假期作业28 事件的相互独立性、频率与概率-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

假期作业２８　事件的相互独立性、频率与概率　　　　　　　 １．相互独立事件的定义和性质 (１)定义:对任意两个事件A 与B,如果P(AB) ＝　　　　成立,则称事件A与事件B相互 独立,简称独立． (２)性质:如果A 与B 相互独立,那么A 与􀭺B, 􀭿A 与B,􀭿A 与􀭺B 也都相互独立． ２．频率的稳定性 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离 概率的幅度会　　　　,即事件A 发生的 频率fn(A)会逐渐稳定于事件 A 发生的 　　　　．我们称频率的这个性质为频率的 稳定性．因此,我们可以用　　　　估计概 率P(A)． ３．产生随机数的方法:教材中给出了两种产生 随机数的方法:①利用带有PRB 功能的计 算器产生随机数;②用计算机软件产生随机 数,比如用 Excel软件产生随机数．我们只 要按照它的程序一步一步执行即可． ４．用随机模拟估计概率的步骤 (１)建立概率模型; (２)进行模拟试验,可用计算器或计算机进行 模拟试验; (３)统计试验结果． ◆[考点一]　事件的相互独立性 １．(２０２５􀅰山东潍坊高一期末)抛掷两枚质地 均匀的骰子,设事件A＝“第一枚出现偶数 点”,B＝“第二枚出现奇数点”,则下列说法 正确的是 (　　) A．A 与B 互斥 B．A 与B 互为对立 C．A 与B 相等 D．A 与B 相互独立 ２．若事件E 与F 相互独立,且P(E)＝P(F) ＝１３ ,则P(EF)的值等于 (　　) A．０　　　B．１９　　　C． ２ ９　　　D． １ ３ ３．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞 赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 ２ ３ 和３ ４ ,甲、乙两人是否获得一等奖相互独 立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概 率为 (　　) A．３４　　　B． ２ ３　　　C． ５ ７　　　D． ５ １２ ４．(２０２５􀅰河北沧州高一期末)为了丰富员工 的业余生活,某企业举办了有奖答题活动, 参加活动的员工依次回答三个问题,不管答 对或者答错,三题答完活动结束．规定每位 员工只能参加一次活动,且至少答对两道题 才能获奖．已知员工甲第一题答对的概率为 ３ ４ ,第二题答对的概率为２ ３ ,第三题答对的 概率为１ ２ ,假设员工甲是否答对每一题相互 独立,则员工甲获奖的概率为　　　　． ◆[考点二]　频率与概率的关系 ５．连续抛掷一枚质地均匀的硬币１０次,若前 ４次出现正面朝上,则第５次出现正面朝上 的概率是 (　　) A．１１０ B． １ ６ C． ２ ５ D． １ ２ ６．(多选题)投掷一枚普通的正方体骰子,四位 同学各自发表了以下见解,其中正确的见 解有 (　　) A．出现“点数为奇数”的概率等于出现“点 数为偶数”的概率 B．只要连掷６次,一定会“出现１点” C．投掷前默念几次“出现６点”:投掷结果 “出现６点”的可能性就会加大 D．连续投掷３次,出现的点数之和不可能 等于１９ ７．在６月６日第２８个全国“爱眼日”即将到来 之际,教育部印发«关于做好教育系统２０２５ 年全国“爱眼日”宣传教育工作通知»,呼吁 青年学生爱护眼睛,保护视力．众所周知,长 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８５ 时间玩手机可能影响视力．据调查,某校学 生大约４０％的人近视,而该校大约有３０％ 的学生每天玩手机超过２h,这些人的近视 率约为５０％．现从每天玩手机不超过２h的 学生中任意调查一名学生,则该名学生近视 的概率为 (　　) A．３１４ B． ５ １４ C． ３ ７ D． ４ ７ ８．