假期作业20 空间点、直线、平面之间的位置关系-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

因为CD＝１cm,所以AC＝２cm,AD＝ ３cm, 设OE＝r,则AO＝ ３－r,所以 r ３－r ＝１２ , 所以r＝ ３３ cm , V球 ＝ ４３ π ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ ４ ３２７ π (cm３ ),即 球 的 体 积 等 于４ ３ ２７πcm ３． 新题快递 １．C　[如 图 将 正 方 体 还 原 可 得 如 下 图形: 则VAＧA１MN ＝ １ ３ × １ ２ ×１×１×２＝ １ ３ ,VDＧND１C１＝ １ ３× １ ２×１×２×２＝ ２ ３ ,VABCDＧA１B１C１D１＝２ ３＝８,所以该几 何体的体积V＝８－１３－ ２ ３＝７． ] ２．解析:因为∠AOC＝∠BOD＝ π３ ,所以∠DOC＝π－２× π３ ＝π３． 设圆O 的半径为R,又S扇形COD ＝ １ ２× π ３R ２＝６π,解得 R＝６(负值舍去)． 如图,过点C 作CE⊥AB 交AB 于点E,过 点D 作DF⊥AB 交AB 于 点F,则 CE＝ OCsinπ３ ＝３ ３ ,OE＝OCcos π３ ＝３ ,所 以 AE＝R－OE＝３,同理可得DF＝３ ３,OF＝ BF＝３． 将扇形DOC绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径 R＝６的球中上下截去两个相同的球冠所剩余部分再挖去两 个相同的圆锥,其中球冠的高h＝３,圆锥的高h１＝３,底面半 径r＝３ ３,则其中一个球冠的表面积S１＝２πRh＝２π×６×３ ＝３６π,球的表面积S２＝４πR２＝４π×６２＝１４４π,圆锥的侧面 积S３＝３ ３×６π＝１８ ３π,所以所求几何体的表面积S＝S２ －２S１＋２S３＝１４４π－２×３６π＋２×１８ ３π＝７２π＋３６ ３π． 答案:７２π＋３６ ３π 假期作业２０　空间点、直线、平面 之间的位置关系 思维整合室 １．两点　不在一条直线上　有且只有一条 ２．平行　相交　任何　３．１　０　无数　０　无数 技能提升台　素养提升 １．D　 ２．B　[对选项 A:经过直线与直线外一点有且只有一个平面, 故 A不满足题意．对选项B:对边相等的四边形,对边有可能 异面,不能确定一个平面,比如对边相等的空间四边形,故 B 满足题意．对选项 C:经过两条相交直线有且只有一个平面, 故C不满足题意．对选项 D:经过两条平行直线有且只有一 个平面,故 D不满足题意．] ３．D　[对于 A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直线 两两都相交,比如棱柱中共点的三条棱,所在直线就不共面, 也不能确定一个平面,故 A、B错;对于 C,若三条直线相互 平行,其中两条可以确定一个平面,另一条可以与已知平面 平行,故 C错误;对于 D,一条直线与两条平行直线都相交, 这三条直线能确定一个平面．] ４．解析:当一个点在平面一侧,另三个点在平面另一侧时,这种 平面有４个;当平面两侧各有两个点时,这种平面有３个．故 共有７个． 答案:７ ５．C　[由于a∥b,a,c异面,此时,b和c 可能相交,也即共面, 如图所示b与c相交;b和c也可能异面,如图所示b′与c异 面．综上所述,b与c不可能是平行直线．] ６．CD　[AM 与C１C 异面,故 A 错;AM 与BN 异面,故B错． 易知 C、D正确．] ７．AC　[根据正方体的展开图画出还原的正 方体如图所示． 可以得到 HG∥CD,CD 与EF 相 交,EF 与AB 异面,GH 与AB 相交．] ８．解析:①中 HG∥MN;③中GM∥HN 且 GM≠HN,所以直线 HG 与MN 必相交． 答案:②④ ９．C　[取BC的中点为E,连接DE,AE(图略),则DE∥PB, 所以∠ADE 为AD 与PB 所成的角(或其补角)． 设正四面体的棱长为２a, 则DE＝a,AD＝ ３a,AE＝ ３a, 所以在△ADE 中,cos∠ADE＝ (３a)２＋a２－(３a)２ ２× ３a􀅰a ＝ ３６． ] １０．A　[连接AD１,D１M(图略)．∵AB＝C１D１,AB∥C１D１, ∴四 边 形 ABC１D１ 为 平 行 四 边 形,则 AD１ ∥BC１,则 ∠D１AM(或其补角)为异面直线AM 与BC１ 所成的角．设 正方体的棱长为２,则AD１＝２ ２,AM＝D１M＝ ５, ∴cos∠D１AM＝ (２ ２)２＋(５)２－(５)２ ２×２ ２× ５ ＝ １０５ ,即异面直 线AM 与BC１ 所成角的余弦值是 １０ ５ ． ] １１．