假期作业26 有限样本空间与随机事件的关系及运算-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

假期作业２６　有限样本空间与随机事件的 关系及运算 　　　　　　　 １．样本点和样本空间 (１)样本点:随机试验E的每个可能的　　　　　 称为样本点． (２)样本空间:全体　　　　的集合称为试验 E 的样本空间． 一般地,用　　表示样本空间,用　　表示 样本点． (３)有限样本空间:如果一个随机试验有n个 可能结果w１,w２,􀆺,wn,则称样本空间 Ω＝{w１,w２,􀆺,wn}为　　　　　． ２．随机事件 随机事件:一般地,随机试验中的每个随机 事件都可以用这个试验的　　　　　　的 　　　　来表示．我们将样本空间 Ω 的子 集称为随机事件,简称事件,一般用大写字 母A,B,􀆺表示． 基本事件:只包含　　　　　的事件称为基 本事件． 必然事件:包含了　　　　　的事件．不可 能事件:不包含　　　　　的事件． ３．事件的关系和运用 定义 符号表示 包含关系 如果事件A 发生,则事 件B 　　　　,这时称 事件B包含事件A(或称 事件A包含于事件B) 　　　 (或　　　) 相等关系 若B⊇A且　　,那么称 事件A与事件B相等 　　　　 并事件 (和事件) 若某事件发生　　　　 　　　　,则称此事件 为事件 A 与事件B 的 并事件(或和事件) 　　　　 (或　　　) 交事件 (积事件) 若某事件发生　　　　 　　　　,则称此事件 为事件 A 与事件B 的 交事件(或积事件) 　　　 (或　　　) 互斥 事件 若A∩B 为　　　　事 件,那么称事件A 与事 件B 互斥 A∩B＝⌀ 对立 事件 若A∩B 为　　　　事 件,A∪B 为　　　　, 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A∩B＝⌀ 且A∪B＝Ω ◆[考点一]　有限样本空间与随机事件 １．下面四个选项中,是随机现象的是 (　　) A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹 ２．高一(１)班计划从A,B,C,D,E 这五名班干 部中选两人代表班级参加一次活动,则样本 空间中样本点的个数为 (　　) A．５　　　B．１０　　　C．１５　　　D．２０ ３．在１０名学生中,男生有x名,现从１０名学 生中任选６人去参加某项活动:①至少有１ 名女生;②５名男生,１名女生;③３名男生, ３名女生．若要使①为必然事件、②为不可 能事件、③为随机事件,则x为 (　　) A．５ B．６ C．３或４ D．５或６ ４．从３双鞋子中,任取４只,其中至少有两只 鞋是一双,这个事件是　　　．(填“必然”, “不可能”或“随机”)事件． ◆[考点二]　随机事件的关系及运算 ５．(２０２５􀅰北京十一中高一期末)某省新高考 实行“３＋１＋２”模式,即语文、数学、外语必 选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生 物四选二,共有１２种选课模式．某同学已选 了物理,记事件A＝“他选择政治和地理”, 事件B＝“他选择化学和地理”,则事件A 与 事件B (　　) A．是互斥事件,不是对立事件 B．既是互斥事件,也是对立事件 C．既不是对立事件,也不是互斥事件 D．无法判断 ６．如果事件A,B 互斥,记A,B分别为事件A, B 的对立事件,那么 (　　) A．A∪B 是必然事件 B．A∪B是必然事件 C．A∪B一定互斥 D．A与B一定不互斥 ７．(多选题)从装有２个红球和２个白球的盒 子中任取两个球,下列情况是互斥且对立的 两个事件的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４５ A．至少有一个红球;至少有一个白球 B．恰有一个红球;都是白球 C．至少一个红球;都是白球 D．至多一个红球;都是红球 ８．在随机抛掷一颗骰子的试验中,事件 A＝ “出现不大于４的偶数点”,事件B＝“出现 小于６的点数”,则事件 A∪􀭺B 的含义为 　　　　,事件A∩B 的含义为　　　　． ◆[考点三]　随机事件的综合应用 ９．(多选)(２０２５􀅰安徽亳州高一期末)中国四 大名楼是一种泛称,特指山西永济鹳雀楼、 江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳 阳岳阳楼．记事件E＝“只去黄鹤楼”,事件 F＝“至少去两个名楼”,事件G＝“只去一个 名楼”,事件 H＝“一个名楼也不去”,事件 I＝“至多去一个名楼”,则下列说法正确的 是 (　　) A．E 与H 是互斥事件 B．F与I是互斥事件,且是对立事件 C．I＝G∪H D．E＝G∩I １０．生产某种产品需要２道工序,设事件A＝ “第一道工序加工合格”,事件B＝“第二道 工序加工合格”,事件D＝(A∩􀭺B)∪(􀭿A∩ B)∪(􀭿A∩􀭺B)表示的含义是　　　　． １１．