(２０２５􀅰湖南怀化高一学科素养测试)在一个 不透明的纸盒中装有６个白球和若干个红球, 这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸 出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过多次 重复试验发现摸出红球的频率稳定在０．８附 近,则袋子中红球约有　　　　个． ◆[考点三]　相互独立事件的综合应用 ９．(多选)甲、乙两人进行篮球比赛,若甲投中 的概率为０􀆰８,乙投不中的概率为０􀆰１,且两 人投篮互不影响,若两人各投篮一次,则下 列结论中正确的是 (　　) A．两人都投中的概率为０􀆰７２ B．至少一人投中的概率为０􀆰８８ C．至多一人投中的概率为０􀆰２６ D．恰好有一人投中的概率为０􀆰２６ １０．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜 语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一 方获胜,否则本次平局,已知每次活动中, 甲、乙猜对的概率分别为５ ６ 和１ ５ ,且每次活 动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也 互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为 　　　　,３次活动中,甲至少获胜２次的 概率为　　　　． １１．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等 信息,安排一名员工随机收集了在该超市 购物的 １００ 位顾客的相关数据,如下表 所示． 一次购物量 １~４件 ５~８件 ９~１２件 １３~１６件 １７件及 以上 顾客数(人) x ３０ ２５ y １０ 结算时间 (分钟/人) １ １􀆰５ ２ ２􀆰５ ３ 已知这１００位顾客中一次购物量超过８件 的顾客占５５％． (１)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的 结算时间的平均值; (２)求一位顾客一次购物的结算时间不超 过２分钟的概率(将频率视为概率)． １２．(２０２５􀅰广东湛江高一期末)MATLAB是 一种数学软件,用于数据分析、无线通信、 深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处 理、量化金融与风险管理、人工智能机器人 和控制系统等领域,推动了人类基础教育 和基础科学的发展,某中学举行了 MATＧ LAB科普讲座后进行了问答比赛,已知 甲、乙两位同学互不影响地参加比赛,且每 一道题答对与否互不影响,甲、乙答对每一 道题的概率分别为１ ２ 与p,乙连续２题答 错的概率为１ １６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９５ (１)求乙答对一道题的概率; (２)若甲、乙两人各回答２道题,求两人共 答对３道题的概率． １．(２０２５􀅰江西景德镇高一期中)甲和乙两人 进行投壶比赛,一场比赛投中得分情况分 “有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种,其 中“有初”算“两筹”,“贯耳”算“四筹”,“散 射”算“五筹”,“双耳”算“六筹”,“依竿”算 “十筹”,比赛三场得筹数最多者获胜．假设 甲投中“有初”的概率为１ ３ ,投中“贯耳”的概 率为１ ６ ,投中“散射”的概率为１ ９ ,投中“双 耳”的概率为１ １２ ,投中“依竿”的概率为１ ３６ , 乙的投掷水平与甲相同,且甲和乙投掷相互 独立．若比赛第一场,两人平局;第二场,甲 投了个“贯耳”,乙投了个“双耳”,则三场比 赛结束时,甲获胜的概率为 (　　) A．４６２１３ B． １７ １９３ C． １３ １２１ D． ８３ ４３２ ２．(多选题)(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)在信道内传 输０,１信号,信号的传输相互独立．发送０ 时,收到１的概率为α(０＜α＜１),收到０的 概率为１－α;发送１时,收到０的概率为β (０＜β＜１),收到１的概率为１－β．考虑两种 传输方案:单次传输和三次传输．