D　[如图,取棱 AP 的中点为F,连 接EF,BF．因为E 为PC 的中点,所 以EF∥AC,EF＝１２AC , 所以异面 直 线 BE 与AC 所 成 角 为 ∠BEF(或其补角)． 不妨设正四棱锥PＧABCD 的所有棱 长均为２, 则BE＝BF＝ ３,EF＝１２AC＝ ２ , 所以cos∠BEF＝ １ ２EF BE ＝ ２ ２ ３ ＝ ６６． ] １２．解:(１)６条棱中,PC,AB成异面直线, PB,AC成异面直线,PA,BC 成异面 直线,共３对．(２)如图,取AB 的中点 Z,连接MZ,NZ,因为 M 是PB 中点, Z是AB中点, 所以 MZ∥PA,MZ＝１２PA＝２． 同理,NZ∥BC,NZ＝１２BC＝３． 所以异面直线PA 与BC 所成角为∠MZN(或其补角), 在△MZN 中,由余弦定理可得cos∠MZN＝２ ２＋３２－４２ ２×２×３ ＝ －１４ ,故异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为１４． 新题快递 １．ABD　 [如 图,在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中, 若α是平面ABCD,A１B１ 为 m,AB 为 n,此时m与n平行,故 A正确;若α是 平面ABCD,A１D１ 为m,AB 为n,此时 m⊥n,且m 与n异面,故B,D正确;若 m∥α,则m 与平面α无交点,又n⊂α, 则m与n无交点,即m 不可能与n相 交,故C错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６９ ２．D　[连接 AD１,则 AD１∥EF,连 接 FD１,则平面 AEF 截正方体所得 截 面多边形为梯形AD１FE, ∵正方 体 棱 长 为 ２,故 AD１ ＝２ ２, EF＝ ２, 又AE＝D１F＝ ２２＋１２＝ ５, ∴等腰梯形AD１FE 的高为 (５)２－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３ ２ , ∴梯形AD１F１E 的面积为＝ ２＋２ ２ ２ × ３ ２ ＝９２． ] 假期作业２１　空间直线、 平面的平行 思维整合室 １．(１)平行　(２)相等或互补 ２．这个平面内　交线　３．相交直线　相交　交线 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．A　[五 棱 台 中,AB∥A１B１,∴ 四 边 形 AA１B１B 是 梯 形, ∵AFFA１ ＝BGGB１ ,∴FG∥AB．而FG⊄平面 ABCDE,AB⊂平 面ABCDE．∴FG∥平面ABCDE．] ３．A　[对于①,若m∥n,则n∥α或n∥β,正确;对于②,若 m ⊥n,当n⊂α或n⊂β时,结论不一定成立,错误;对于③,若n ∥α且n∥β,根据线面平行的性质知,m∥n,正确,对于④, 若n与α,β所成的角相等,m 与n 不一定垂直,错误．] ４．解析:如 图,连 接 AC 交BD 于 点 O,连 接 CN 交 BM 于 点 G,连 接OG． 由AN∥平 面 BDM,平 面 ANC∩ 平面BDM＝OG,AN⊂平面ANC, 可得 AN∥OG,∵OA＝OC,∴CG ＝NG,∴G 为CN 的中点． 作 HN∥BM 交PC 于点H,∴CM ＝HM． 又∵PM∶MC＝４∶１,∴PH∶HM＝３∶１, ∴PN∶NB＝PH∶HM＝３∶１． 答案:３∶１ ５．C ６．BD　[A:若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α,β可能相交、平 行,错误;B:若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥ β,由面面平行的判定可得α∥β,正确;C:若a∥α,b∥β,且a ∥b,则α,β可能相交、平行,错误;D:若a⊂α,a∥β,α∩β＝b, 由线面平行的性质定理得a∥b,正确．] 图① ７．