假期作业18 基本立体图形及立体图的直观图-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

假期作业１８　基本立体图形及立体图的直观图　　 　　　　　 １．空间几何体的结构特征 (１)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面　　　　　　,其余各面都是 四边形且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行 棱锥 有一个面是多边形,而其余各面都是 有一个　　　　　的三角形 棱台 棱锥被　　　　底面的平面所截,截 面和底面之间的部分叫做棱台 (２)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线或 对边中点连线所在直线 圆锥 直角三角形或 等腰三角形 一直角边所在的直线或 等腰三角形底边上的高 所在直线 圆台 直角梯形或 等腰梯形 直角腰所在的直线或等 腰梯形上下底中点连线 所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 ２．直观图 (１)画法:常用斜二测画法． (２)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直, 直观图中,x′轴,y′轴的夹角为　　　　　,z′ 轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中 仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的 线段长度在直观图中　　　　　　． ◆[考点一]　空间几何体的结构特征 １．观察如图所示的四个几何体,其中判断不正 确的是 (　　) A．①是棱柱　　　　B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 ２．下列说法中,正确的是 (　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的 其他侧面也是矩形 C．正方体的所有棱长都相等 D．棱柱的所有棱长都相等 ３．(多选题)下列命题正确的是 (　　) A．过球面上任意两点只能作一个经过球心 的圆 B．球的任意两个经过球心的圆的交点的连 线是球的直径 C．用不过球心的截面截球,球心和截面圆 心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 ４．我国古代数学名著«数书九章»中有云:“今有 木长三丈五尺,围之４尺．葛生其下,缠木三 周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为圆木长３ 丈５尺,圆周为４尺,葛藤从圆木的底部开始 向上生长,绕圆木三周,刚好顶部与圆木平齐, 问葛藤最少长(注:１丈约等于１０尺) (　　) A．３７尺 B．３９尺 C．４１尺 D．４３尺 ◆[考点二]　空间几何体的直观图 ５．(多选)下列关于直观图的斜二测画法的说 法,正确的是 (　　) A．原图形中平行于x 轴的线段,其对应线 段平行于x′轴,长度不变 B．原图形中平行于y 轴的线段,其对应线 段平行于y′轴,长度变为原来的１２ C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时, ∠x′O′y′必须是４５° D．在画直观图时,由于选的轴不同,所得直 观图可能不同 ６．用斜二测画法作一个边长为２的正方形,则 其直观图的面积为 (　　) A．２４ B．２ C．４ D．２ ７．如图所示,矩形O′A′B′C′是 水平放置的一个平面图形 的直观图,其中O′A′＝３,O′ C′＝１,则原图形是 (　　) A．面积为６ ２的矩形 B．面积为３ ２４ 的矩形 C．面积为６ ２的菱形 D．面积为３ ２４ 的菱形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５３ ８．在直观图(如图)中,四边 形为O′A′B′C′菱形且边 长为２cm,则在xOy坐标 系中,四边形ABCO 周长 为　　　　　cm,面积为 　　　　　cm２． ◆[考点三]　几何体的有关计算 ９．中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的 代表之一．印信的形状多为长方体、正方体 或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印 信形状是“半正多面体”(图①)．半正多面体 是由两种或两种以上的正多边形围成的多 面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 ②是一个棱数为４８的半正多面体,它的所 有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正 方体的棱长为１,则该半正多面体共有面的 个数及棱长分别为 (　　) A．２６,２－１ B．２４,２－ ２ C．２６,２－ ２ D．２４,２－１ １０．圆锥底面半径为１cm,母线长为２cm,则 其侧面展开图扇形的圆心角θ＝　　． １１．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 ３倍,轴截面的面积等于３９２cm２,母线与 轴的夹角是４５°,求这个圆台的高、母线长 和两底面半径． １２．长方体 ABCD－A１B１C１D１ (如图所示)中,AB＝３,BC ＝４,A１A＝５,现有一甲壳虫 从A 出发沿长方体表面爬 行到C１ 来获取食物,试画出 它的最短爬行路线,并求其 路程的最小值． １．(多选)某工厂生产出一种 机械零件,如图所示,零件 的几何结构为圆台O１O２, 在轴截面 ABCD 中,AB ＝AD＝BC＝４cm,CD＝２AB,则下列说法 正确的有 (　　) A．该圆台的高为 ３cm B．该圆台轴截面面积为２４cm２ C．该圆台轴截面面积为１２ ３cm２ D．一只蚂蚁从点C 沿着该圆台的侧面爬行 到AD 的中点,所经过的最短路程为１０cm ２．棱台的上下底面面积分别为４和９,则这个 棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 　　　　　． 某学生本科读的重大,硕 士读的浙大,博士读的北大, 毕业证上校长栏统统盖的林 建华的章． 找工作的时候,面试官: “同学,造假也要专业一点,你 就不能多刻几个章?”(林建 华先后任重大、浙大、北大的校长) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６３ １１．解:设z＝a＋bi(a,b∈R),由|z|＝１＋３i－z, 得 a２＋b２－１－３i＋a＋bi＝０, 则 a ２＋b２＋a－１＝０, b－３＝０,{ 所以 a＝－４, b＝３,{ 所以z＝－４＋３i． 则 (１＋i)２(３＋４i)２ ２z ＝ ２i(３＋４i)２ ２(－４＋３i) ＝２ (－４＋３i)(３＋４i) ２(－４＋３i) ＝３＋４i． １２．解:(１)设z＝a＋bi(a,b∈R), 由已知条件得:a２＋b２＝２,z２＝a２－b２＋２abi,所以２ab＝２． 所以a＝b＝１或a＝b＝－１,即z＝１＋i或z＝－１－i． (２)当z＝１＋i时,z２＝(１＋i)２＝２i,z－z２＝１－i,所以点 A(１,１),B(０,２),C(１,－１), 所以S△ABC＝ １ ２AC×１＝ １ ２×２×１＝１ ; 当z＝－１－i时,z２＝(－１－i)２＝２i,z－z２＝－１－３i． 所以点A(－１,－１),B(０,２),C(－１,－３),所以S△ABC＝ １ ２|AC| ×１＝１２×２×１＝１． 即△ABC的面积为１． 新题快递 １．AC　[z＝r(cosθ＋isinθ),则z２＝r２(cos２θ＋isin２θ),则|z２| ＝|r２(cos２θ＋isin２θ)|＝r２,|z|２＝|r(cosθ＋isinθ)|２＝r２,所 以 A正确;当r＝１,θ＝ π３ 时,z３＝ cosπ３＋isin π ３( ) ３ ＝cos π＋isinπ＝－１,所以B错误;当r＝１,θ＝π３ 时,z＝cosπ３＋ isinπ３＝ １ ２＋ ３ ２i ,则􀭵z＝１２－ ３ ２i ,所以 C正确;当r＝１,θ＝ π ４ 时,zn＝cosnπ４＋isin nπ ４ , 当n为偶数时,设n＝２k,k∈Z, 则zn＝coskπ２＋isin kπ ２ ,k∈Z, 所以当k为奇数时,zn 为纯虚数,当k为偶数时,zn 为实数, 所以 D错误．] ２．AC　[对于 A,当b２－４ac＝０时,x１＝x２＝－ b ２a∈R ,故正 确;对于B,当b２－４ac＜０时,则x１＝ －b－i －b２＋４ac ２a ,x２ ＝－b＋i －b ２＋４ac ２a ,则x１∉R,x２∉R,且􀭵x１≠􀭵x２,故错误;对 于C,由一元二次方程根与系数的关系可得x１＋x２＝－ b a , x１x２＝ c a ,故正确;对于D,(x１－x２)２＝ b２－４ac a２ ,故错误．] 假期作业１８　基本立体图形及 立体图的直观图 思维整合室 １．互相平行　公共顶点　平行于 ２．(２)４５°(或１３５°)　变为原来的一半 技能提升台　素养提升 １．B　２．C ３．BCD　[当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故A 错;B正确;C正确;根据球的半径的定义可知D正确．] ４．A　[由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,如图所 示,AC即为葛藤的最短长度,一条直角边长(即圆 木的高)为３×１０＋５＝３５(尺),另一条直角边长为 ３×４＝１２(尺),故 葛 藤 长 为 ３５２＋１２２ ＝３７ (尺)．] ５．ABD　[由直观图的画法规则,可知 A,B,D正确, C中∠x′O′y′可以是４５°或１３５°,故 C错误．] ６．D　[根据斜二测画法的原则可知OC＝ ２,OA＝１, 所以对应直观图的面积为S＝２×１２×OA ×OC×sin４５°＝２×１２×１×２× ２ ２＝ ２． ] ７．C　[由题知∠D′O′A′＝４５°,O′C′＝ C′D′＝１,所以O′D′＝ ２, 故在原图形中,OD＝２ ２,CD＝C′ D′＝１,OC＝ OD２＋CD２＝ ８＋１ ＝３,OA＝O′A′＝３,所 以 四 边 形 OABC为菱 形(如 图 所 示),则 原 图 形面积S＝OA􀅰OD＝６ ２．] ８．解析:在直观图中,四边形为O′A′B′C′菱形且边长为２cm, ∴由斜二测法的规则得:在xOy坐标系中,四边形ABCO 是 矩形, 其中OA＝２cm,OC＝４cm, ∴四边形ABCO 的周长为:２×(２＋４)＝１２(cm), 面积为S＝２×４＝８(cm２)． 答案:１２　８ ９．A　[可以将该半正多面体分为三层, 上层８个面,中层８个面,下层８个面, 上下底各１个面,所以共有８＋８＋８＋ １＋１＝２６个面． 设半正多面体的棱长为a,作出该几何 体的截面如图,截面图为正八边形, 由图可得CD＝１－a２ ,CE＝a, 因为△CDE 为等腰直角三角形,所以CE＝ ２CD,即a＝ ２ ×１－a２ , 解得a＝ １ ２＋１ ＝ ２－１,所 以 该 半 正 多 面 体 的 棱 长 为 ２ －１．] １０．解析:圆锥底面半径为１cm,母线长为２cm,则它的侧面展 开图扇形的圆心角所对的弧长为２π×１＝２π(cm); 所以扇形的圆心角为θ＝２π２＝π． 答案:π １１．解:圆台的轴截面题图所示,设圆台上、 下底面半径分别为xcm,３xcm,延 长 AA１ 交 OO１ 的 延 长 线 于 S,在 Rt △SOA 中,∠ASO ＝ ４５°,则 ∠SAO ＝４５°, 所以SO＝AO＝３x,SO１＝A１O１＝x,所以OO１＝２x． 又S轴截面 ＝１２ (６x＋２x)􀅰２x＝３９２,所以x＝７． 所以圆台的高OO１＝１４(cm),母线长l＝２OO１＝１４２(cm), 两底面半径分别为７cm,２１cm． １２．解:把长方体的部分面展开,如图所示． 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得 AC１ 的长分别 为 ９０、 ７４、 ８０,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫 可以 先 在 长 方 形 ABB１A１ 内 由 A 到 E,再 在 长 方 形 BCC１B１ 内由E 到C１,也可以先在长方形AA１D１D 内由A 到F,再 在 长 方 形 DCC１D１ 内 由 F 到 C１,其 最 短 路 程 为 ７４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４９ 新题快递 １．CD　[如图①,作BE⊥CD 交CD 于E,易得CE＝CD－AB２ ＝２(cm),则BE＝O１O２＝ ４２－２２＝２ ３(cm),则该圆台的 高为２ ３cm,A错误;圆台的轴截面面积为 １２× (４＋８)×２ ３＝１２ ３(cm２),B错误,C 正确;将圆台的一半侧面展开, 如图②,设P 为AD 的中点,由圆台补成圆锥,圆台对应的 圆锥的一半侧面展开为扇形COD,可得大圆锥的母线长为８ cm,底面 半 径 为 ４cm,圆 锥 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 为θ＝ ２π×４ ８ ＝π ,连接CP,可得∠COP＝π２ ,OC＝８cm,OP＝４＋２ ＝６(cm),则CP＝ ６２＋８２＝１０(cm),所以沿着该圆台侧面 从点C到AD 的中点的最短路程为１０cm,故 D正确．] ２．解析:不妨设原棱锥为四棱锥, 设棱台的高为h,截得棱台的原棱锥的 高为h１, 如图所示,即 MN＝h,PN＝h１ 因为 四 边 形 ABCD 与 四 边 形EFGH 相似, 且上下底面面积分别为４和９,故EMAN ＝２３ , 由△PEM∽△PAN, 故PM PN＝ EM AN＝ ２ ３ ,MN PN ＝ h h１ ＝１－２３＝ １ ３ , 这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比为１ ３． 答案:１ ３ 假期作业１９　简单几何体的 表面积与体积 思维整合室 １．２πrl　πrl　π(r１＋r２)l ２．S底 􀅰h　１３S底 􀅰h　４πR２ 技能提升台　素养提升 １．C　　２．C　 ３．A　[依题意,圆柱的母线长l＝２πr,故S侧 ＝(２πr)２＝４π２r２ ＝４π２．] ４．B　[由 题 意,侧 面 积 相 等,则 圆 锥 的 母 线 长 是 圆 柱 高 的 ２ 倍,即２ ３,故其底面半径为３,所以圆锥的体积为 １３×π× ３２× ３＝３ ３π．故选择:B．] ５．A　[由题意得,该饰品的表面积为６个边长为 ２cm 的正方 形与８个边长为 ２cm 的正三角形的面积之和,则该饰品的 表面积S＝６×(２)２＋８× ３４× (２)２＝(１２＋４ ３)(cm２)．] ６．AC　[如 图,由 ∠APB＝１２０°, AP＝２ 可 知,底 面 直 径 AB＝２ ３,高PO＝１,故该圆锥的体积为 π,故 A 对;该圆锥的侧面积为２ ３π,故 B错;连接CB,取 AC 中 点为Q,连接QO,PQ,易证二面 角P－AC－O 的平面角为∠PQO＝４５°,所以QO＝PO＝１, PQ＝ ２,所以BC＝２,所以 AC＝２ ２,故 C 对;S△PAC ＝ １ ２ AC􀅰PQ＝２,故 D错．] ７．A　[由题可知圆锥的底面半径R＝１,母线长l＝２,高h＝ l２－R２＝ ２２－１２＝ ３, ∴圆锥的体积为V＝１３πR ２h＝ ３３π． ] ８．B　[如图,分别过 M,C 作 MM′ ⊥PA,CC′⊥PA,垂 足 分 别 为 M′,C′．过B 作BB′⊥平面PAC, 垂足 为 B′,连 接 PB′,过 N 作 NN′⊥PB′,垂足为 N′． 因为BB′⊥平面 PAC,BB′⊂平 面PBB′, 所以平面PBB′⊥平面PAC． 又因为平面PBB′∩平面PAC＝PB′,NN′⊥PB′,NN′⊂平 面PBB′,所以 NN′⊥平面PAC, 且BB′∥NN′． 在△PCC′中,因为 MM′⊥PA,CC′⊥PA, 所以 MM′∥CC′,所以PMPC＝ MM′ CC′＝ １ ３ , 在△PBB′中,因为BB′∥NN′,所以PNPB＝ NN′ BB′＝ ２ ３ , 所以 VP－AMN VP－ABC ＝ VN－PAM VB－PAC ＝ １ ３S△PAM 􀅰NN′ １ ３S△PAC 􀅰BB′ ＝ １ ３× １ ２PA 􀅰MM′( ) 􀅰NN′ １ ３× １ ２PA 􀅰CC′( ) 􀅰BB′ ＝２９． ] ９．B　 [在 △AOB 中,∠AOB＝ １２０°,而 OA＝OB＝ ３,取 AB 中点C,连 接 OC,PC,有 OC⊥ AB,PC⊥AB,如图, ∠ABO＝３０°,OC＝ ３２ ,AB＝ ２BC＝３,由 △PAB 的 面 积 为 ９ ３ ４ ,得１ ２×３×PC＝ ９ ３ ４ , 解得 PC ＝ ３ ３２ , 于 是 PO ＝ PC２－OC２ ＝ ３ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ － ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ６, 所以圆锥的体积V＝１３π×OA ２×PO＝１３π× (３)２× ６＝ ６π．] １０．解 析:由 题 意 知 h甲 h乙 ＝ ２２－１２ ３２－１ ＝ ３ ２ ２ ,V甲 V乙 ＝ h甲 h乙 ＝ ３(r１－r２) ２ ２(r１－r２) ＝ ６４． 答案:６ ４ １１．解:如图,过C作CE 垂直于AD,交AD 延 长线于E,则所求几何体的体积可看成是 由梯形ABCE 绕AE 旋转一 周所得的圆台的体积,减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V＝ V圆台 －V圆锥 ＝１３π× (５２＋５×２＋２２)×４－ １３π×２ ２×２＝ １４８ ３π． １２．解:如图所示,作出轴截面,O 是球心,与 边BC,AC相切于点D,E．连接AD,OE, 因为△ABC是正三角形,所以CD＝１２AC． 因 为 Rt△AOE∽ Rt△ACD,所 以OEAO ＝CDAC． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５９