单次传输 是指每个信号只发送１次;三次传输是指每 个信号重复发送３次．收到的信号需要译 码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号 即为译码;三次传输时,收到的信号中出现 次数多的即为译码(例如,若依次收到１,０, １,则译码为１)． (　　) A．采用单次传输方案,若依次发送１,０,１,则 依次收到１,０,１的概率为(１－α)(１－β) ２ B．采用三次传输方案,若发送１,则依次收 到１,０,１的概率为β(１－β) ２ C．采用三次传输方案,若发送１,则译码为１ 的概率为β(１－β) ２＋(１－β) ３ D．当０＜α＜０．５时,若发送０,则采用三次 传输方案译码为０的概率大于采用单次 传输方案译码为０的概率 陈景润是一个家喻户晓的数学家,在攻克哥 德巴赫猜想方面作出了重大贡献,创立了著名的 “陈氏定理”,所以有许多人亲切地称他为“数学 王子”.但有谁会想到,他的成就源于一个故事. 一天,清华大学教授沈元老师在数学课上给大家 讲了一故事:“２００年前有个法国人发现了一个有 趣的现象:６＝３＋３,８＝５＋３,１０＝５＋５,１２＝５＋ ７,２８＝５＋２３,１００＝１１＋８９.每个大于４的偶数 都可以表示为两个奇数之和.因为这个结论没 有得到证明,所以还是一个猜想.大数学家欧拉 说过:虽然我不能证明它,但是我确信这个结论 是正确的.它像一个美丽的光环,在我们不远的 前方闪耀着炫目的光辉.􀆺􀆺”陈景润瞪着眼 睛,听得入神. 　　因此,陈景润对这个奇妙问题产生了浓厚 的兴趣.课余时间他最爱到图书馆,不仅读了 中学辅导书,这些大学的数理化课程教材他也 如饥似渴地阅读.因此获得了“书呆子”的雅 号.兴趣是最好的老师.正是这样的数学故 事,引发了陈景润的兴趣,引发了他的勤奋,从 而引发了一位伟大的数学家. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０６ ５．BD　[对于 A,甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去,则每位同 学被抽到的概率都是 １ ３ ,故 A 错误;对于 B,由概率的性质 可知,０≤P(A)≤１,故B正确;对于 C,如果事件A 与事件B 对立,那么一定有P(A)＋P(B)＝１,但互斥事件不一定对 立,故 C错误;对于 D,因为事件 A 发生的概率为P(A)＝ ０．３,所以它的对立事件 􀭿A 发生的概率P(􀭿A)＝１－０．３＝０． ７,故 D正确．] ６．C　[设事件“抽检一件是甲级”为事件 A,“抽检一件 是 乙 级”为事件B,“抽检一件是丙级”为事件C,由题意可得事件 A,B,C为互斥事件,且P(A)＋P(B)＋P(C)＝１,因为乙级 品和丙级品均属次品,且P(B)＝０􀆰０５,P(C)＝０􀆰０３,所以P (A)＝１－P(B)－P(C)＝０􀆰９２．] ７．BCD　[“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获 胜”的概率是１－１２－ １ ３＝ １ ６ ,故 A 正确;设甲不输为事件 A,则事件A 是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事 件,所以P(A)＝１６＋ １ ２＝ ２ ３ ,故 B错误;“乙输”的概率即 “甲获胜”的概率,为１ ６ ,故 C错误;设乙不输为事件B,则事 件B 是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以 P(B)＝１３＋ １ ２＝ ５ ６ ,故 D错误．] ８．解析:由题意,将一颗骰子连掷两次,共有６×６＝３６个基本 事件,设事件A＝“第一次点数小于３且第二次点数大于３ 的事 件”,则 事 件 A 包 含:{(１,４),(１,５),(１,６),(２,４), (２,５),(２,６)},共有６种情况,所以第一次点数小于３且第 二次点数大于３的概率为P＝６３６＝ １ ６． 答案:１ ６ ９．