B　[对于 A 选项,若平面ABC∥平面 DEF,BC⊂ 平 面 ABC,则 BC∥ 平 面 DEF,由题图可知 BC 与平面DEF 相 交,故平面ABC 与平面DEF 不平行, A不满足题意; 对于B选项,如图①所示,连接 NG, 因为 A,C 分别为PN,PG 的 中 点,所 以AC∥NG, 在正方体EHDGＧMFNP 中,FN∥EG 且FN＝EG,故 四 边 形 EFNG 为 平 行 四 边 形,所 以 NG∥ EF,所以AC∥EF,因为 AC⊄平面 DEF,EF⊂平面 DEF, 所以AC∥平面DEF, 图② 同理可 证 BC∥ 平 面 DEF,因 为 AC, BC⊂平面 ABC,AC∩BC＝C,所以平 面ABC∥平面DEF,B满足题意; 对于 C选项,如图②所示, 在正 方 体 PHDGＧMNFE 中,若 平 面 ABC∥平面DEF,且平面 DEF∥平面 MNHP, 则平面ABC∥平面 MNHP,但这与平 面ABC与平面MNHP 相交矛盾, 因此平面ABC与平面DEF 不平行,C不满足题意; 图③ 对于 D选项,在正方体PDHGＧFNEM 中,连接PH,PM,MH,如图③所示, 因为DH∥FM 且DH＝FM,所以四边 形 DHMF 为 平 行 四 边 形,所 以 DF ∥MH, 因 为 DF⊄ 平 面 PHM,MH ⊂ 平 面 PHM,所以DF∥平面PHM, 同理可证EF∥平面PHM,因为 DF∩ EF＝F,DF,EF⊂平面DEF,所以平面 DEF∥平面PHM, 若平面ABC∥平面DEF,则平面ABC∥平面PHM, 这与平面ABC与平面PHM 相交矛盾,故平面ABC与平面 DEF 不平行,D不满足题意．] ８．解析:由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱柱 知:平 面 AA１D１D ∥ 平 面 BB１C１C,平 面 ABCD ∥ 平 面 A１B１C１D１;∵正方体的侧棱相互平行,∴AA１∥BB１∥CC１, ∴CC１∥平面BDD１B１,AA１∥平面BDD１B１． 答案:平面BB１C１C;平面ABCD;AA１,CC１ ９．D　[如图,任取线段A１B 上一点M,过 M 作MH∥AA１,交AB 于H,过 H 作HG∥ AC交BC 于G,过G 作CC１ 的平行线,与 CB１ 一定有交点 N,连接 MN, 可证平面 MNGH∥平面ACC１A１ 所以 MN∥平 面 ACC１A１,则 这 样 的 MN 有无数条．] １０．解析:连接 HN,FH,FN,则FH∥DD１,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B１BDD１,只需 M∈FH,则 MN⊂ 平面FHN,∴MN∥平面B１BDD１． 答案:点 M 在线段FH 上(或点 M 与点H 重合) １１．证明:(１)因 为 M,N 分 别 是CD,CB 的 中点, 所以 MN∥BD．又因为BB１􀱀DD１,所以 四边形BB１D１D 是平行四边形,所以BD ∥B１D１, 从而 MN∥B１D１． (２)连接A１C１,交B１D１ 于点O,连接OE． 因为四边形A１B１C１D１ 为平行四边形,则O 点是A１C１ 的 中点．因为E 是AA１ 的中点,所以EO 是△AA１C１ 的中位 线,所以EO∥AC１． 又AC１⊄平面EB１D１,EO⊂平面EB１D１, 所以AC１∥平面EB１D１． (３)连接GH,因为EA􀱀B１H,则四边形EAHB１ 是平行四 边形,所以EB１∥AH．因为AD􀱀HG,则四边形ADGH 是 平行四边形,所以DG∥AH,所以EB１∥DG． 又因为BB１􀱀DD１,所以四边形BB１D１D 是平行四边形, 所以BD∥B１D１．因为BD∩DG＝D, 所以平面EB１D１∥平面BDG． １２．证 明:(１)取 B１D１ 的 中 点 O１,连 接 CO１,A１O１, ∵ABCDＧA１B１C１D１ 是四棱柱, ∴A１O１􀱀OC, ∴四边形A１OCO１ 为平行四边形, ∴A１O∥O１C． 又O１C⊂ 平 面 B１CD１,A１O⊄ 平 面 B１CD１,∴A１O∥ 平 面B１CD１． (２)∵BB１􀱀AA１􀱀DD１,∴四 边 形 BB１D１D 是 平 行 四 边 形,∴BD∥B１D１． 又 BD⊄ 平 面 B１CD１,B１D１ ⊂ 平 面 B１CD１,∴BD∥ 平 面B１CD１, 由(１)得A１O∥平面B１CD１ 且BD∩A１O＝O,BD,A１O⊂ 平面A１BD, ∴平面A１BD∥平面B１CD１． (３)由(２)得平面A１BD∥平面B１CD１, 又平面 A１BD∩ 平 面 ABCD＝BD,平 面 B１CD１ ∩ 平 面 ABCD＝l,∴BD∥l． 新题快递 １．解析:(１)由平面与平面平行的判定可知,若平面α内有两条 相交直线分别平行于平面β,则α∥β,故(１)错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７９ 假期作业２０　空间点、直线、平面之间的位置关系　　　　　　　　　 １．三个基本事实 [基本事实１]　如果一条直线上的　　　　 在一个平面内,那么这条直线在此平面内． [基本事实２]　过　　　　　　　的三点, 有且只有一个平面． [基本事实３]　如果两个不重合的平面有 一个公共点,那么它们　　　　　　　过该 点的公共直线． 