某连锁火锅城开业之际,为 吸引更多的消费者,开展抽 奖活动,前２０位顾客可参 加如下活动:摇动如图所示 的游戏转盘(上面扇形的圆 心角都相等),顾客可以免费获得按照指针 所指区域的数字１０倍金额的店内菜品或 饮品,最高１２０元,每人只能参加一次这个 活动．记事件A＝“获得不多于３０元的菜 品或饮品”． (１)求事件A 包含的样本点; (２)写出事件A 的对立事件,以及一个事 件A 的互斥事件． １２．从装有２个红球和２个白球的口袋中任取 两球,下列哪些事件是互斥事件? 它们是 不是对立事件? ①至少有一个白球,都是白球;②至少有一 个白球,至少有一个红球;③恰有一个白 球,恰有２个白球;④至少有一个白球,都 是红球． １．A,B 两个元件组成一个串 联电路,每个元件可能正 常或失效．设事件A＝“A 元件正常”,B＝“B 元件正 常”,用x１,x２ 分别表示A,B 两个元件的状 态,用(x１,x２)表示这个串联电路的状态．以 １表示元件正常,０表示元件失效．下列说法 正确的个数是 (　　) ①样本空间 Ω＝{(１,１),(１,０),(０,１),(０, ０)};②事件B＝{(０,１),(１,１)}; ③事件“电路是断路”可以用A∩B(或AB) 表示; ④事件“电路是通路”可以用A∪B(或A＋ B)表示,共包含３样本点． A．０ B．２ C．３ D．４ ２．存在两个事件A 和B,且０＜P(A)＜１,０＜ P(B)＜１,若A 与B 是两个①事件,则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B);若A 与B 是两个② 事件,则P(A∩B)＝P(A)􀅰P(B);其中 (　　) A．①互斥②独立 B．①互斥②对立 C．①独立②互斥 D．①对立②互斥 啥叫名牌? 成本价后面加一个０ 的,就叫名牌． 成本价后面加两个０ 的,就叫奢侈品． 成本价后面随便想加几个０就加几个０ 的,就叫文物! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５５ 对于B:因为１１２ [(－１１．１)＋(－６．７)＋(－５．９)＋(－３．５)＋ (－１．８)＋(－０．５)＋２．５＋２．７＋３．１＋３．５＋５．４＋６．７]＝ －７１５＜０ , 所以１２个月的月度同比增速百分比的平均值小于０,故 B 错误; 对于 C:由折线图可得前６个月的月度同比增速百分比先大 幅度波动后渐渐趋于稳定,后６个月的大波动整体较小, 所以前６个月的月度同比增速百分比波动比后６个月的大, 故 C正确; 对于 D:因为－７１５≈－０．４７ ,可知大于－０．４７的有２．５,２．７, ３．１,３．５,５．４,６．７,共有６个, 所以共有６个月的月度同比增速百分比大于１２个月的月度 同比增速百分比的平均值,故 D错误．] ２．B　[由题知总样本的平均数为 ４００１０００×１６５＋ ６００ １０００×１７０＝ １６８(cm), 所以总样本 的 方 差s２ ＝ ２５ × [(１６５－１６８)２ ＋３２]＋ ３５ × [(１７０－１６８)２＋４２]＝１９．２．] 假期作业２６　有限样本空间与随机 事件的关系及运算 思维整合室 １．(１)基本结果　(２)样本点　Ω　w　(３)有限样本空间 ２．样本空间　子集　一个样本点　所有样本点　任何样本点 ３．一定发生　B⊇A　A⊆B　A⊇B　A＝B　当且仅当事件 A 发生或事件B 发生　A∪B　A＋B　当且仅当事件A 发生 且事件B 发生　A∩B　AB　不可能　不可能　必然事件 技能提升台　素养提升 １．A　[A为随机现象,B为不可能现象,C,D为必然现象．] ２．B　[从A,B,C,D,E 五人中选两人,不同的选法有:(A,B), (A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C, E),(D,E),所以样本空间中样本点的个数为１０．] ３．C　[由题意知,１０名学生中,男生人数少于５人,但不少于３ 人,所以x＝３或x＝４．] ４．解析:根据题意,３双鞋子共６只,从中任取４只,必然有两 只鞋是一双, 则至少有两只鞋是一双是必然事件, 答案:必然 ５．A　[∵事件A 和事件B 不能同时发生,∴事件A 和事件B 是互斥事件．∵该同学还有政治和化学,政治和生物等不同 选择,∴事件A 和事件B 不是对立事件． 综上所述,事件A 和事件B 是互斥事件,不是对立事件．] ６．B　[用 Venn图 解 决 此 类 问 题 较 为 直 观．如图所示,A∪B是必然事件．] ７．CD　[A中至少有一个红球包含两种情 形:一红一白,两个红,至少有一个白球 包含:一红一白,两个白,这两个事件不互斥,B中的两事件 互斥但不对立,C,D中的两个事件互斥且对立．] ８．解析:由已知可得B＝“出现６点”,A＝“出现２,４点”, B＝“出现１,２,３,４,５点”, 故A∪B＝“出现２,４,６点”,A∩B＝“出现２,４点”, 答案:出现２,４,６点;出现２,４点 ９．