CD　[由题图知参加兴趣小组的共有６＋７＋８＋８＋１０＋１０ ＋１１＝６０(人),只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为 １０,６,８,故只属于音乐小组的概率为 ８６０＝ ２ １５ ,只属于英语小 组的概率为６ ６０＝ １ １０． “至少２个小组”包含“２个小组”和“３ 个小组”两 种 情 况,故 他 属 于 至 少 ２ 个 小 组 的 概 率 为 １１＋１０＋７＋８ ６０ ＝ ３ ５． “不超过２个小组”包含“１个小组”和“２ 个小组”,其对立事件是“３个小组”,故他属于不超过２个小 组的概率是P＝１－８６０＝ １３ １５． ] １０．解析:设齐王有上、中、下三等的三匹马A,B,C,田忌有上、 中、下三等的三匹马a,b,c,所有比赛的方式有Aa,Bb,Cc; Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Ba,Cb;Ac,Bb,Ca, 共６种． 若齐王第一场比赛派出上等马,则第一场比赛田忌必输,此 时他应先派下等马c参加． 就会出现两种比赛方式:Ac,Ba,Cb和Ac,Bb,Ca,其中田 忌能获胜 的 为 Ac,Ba,Cb,故 此 时 田 忌 获 胜 的 概 率 最 大 为１ ２． 答案:１ ２ １１．解析:函数f(x)＝ax２－４bx＋１的 图 象 的 对 称 轴 为x＝ ２b a ,要使函数f(x)＝ax２－４bx＋１在区间[１,＋∞)上单调 递增,当且仅当a＞０且２ba ≤１ ,即a≥２b且a＞０． 若a＝１,则b＝－２,－１; 若a＝２,则b＝－２,－１,１; 若a＝３,则b＝－２,－１,１; 若a＝４,则b＝－２,－１,１,２; 若a＝５,则b＝－２,－１,１,２． ∴事件包含的基本事件的个数是２＋３＋３＋４＋４＝１６, 又所有基本事件的个数是６×６＝３６, ∴所求事件的概率为１６３６＝ ４ ９． 答案:４ ９ １２．解:将３道选择题依次编号为１,２,３;２道填空题依次编号 为４,５． (１)从５道题中任选２道题解答,每一次选１题(不放回),样本 空间Ω＝{(１,２),(１,３),(１,４),(１,５),(２,１),(２,３),(２,４),(２, ５),(３,１),(３,２),(３,４),(３,５),(４,１),(４,２),(４,３),(４,５),(５, １),(５,２),(５,３),(５,４)},共２０个样本点,这２０个样本点发生 的可能性是相等的． 设事件A 为“所选的题不是同一种题型”,则事件A 包含的 样本点有(１,４),(１,５),(２,４),(２,５),(３,４),(３,５),(４,１), (４,２),(４,３),(５,１),(５,２),(５,３),共１２个,所以P(A)＝ １２ ２０＝０􀆰６． (２)从５道题中任选２道题解答,每一次选１题(有放回), 样本空间 Ω＝{(１,１),(１,２),(１,３),(１,４),(１,５),(２,１), (２,２),(２,３),(２,４),(２,５),(３,１),(３,２),(３,３),(３,４), (３,５),(４,１),(４,２),(４,３),(４,４),(４,５),(５,１),(５,２), (５,３),(５,４),(５,５)},共２５个样本点,这２５个样本点发生 的可能性是相等的． 设事件B 为“所选的题不是同一种题型”,则事件B 包含的 样本点有(１,４),(１,５),(２,４),(２,５),(３,４),(３,５),(４,１), (４,２),(４,３),(５,１),(５,２),(５,３),共１２个,所以P(B)＝ １２ ２５＝０􀆰４８． 新题快递 １．D　[要使a,b,４能够构成钝角三角形,则a,b,４需要满足 a２＋b２＜４２ 或a２＋４２＜b２ 或４２＋b２＜a２,且能够满足三角形 中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边． 样本点的总数是３６,结合上述条件可知,当a＝１时,均不符 合要求,有０种情况; 当a＝２时,b＝３,５符合要求,有２种情况; 当a＝３时,b＝２,６符合要求,有２种情况; 当a＝４时,b＝６符合要求,有１种情况; 当a＝５时,b＝２符合要求,有１种情况; 当a＝６时,b＝３,４符合要求,有２种情况． 所以能构成钝角三角形的共有８种情况,故所求的概率为 P＝８３６＝ ２ ９． ] ２．