基本事实３的三个推论 [推论１]　经过一条直线和这条直线外一 点有且只有一个平面; [推论２]　经过两条相交直线有且只有一 个平面; [推论３]　经过两条平行直线有且只有一 个平面． ２．空间直线的位置关系 共面直线 　　　　　 　　　　{ 异面直线:不同在　　　　一个平面内 ì î í ï ï ï ï ３．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直 线 与 平 面 相交 a∩α＝A 　　个 平行 a∥α 　　个 在平 面内 a⊂α 　　个 平 面 与 平 面 平行 α∥β 　　个 相交 α∩β＝l 　　个 ◆[考点一]　平面的基本性质 １．下列两个相交平面的画法中正确的是 (　　) ２．下列条件不能确定一个平面的有 (　　) A．一条直线和直线外一点 B．对边相等的四边形 C．两条相交直线 D．两条平行直线 ３．下列四个命题中的真命题是 (　　) A．如果一条直线与另两条直线都相交,那 么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交,那么它们能 确定一个平面 C．如果三条直线相互平行,那么这三条直 线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交, 那么这三条直线确定一个平面 ４．若空间４个点不共面,则到这４个点距离都 相等的平面的个数为　　　　． ◆[考点二]　空间两直线的位置关系 ５．若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c (　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 ６．(多选题)如图所示,在正方体 ABCD􀆼A１B１C１D１ 中,M,N 分别是棱C１D１,C１C 的中点, 给出以下结论,其中正确的结 论为 (　　) A．直线AM 与直线C１C相交 B．直线AM 与直线BN 平行 C．直线AM 与直线DD１ 异面 D．直线BN 与直线MB１ 异面 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９３ ７．(多选)如图是一个正方 体的展开图,如果将它还 原为正方体之后,下列结 论正确的有 (　　) A．HG∥CD B．CD 与EF 异面 C．EF与AB 异面 D．GH∥AB ８．如图,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或 所在棱的中点,则表示直线GH,MN 是异 面直线的图形有　　　　． ◆[考点三]　异面直线所成的角 ９．在正四面体PＧABC 中,D 为PC 的中点,则直线PB 与AD 所成角的余弦值为 (　　) A．３３ B． ３ ２ C．３６ D． ２ ３ ３ １０．如图,M 是正方体ABCD－ A１B１C１D１ 的 棱 CD 的 中 点,则异面直线AM 与BC１ 所成的角的余弦值是 (　　) A．１０５ B． ２ ５ ５ C． ５ ５ D． １０ １０ １１．若正四棱锥PＧABCD 的 所有 棱 长 均 相 等,E 为 PC 的中点,则异面直线 BE 与AC 所成角的余弦 值为 (　　) A．２６ B． ２ ４ C． ６ ３ D． ６ ６ １２．如图,在三棱锥P－ABC 中,PA＝４,BC＝６． (１)该棱锥的６条棱中, 共有多少对异面直线? 请一一列出． (２)若PB中点为M,AC中点为N,MN＝４, 求异面直线PA 与BC 所成角的余弦值． １．(多选)已知m,n是两条不同的直线,α是平 面,若m∥α,n⊂α则m,n的关系可能为 (　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 ２．正方体ABCDＧA１B１C１D１ 的棱长为２,E,F 分别是BC,CC１ 的中点,则平面AEF 截该 正方体所得的截面面积为 (　　) A．９８ B． ３ ２ C． ９ ４ D． ９ ２ 踏上幽径,追逐星光 人有两条路要走,一条是必须走的,一条 是想走的,你必须把必须走的路走漂亮才可以 走想走的路,有些路,你不走下去,就不会知道 那边的风景有多美,所以内心难过也不要把自 己丢在黑暗中．按时睡觉,好好吃饭,洗个热乎的 澡,喝甜甜的奶茶．看看长河落日,花朵树木,驱 逐丧气再努力奔跑,生活到处是发光的星星． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０４