假期作业19 简单几何体的表面积与体积-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

新题快递 １．CD　[如图①,作BE⊥CD 交CD 于E,易得CE＝CD－AB２ ＝２(cm),则BE＝O１O２＝ ４２－２２＝２ ３(cm),则该圆台的 高为２ ３cm,A错误;圆台的轴截面面积为 １２× (４＋８)×２ ３＝１２ ３(cm２),B错误,C 正确;将圆台的一半侧面展开, 如图②,设P 为AD 的中点,由圆台补成圆锥,圆台对应的 圆锥的一半侧面展开为扇形COD,可得大圆锥的母线长为８ cm,底面 半 径 为 ４cm,圆 锥 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 为θ＝ ２π×４ ８ ＝π ,连接CP,可得∠COP＝π２ ,OC＝８cm,OP＝４＋２ ＝６(cm),则CP＝ ６２＋８２＝１０(cm),所以沿着该圆台侧面 从点C到AD 的中点的最短路程为１０cm,故 D正确．] ２．解析:不妨设原棱锥为四棱锥, 设棱台的高为h,截得棱台的原棱锥的 高为h１, 如图所示,即 MN＝h,PN＝h１ 因为 四 边 形 ABCD 与 四 边 形EFGH 相似, 且上下底面面积分别为４和９,故EMAN ＝２３ , 由△PEM∽△PAN, 故PM PN＝ EM AN＝ ２ ３ ,MN PN ＝ h h１ ＝１－２３＝ １ ３ , 这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比为１ ３． 答案:１ ３ 假期作业１９　简单几何体的 表面积与体积 思维整合室 １．２πrl　πrl　π(r１＋r２)l ２．S底 􀅰h　１３S底 􀅰h　４πR２ 技能提升台　素养提升 １．C　　２．C　 ３．A　[依题意,圆柱的母线长l＝２πr,故S侧 ＝(２πr)２＝４π２r２ ＝４π２．] ４．B　[由 题 意,侧 面 积 相 等,则 圆 锥 的 母 线 长 是 圆 柱 高 的 ２ 倍,即２ ３,故其底面半径为３,所以圆锥的体积为 １３×π× ３２× ３＝３ ３π．故选择:B．] ５．A　[由题意得,该饰品的表面积为６个边长为 ２cm 的正方 形与８个边长为 ２cm 的正三角形的面积之和,则该饰品的 表面积S＝６×(２)２＋８× ３４× (２)２＝(１２＋４ ３)(cm２)．] ６．AC　[如 图,由 ∠APB＝１２０°, AP＝２ 可 知,底 面 直 径 AB＝２ ３,高PO＝１,故该圆锥的体积为 π,故 A 对;该圆锥的侧面积为２ ３π,故 B错;连接CB,取 AC 中 点为Q,连接QO,PQ,易证二面 角P－AC－O 的平面角为∠PQO＝４５°,所以QO＝PO＝１, PQ＝ ２,所以BC＝２,所以 AC＝２ ２,故 C 对;S△PAC ＝ １ ２ AC􀅰PQ＝２,故 D错．] ７．A　[由题可知圆锥的底面半径R＝１,母线长l＝２,高h＝ l２－R２＝ ２２－１２＝ ３, ∴圆锥的体积为V＝１３πR ２h＝ ３３π． ] ８．B　[如图,分别过 M,C 作 MM′ ⊥PA,CC′⊥PA,垂 足 分 别 为 M′,C′．过B 作BB′⊥平面PAC, 垂足 为 B′,连 接 PB′,过 N 作 NN′⊥PB′,垂足为 N′． 因为BB′⊥平面 PAC,BB′⊂平 面PBB′, 所以平面PBB′⊥平面PAC． 又因为平面PBB′∩平面PAC＝PB′,NN′⊥PB′,NN′⊂平 面PBB′,所以 NN′⊥平面PAC, 且BB′∥NN′． 在△PCC′中,因为 MM′⊥PA,CC′⊥PA, 所以 MM′∥CC′,所以PMPC＝ MM′ CC′＝ １ ３ , 在△PBB′中,因为BB′∥NN′,所以PNPB＝ NN′ BB′＝ ２ ３ , 所以 VP－AMN VP－ABC ＝ VN－PAM VB－PAC ＝ １ ３S△PAM 􀅰NN′ １ ３S△PAC 􀅰BB′ ＝ １ ３× １ ２PA 􀅰MM′( ) 􀅰NN′ １ ３× １ ２PA 􀅰CC′( ) 􀅰BB′ ＝２９． ] ９．