B　[因为事件A,B,C 两两互斥,所以P(B)＝P(A∪B)－ P(A)＝８１５－ １ ５＝ １ ３ ,所以P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝１３＋ １ ３＝ ２ ３． ] 假期作业２８　事件的相互独立性、 频率与概率 思维整合室 １．(１)P(A)P(B)　２．缩小　概率P(A)　频率fn(A) 技能提升台　素养提升 １．D　[事件A 与事件B 能同时发生,互不影响,A 与B 既不 互斥,也不对立,但相互独立．] ２．B　[因为事件E 与F 相互独立,由相互独立事件的概率计 算公式,可得: P(EF)＝P(E)􀅰P(F)＝１３× １ ３＝ １ ９． ] ３．D　[根据题意,恰有一人获得一等奖即甲获得一等奖而乙 没有获得或甲没有获得一等奖而乙获得,则所求概率是 ２ ３ × １－３４( )＋ ３ ４× １－ ２ ３( )＝ ５ １２． ] ４．解析:员工甲答对两题的概率为３４× ２ ３× １ ２＋ ３ ４× １ ３× １ ２ ＋１４× ２ ３× １ ２＝ １１ ２４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３０１ 员工甲答对三题的概率为３ ４× ２ ３× １ ２＝ １ ４． 所以员工甲获奖的概率P＝１１２４＋ １ ４＝ １７ ２４． 答案:１７ ２４ ５．D　[抛掷一枚质地均匀的硬币,有正面朝上和反面朝上两 种可能,概率均为１ ２ ,与拋掷次数无关．] ６．AD　[A掷一枚骰子,出现奇数点和出现偶数点的概率都是 １ ２ ,故 A正确;B“出现１点”是随机事件,故 B错误;C概率 是客观存在的,不因为人的意念而改变,故C错误;D连续掷 ３次,每次都出现最大点数６,则三次之和为１８,故 D正确．] ７．B　[设 该 校 有a 名 同 学,则 约 有 ０􀆰４a 的 学 生 近 视,约 有 ０􀆰３a的学生每天玩手机超过２h,且每天玩手机超过２h的 学生中的 近 视 的 学 生 人 数 为:０􀆰３a×０􀆰５＝０􀆰１５a,所 以 有 ０􀆰７a的学生每天玩手机不超过２h,且其中有０􀆰４a－０􀆰１５a ＝０􀆰２５a的学生近视,所以从每天玩手机不超过２h的学生 中任意调查一名学生,则他近视的概率为P＝０．２５a０．７a＝ ５ １４． ] ８．解析:设袋中的红球有x个,根据题意,得 x６＋x＝０．８ ,解得x＝ ２４,经检验x＝２４是分式方程的解,所以袋中红球约有２４个． 答案:２４ ９．AD　[设事件A 为:“甲投中”,设事件B 为:“乙投中”,这两 个事件相互独立,A选项:都投中的概率为P(AB)＝P(A)P (B)＝０．８􀅰０．９＝０．７２,故 A 项对;B选项:至少一人投中, 其对立事件为:两人都未投中,故至少一人投中的概率为１ －P(􀭿A􀭺B)＝１－P(A)P(B)＝１－０．２􀅰０．１＝０．９８,故 B项 不对;C选项:至多一人投中的对立事件为:两人都投中,至 多一人投中的概率为１－P(AB)＝０．２８,故 C错;D选项:恰 好有一人投中的概率为P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝０．８􀅰０． １＋０．２􀅰０．９＝０．２６,故 D对．] １０．解析:由题可得一次活动中,甲获胜的概率为５６× ４ ５＝ ２ ３ ; 则在３次活动中,甲至少获胜２次的概率为 C２３× ２ ３( ) ２ × １ ３＋ ２ ３( ) ３ ＝２０２７． 答案:２ ３　 ２０ ２７ １１．解:(１)由已知,得 ２５＋y＋１０＝５５ , x＋３０＝４５,{ 解得 x＝１５, y＝２０．{ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收 集的１００位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个样 本量为１００的样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可 用样本的平均值估计, 其估计值为 １×１５＋１．５×３０＋２×２５＋２．５×２０＋３×１０ １００ ＝１􀆰９ (分钟)． (２)在这１００位顾客中,一次购物的结算时间不超过２分钟的 共有１５＋３０＋２５＝７０(人),根据频率与概率的关系,估计一位 顾客一次购物的结算时间不超过２分钟的概率为７０１００＝０􀆰７． １２．解:(１)设“甲答对每一道题”为事件A,“乙答对每一道题” 为事件B,由已知得P(A)＝１２ ,P(B)＝p, 则乙连续２次答错的概率为(１－p)２． 由题意得(１－p)２＝１１６ ,解得p＝３４ 或５ ４ (舍去), 所以乙答对一道题的概率为３ ４． (２)若甲、乙两人各回答２道题,两人共答对３道题,则甲只 答对一道题、乙２道题全部答对或乙只答对一道题、甲２道 题全部答对． 甲只答对一 道 题、乙 ２道 题 全 部 答 对 的 概 率 为 ２× １２ × １－１２( )× ３ ４( ) ２ ＝９３２ , 乙只答对一道题、甲２道题全部答对的概率为２× ３４× １ ４ × １２( ) ２ ＝３３２ , 故两人共答对３道题的概率为 ９３２＋ ３ ３２＝ ３ ８． 所以甲、乙两 人各回答２道题,两人共答对３道题的概率为３８． 新题快递 １．D　[由题可知甲、乙投掷一次获得的筹数相应的概率如下 表所示． 筹数 ２ ４ ５ ６ １０ ０ P １３ １ ６ １ ９ １ １２ １ ３６ ５ １８ 若甲获胜,则在第三场比赛中,甲比乙至少多得三筹． 分以下四种情况:①甲得“四筹”,乙得“零筹”,此种情况发生 的概率P１＝ １ ６× ５ １８＝ ５ １０８ ; ②甲得“五筹”,乙得“零筹”或“两筹”,此种情况发生的概率 P２＝ １ ９× ５ １８＋ １ ３( )＝ １１ １６２ ; ③甲得“六筹”,乙得“零筹”或“两筹”,此种情况发生的概率 P３＝ １ １２× ５ １８＋ １ ３( )＝ １１ ２１６ ; ④甲得“十筹”,乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或 “六筹”,此情况发生的概率P４＝ １ ３６× １－ １ ３６( )＝ ３５ １２９６． 故甲获胜的概率P＝P１＋P２＋P３＋P４＝ ５ １０８＋ １１ １６２＋ １１ ２１６＋ ３５ １２９６＝ ８３ ４３２． ] ２．ABD　[对于 AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式可 知 AB正确:对于 C,三次传输译码为１,则可能是三次全部 译为１,或者有两次译为１,则概率为 C２３β(１－β) ２＋(１－β) ３, 故C错误;对于 D,可以采用特值法或者作差法计算．三次传 输方案译为０的概率为 C２３α(１－α)２＋(１－α)３,单次传输译 为０的概率为１－α,而 C２３α(１－α)２＋(１－α)３－(１－α)＝(１ －α)α(１－２α)＞０,所以 D正确．] 第二部分 新知预览１ 知识梳理 １．(１)大小　方向　(２)大小　模　(３)AB→　|a|　|AB→| (４)０　１　相等　相反　相同　相等　２．OA→＋AB→　OA→－OC→ ３．(１)互相平行或重合　共线向量　同一个平面　a＝λb　p＝ xa＋yb　(２)方向向量 典例探究 [例１]　[解析]　(１)A中,向量a,b平行,则a,b所在的直线 平行或重合;B中,|a|＝|b|只能说明a,b的长度相等而方 向不确定;C中,向量不能比较大小;相等相量是指方向相同 且模相等,故选 D． (２)A 为假命题,根据向量相等的定义知,两向量相等,不仅 模要相等,而且还要方向相同,而 A 中向量a与b 的方向不 一定相同;B为真命题,AC→与A１C１→的方向相同,模也相等,故 AC→＝A１C１→;C为真命题,向量的相等满足传递性;D 为假命 题,空间中任意两个单位向量的模均为１,但方向不一定相 同,故不一定相等,所以选BC． [答案]　(１)D　(２)BC 变式训练 １．解:(１)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)有A１B１→, DC→及D１C１→共３个． (２)向量AA１ →的相反向量为A１A→,B１B→,C１C→,D１D→． (３)|AC１ →|＝３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４０１