ABC　[对于 A,事件E,H 不可能同时发生,是互斥事件,故 A正确;对于B,事件F 与I不可能同时发生,且必有一个发 生,是互斥事件,且为对立事件,故B正确;事件I＝“至多去 一个名楼”刚好包含事件G＝“只去一个名楼”与事件 H＝ “一个名楼也不去”,所以I＝G∪H,G＝G∩I,故 C正确,D 错误．] １０．解析:事件D＝(A∩􀭺B)∪(􀭿A∩B)∪(􀭿A∩􀭺B)表示的是第一 道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格, 所以事件D 表示“产品不合格”． 答案:产品不合格 １１．解:(１)事件A＝{获得１０元菜品或饮品,获得２０元菜品或 饮品,获得３０元菜品或饮品}． (２)事件A 是获得不多于３０元的菜品或饮品,它的对立事 件是获得多于３０元但不多于１２０元的菜品或饮品,即 􀭿A＝ “获得多于３０元但不多于１２０元的菜品或饮品”．在获得的 菜品或饮品不多于１２０元且多于３０元中的任何一个事件 都与事件A 互斥,如事件A 的一个互斥事件为“获得４０元 的菜品或饮品”． １２．解:把２个红球标记为a、b,２个白球标记为c、d,任取两球, 样本空间为: Ω＝{ab,ac,ad,bc,bd,cd}, 设“至少有一个白球”为事件A,则A＝{ac,ad,bc,bd,cd}, 设“至少有一个红球”为事件B,则B＝{ab,ac,ad,bc,bd}, 设“都是白球”为事件C,则C＝{cd}, 设“都是红球”为事件D,则D＝{ab}, 设“恰有一个白球”为事件E,则E＝{ac,ad,bc,bd} 对于①,∵A∩C＝{cd},∴“至少有一个白球”与“都是白 球”不是互斥事件; 对于②,∵A∩B＝{ac,ad,bc,bd},∴“至少有一个白球”与 “至少有一个红球”不是互斥事件; 对于③,由题意,“恰有２个白球”即“都是白球”,∵E∩C＝ ⌀,E∪C≠Ω, ∴“恰有一个白球”与“恰有２个白球”是互斥事件,但不是 对立事件; 对于④,∵A∩D＝⌀,A∪D＝Ω, ∴“至少有一个白球”与“都是红球”是互斥事件,且为对立 事件． 综上所述,③④是互斥事件,其中④是对立事件． 新题快递 １．B　[因为x１,x２ 分别取值０和１,因此(x１,x２)的取值为(１, １),(１,０),(０,１),(０,０),①正确;事件B 中x２＝１,而x１ 任 取,因此②正确; 事件“电路是断路”中,x１,x２ 至少有一个取０,因此事件“电 路是断路”＝{(０,１),(１,０),(０,０)}, A＝{(１,１),(１,０)},A＝{(０,１),(０,０)},B＝{(１,０),(０, ０)},从而“电路是断路”可表示为A∪B,③错; 事件“电路是通路”中,x１,x２ 两个都取１,因此事件“电路是 通路”＝{(１,１)}, A＝{(１,１),(１,０)},从而“电路是通路”可表示为 A∩B,其 中只有一个样本点,④错． 正确的个数是２．] ２．A　[由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB),仅当P(AB)＝ ０时P(A∪B)＝P(A)＋P(B),所以 A 与B 是两个互斥事 件,由独立事件的判定知:P(A∩B)＝P(A)􀅰P(B),即A 与 B 是两个独立事件．] 假期作业２７　古典概型与 概率的基本性质 思维整合室 １．(１)有限　(２)相等　古典概型试验　２．kn ＝ n(A) n(Ω) ３．１　０　P(A)＋P(B)　１－P(A)　１－P(B)　≤ P(A)＋P(B)－P(A∩B) 技能提升台　素养提升 １．BC　[对于 A,试验结果有无数个,显然不是古典概型,故 A 错误;对于B,试验结果有限且等可能,故 B正确;对于 C,试 验结果有限且等可能,故C正确;对于 D,显然试验并非等可 能,故 D错误．] ２．C　[设“从中取出２粒都是黑子”为事件A,“从中取出２粒 都是白子”为事件B,“任意取出２粒恰好是同一色”为事件 C,则C＝A∪B,且事件A 与B 互斥． 由于P(A)＝１７ ,P(B)＝１２３５． 所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝１７＋ １２ ３５＝ １７ ３５． ] ３．B　[A,B 两个孩童分别随机选择其中的一个动作进行模 仿,一共有４×４＝１６种情况,其中A,B 两个孩童选择模仿 的动作相同的情况有４种,所以A,B 两个孩童选择模仿的 动作相同的概率为４ １６＝ １ ４． ] ４．C　[三天中恰有一天下雨的次数为: ７３８　６３６　９６４　７３６　６３７　６１６　８０４　７７４　７６２,共９次, 所以这三天中恰有一天下雨的概率大约为P＝９２０＝４５％． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２０１