B　 [在 △AOB 中,∠AOB＝ １２０°,而 OA＝OB＝ ３,取 AB 中点C,连 接 OC,PC,有 OC⊥ AB,PC⊥AB,如图, ∠ABO＝３０°,OC＝ ３２ ,AB＝ ２BC＝３,由 △PAB 的 面 积 为 ９ ３ ４ ,得１ ２×３×PC＝ ９ ３ ４ , 解得 PC ＝ ３ ３２ , 于 是 PO ＝ PC２－OC２ ＝ ３ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ － ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ６, 所以圆锥的体积V＝１３π×OA ２×PO＝１３π× (３)２× ６＝ ６π．] １０．解 析:由 题 意 知 h甲 h乙 ＝ ２２－１２ ３２－１ ＝ ３ ２ ２ ,V甲 V乙 ＝ h甲 h乙 ＝ ３(r１－r２) ２ ２(r１－r２) ＝ ６４． 答案:６ ４ １１．解:如图,过C作CE 垂直于AD,交AD 延 长线于E,则所求几何体的体积可看成是 由梯形ABCE 绕AE 旋转一 周所得的圆台的体积,减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V＝ V圆台 －V圆锥 ＝１３π× (５２＋５×２＋２２)×４－ １３π×２ ２×２＝ １４８ ３π． １２．解:如图所示,作出轴截面,O 是球心,与 边BC,AC相切于点D,E．连接AD,OE, 因为△ABC是正三角形,所以CD＝１２AC． 因 为 Rt△AOE∽ Rt△ACD,所 以OEAO ＝CDAC． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５９ 因为CD＝１cm,所以AC＝２cm,AD＝ ３cm, 设OE＝r,则AO＝ ３－r,所以 r ３－r ＝１２ , 所以r＝ ３３ cm , V球 ＝ ４３ π ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ ４ ３２７ π (cm３ ),即 球 的 体 积 等 于４ ３ ２７πcm ３． 新题快递 １．C　[如 图 将 正 方 体 还 原 可 得 如 下 图形: 则VAＧA１MN ＝ １ ３ × １ ２ ×１×１×２＝ １ ３ ,VDＧND１C１＝ １ ３× １ ２×１×２×２＝ ２ ３ ,VABCDＧA１B１C１D１＝２ ３＝８,所以该几 何体的体积V＝８－１３－ ２ ３＝７． ] ２．解析:因为∠AOC＝∠BOD＝ π３ ,所以∠DOC＝π－２× π３ ＝π３． 设圆O 的半径为R,又S扇形COD ＝ １ ２× π ３R ２＝６π,解得 R＝６(负值舍去)． 如图,过点C 作CE⊥AB 交AB 于点E,过 点D 作DF⊥AB 交AB 于 点F,则 CE＝ OCsinπ３ ＝３ ３ ,OE＝OCcos π３ ＝３ ,所 以 AE＝R－OE＝３,同理可得DF＝３ ３,OF＝ BF＝３． 将扇形DOC绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径 R＝６的球中上下截去两个相同的球冠所剩余部分再挖去两 个相同的圆锥,其中球冠的高h＝３,圆锥的高h１＝３,底面半 径r＝３ ３,则其中一个球冠的表面积S１＝２πRh＝２π×６×３ ＝３６π,球的表面积S２＝４πR２＝４π×６２＝１４４π,圆锥的侧面 积S３＝３ ３×６π＝１８ ３π,所以所求几何体的表面积S＝S２ －２S１＋２S３＝１４４π－２×３６π＋２×１８ ３π＝７２π＋３６ ３π． 答案:７２π＋３６ ３π 假期作业２０　空间点、直线、平面 之间的位置关系 思维整合室 １．两点　不在一条直线上　有且只有一条 ２．平行　相交　任何　３．１　０　无数　０　无数 技能提升台　素养提升 １．D　 ２．B　[对选项 A:经过直线与直线外一点有且只有一个平面, 故 A不满足题意．对选项B:对边相等的四边形,对边有可能 异面,不能确定一个平面,比如对边相等的空间四边形,故 B 满足题意．对选项 C:经过两条相交直线有且只有一个平面, 故C不满足题意．对选项 D:经过两条平行直线有且只有一 个平面,故 D不满足题意．] ３．D　[对于 A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直线 两两都相交,比如棱柱中共点的三条棱,所在直线就不共面, 也不能确定一个平面,故 A、B错;对于 C,若三条直线相互 平行,其中两条可以确定一个平面,另一条可以与已知平面 平行,故 C错误;对于 D,一条直线与两条平行直线都相交, 这三条直线能确定一个平面．] ４．解析:当一个点在平面一侧,另三个点在平面另一侧时,这种 平面有４个;当平面两侧各有两个点时,这种平面有３个．故 共有７个． 答案:７ ５．C　[由于a∥b,a,c异面,此时,b和c 可能相交,也即共面, 如图所示b与c相交;b和c也可能异面,如图所示b′与c异 面．综上所述,b与c不可能是平行直线．] ６．CD　[AM 与C１C 异面,故 A 错;AM 与BN 异面,故B错． 易知 C、D正确．] ７．AC　[根据正方体的展开图画出还原的正 方体如图所示． 可以得到 HG∥CD,CD 与EF 相 交,EF 与AB 异面,GH 与AB 相交．] ８．解析:①中 HG∥MN;③中GM∥HN 且 GM≠HN,所以直线 HG 与MN 必相交． 答案:②④ ９．C　[取BC的中点为E,连接DE,AE(图略),则DE∥PB, 所以∠ADE 为AD 与PB 所成的角(或其补角)． 设正四面体的棱长为２a, 则DE＝a,AD＝ ３a,AE＝ ３a, 所以在△ADE 中,cos∠ADE＝ (３a)２＋a２－(３a)２ ２× ３a􀅰a ＝ ３６． ] １０．A　[连接AD１,D１M(图略)．∵AB＝C１D１,AB∥C１D１, ∴四 边 形 ABC１D１ 为 平 行 四 边 形,则 AD１ ∥BC１,则 ∠D１AM(或其补角)为异面直线AM 与BC１ 所成的角．设 正方体的棱长为２,则AD１＝２ ２,AM＝D１M＝ ５, ∴cos∠D１AM＝ (２ ２)２＋(５)２－(５)２ ２×２ ２× ５ ＝ １０５ ,即异面直 线AM 与BC１ 所成角的余弦值是 １０ ５ ． ] １１．D　[如图,取棱 AP 的中点为F,连 接EF,BF．因为E 为PC 的中点,所 以EF∥AC,EF＝１２AC , 所以异面 直 线 BE 与AC 所 成 角 为 ∠BEF(或其补角)． 不妨设正四棱锥PＧABCD 的所有棱 长均为２, 则BE＝BF＝ ３,EF＝１２AC＝ ２ , 所以cos∠BEF＝ １ ２EF BE ＝ ２ ２ ３ ＝ ６６． ] １２．解:(１)６条棱中,PC,AB成异面直线, PB,AC成异面直线,PA,BC 成异面 直线,共３对．(２)如图,取AB 的中点 Z,连接MZ,NZ,因为 M 是PB 中点, Z是AB中点, 所以 MZ∥PA,MZ＝１２PA＝２． 同理,NZ∥BC,NZ＝１２BC＝３． 所以异面直线PA 与BC 所成角为∠MZN(或其补角), 在△MZN 中,由余弦定理可得cos∠MZN＝２ ２＋３２－４２ ２×２×３ ＝ －１４ ,故异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为１４． 新题快递 １．ABD　 [如 图,在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中, 若α是平面ABCD,A１B１ 为 m,AB 为 n,此时m与n平行,故 A正确;若α是 平面ABCD,A１D１ 为m,AB 为n,此时 m⊥n,且m 与n异面,故B,D正确;若 m∥α,则m 与平面α无交点,又n⊂α, 则m与n无交点,即m 不可能与n相 交,故C错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６９ 假期作业１９　简单几何体的表面积与体积　　　　　　　 １．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 公式 圆柱 圆锥 圆台 侧 面 展 开 图 侧 面 积 公 式 S圆柱侧＝　　　 S圆锥侧＝　　　 S圆台侧＝　　　 ２．空间几何体的表面积与体积公式 　　　　名称 几何体　　　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝ S侧＋２S底 V＝　　　　 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝ S侧＋S底 V＝　　　　 台体(棱台和圆台) S表面积＝ S侧＋S上＋S下 V＝１３ (S上＋S下＋ S上S下 )h 球 S＝　　　　 V＝４３πR ３ ◆[考点一]　空间几何体的表面积与侧面积 １．如图所示,圆锥的底面半径为 １,高为 ３,则该圆锥的表面 积为 (　　) A．π　　　　　　　B．２π C．３π D．４π ２．已知△ABC是面积为９ ３４ 的等边三角形,且其 顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为 １６π,则O到平面ABC的距离为 (　　) A．３ B．３２ C．１ D． ３ ２ ３．若圆柱的底面半径为１,其侧面展开图是一 个正方形,则这个圆柱的侧面积是 (　　) A．４π２ B．３π２ C．２π２ D．π２ ４．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底 面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为 ３,则圆锥的体积为 (　　) A．２ ３π B．３ ３π C．６ ３π D．９ ３π ５．水晶是一种石英结晶体矿 物,因其硬度、色泽、光学性 质、稀缺性等,常被人们制 作成饰品．如图所示,现有 棱长为２cm 的正方体水晶一块,将其裁去 八个相同的四面体,打磨成饰品,则该饰品 的表面积为 (　　) A．(１２＋４ ３)cm２ B．(１６＋４ ３)cm２ C．(１２＋３ ３)cm２ D．(１６＋３ ３)cm２ ６．(多选题)(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知圆锥的 顶点为P,底面圆心为O,AB 为底面直径, ∠APB＝１２０°,PA＝２,点C在底面圆周上, 且二面角PＧACＧO 为４５°,则 (　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为４ ３π C．AC＝２ ２ D．△PAC的面积为 ３ ◆[考点二]　空间几何体的体积 ７．(２０２５􀅰八省联考)底面直径和母线长均为 ２的圆锥的体积为 (　　) A．３３π B．π C．２π D．３π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７３ ８．(２０２３􀅰天津卷)在三棱锥P－ABC 中,线 段PC上的点M 满足PM＝１３PC ,线段PB 上 的 点 N 满 足 PN ＝ ２３PB ,则 三 棱 锥 P－AMN和三棱锥P－ABC的体积之比为 (　　) A．１９ B． ２ ９ C． １ ３ D． ４ ９ ９．(２０２３􀅰全国乙卷(理))已知圆锥PO 的底 面半径为 ３,O为底面圆心,PA,PB 为圆锥 的母线,∠AOB＝１２０°,若△PAB 的面积等 于９ ３ ４ ,则该圆锥的体积为 (　　) A．π B．６π C．３π D．３ ６π １０．(２０２４􀅰全国甲卷(理))已知圆台甲、乙的 上底面半径均为r１,下底面半径均为r２,圆 台的母线长分别为２(r２－r１),３(r２－r１), 则圆台甲与乙的体积之比为　　　　． １１．如 图,在 四 边 形 ABCD 中, ∠DAB ＝ ９０°, ∠ADC＝１３５°,AB＝５, CD＝２ ２,AD＝２,求四 边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体 的体积． １２．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球, 若圆锥的底面半径为１cm,求球的体积． １．如图是一个棱长为２的正方 体被过棱A１B１、A１D１ 的中点 M、N,顶点A 和过点N 顶点 D、C１ 的两个截面截去两个 角后所得的几何体,则该几何体的体积为 (　　) A．５ B．６ C．７ D．８ ２．球面被平面所截得的 一部分叫做球冠,截得 的圆叫做球冠的底,垂 直于截面的直径被截 得的一段叫做球冠的 高．球被平面截下的一部分叫做球缺,截面 叫做球缺的底面,垂直于截面的直径被截下 的线段长叫做球缺的高,球缺是旋转体,可 以看作是球冠和其底所在的圆面所围成的 几何体．如图①,一个球面的半径为R,球冠 的高是h,球冠的表面积公式是S＝２πRh．如图 ②,已知C,D是以AB为直径的圆上的两点, ∠AOC＝∠BOD＝π３ ,S扇形COD ＝６π,则扇形 COD绕直线AB旋转一周形成的几何体的表 面积为　　　　． 今天做数学题．十个人排队,甲不能站中 间,不能站两端,还得和乙挨着,还得和丙隔两 个人,还得站丁后面．经过激烈的讨论,大家一 致认为,让甲滚􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８３