，解得，所以， ． 【小问2详解】 由（1）知，， 因为复数为纯虚数，所以，解得， 所以，所以． 16. 已知向量满足，且. （1）求向量与的夹角的余弦值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算来求向量的模和夹角即可； （2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不共线，再利用向量积的运算和共线运算即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以 ， 所以. 【小问2详解】 ， 由题意知且向量与不共线， 所以，且， 解得，且，即实数的取值范围为. 17. 在面积为的锐角中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，为外接圆的圆心，记和的面积分别为，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理及三角形的面积表示，化简求得的值； （2）利用余弦定理及二次函数性质求得的最大值． 【小问1详解】 由及， 得， 又，所以，所以， 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 设外接圆的半径为，则，且，即． 因为，， 所以， ， 所以， 因为为锐角三角形，所以解得， 所以， 令，则， 所以当时，取得最大值． 18. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点的直线与边分别相交于点．设，． （1）若，求的值； （2）求的最小值； （3）若是边长为的等边三角形，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算直接求得，代入即可求得结果； （2）根据三点共线可求得，利用“”的代换和基本不等式可求得结果； （3）以为基底可表示出，平方后可整理得到关于的二次函数，利用基本不等式可求得的范围，进而得到结果. 【小问1详解】 为中点，， 为中点，，， . 【小问2详解】 由（1）得：， 三点共线，， （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. 【小问3详解】 ， ， ，，， ， ， ， 由（2）知：，即． 又，，解得：（当且仅当时取等号）， ， ，当时，取得最小值：， 即的最小值为. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 在中，，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，平面，，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得到，即可求证； （2）取的中点，证明是二面角的平面角，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，证明点到平面的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，分析的最大、最小值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，取的中点，连接． 因为平面，平面平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，，是的中点，所以，， 所以是二面角的平面角． 在等边中，，，所以， 在中，因为，，所以， 在平行四边形中，， 所以，， 在中，， 所以， 故二面角的正弦值为． 【小问3详解】 如图，过点作，交的延长线于点． 因为，，，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 又，，，平面， 所以平面，， 所以． 因为，平面，平面，所以平面． 又因为点在棱上，所以点到平面的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 当时，最短，为， 可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为， 当点与重合时，最长，为4， 可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $