假期作业15 正弦定理-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

假期作业１５　正弦定理　　　　　　　 １．正弦定理 在△ABC中,若角A,B,C 对应的三边分别 是a,b,c,则各边和它所对角的正弦的比相 等,即　　　　　．正弦定理对任意三角形 都成立． ２．解三角形 一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们 的对边a,b,c叫做三角形的　　　　　　． 已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫做　　　　　　． ３．正弦定理的常见变形 (１)a＝２RsinA,b＝２RsinB,c＝２RsinC,其中 R 为△ABC外接圆的半径． (２)sinA＝a２R ,sinB＝ b２R ,sinC＝ c２R (R 为 △ABC外接圆的半径)． (３)三角形的边长之比等于对应角的正弦比, 即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (４) a＋b＋csinA＋sinB＋sinC ＝ a sinA ＝ b sinB ＝ csinC． (５)asinB＝bsinA,asinC＝csinA,bsinC＝ csinB． ◆[考点一]　已知两边及一边的对角解三角形 １．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,a＝８ ３,b＝６,A＝６０°,则sinB＝ (　　) A．２３　　　B． ６ ３　　　C． ２ ２　　　D． ３ ８ ２．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,若a＝ ２,B＝４５°,b＝２则A＝ (　　) A．３０°或１５０° B．３０° C．１５０° D．４５° ３．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,a＝１５,b＝１８,A＝３０°,则此三角形解的个 数为 (　　) A．０ B．１ C．２ D．不能确定 ４．在△ABC中,已知A＝π３ ,BC＝３,AB＝ ６, 则C等于 (　　) A．π３ B． ３π ４ C． π ４ D． π ６ ◆[考点二]　正弦定理的应用之边角互化 ５．(２０２４􀅰全国甲卷(理))记△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知B＝６０°,b２＝９４ ac,则sinA＋sinC＝ (　　) A．２ ３９１３ B． ３９ １３ C．７２ D． ３ １３ １３ ６．(多选题)在△ABC中,已知a２tanB＝b２tanA, 则△ABC的形状可能是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ７．(２０２３􀅰 全国甲卷 (理))已 知 △ABC 中, ∠BAC＝６０°,AB＝２,BC＝ ６,∠BAC的角平 分线交BC于点D,则AD＝　　　　． ８．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b, c．若a＝７,b＝２,A＝６０°,则sinB＝　　　　, c＝　　　　． ◆[考点三]　正弦定理的综合应用 ９．(２０２５􀅰八省联考)在△ABC 中,BC＝８, AC＝１０,cos∠BAC＝３５ ,则 △ABC 的 面 积为 (　　) A．６ B．８ C．２４ D．４８ １０．(多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分 别为a,b,c．sinC＋sin(A－B)＝３sin２B,C＝ π ３ ,则a b＝ (　　) A．１３ B． １ ２ C．２ D．３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９２ １１．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)记△ABC 的内角A、 B、C 的对边分别为a,b,c,已知sinA＋ ３cosA＝２． (１)求A; (２)若a＝２,２bsinC＝csin２B,求△ABC 的周长． １２．(２０２４􀅰北京卷)在△ABC中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,∠A 为钝角,a＝７, sin２B＝ ３７bcosB． (１)求∠A; (２)再从条件①、条件②、条件③这三个条 件中选择一个作为已知,使得△ABC 存 在,求△ABC的面积． 条件①:b＝７;条件②:cosB＝１３１４ ;条件③: csinA＝５２ ３． 注:如果选择条件①、条件②和条件③分别 解答,按第一个解答计分． １．命题p:“若△ABC 与△DEF 满足:AB＝ DE＝x,BC＝EF＝２,cosA＝cosD＝４５ ,则 △ABC≌△DEF”．已知命题p是真命题, 则x的值不可以是 (　　) A．１　　　B．２　　　C．１０３　　　D． ７ ３ ２．(多选)(江苏无锡一中２０２５高一期末)在 △ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,下列判断正确的是 (　　) A．若a＞b,则sinA＞sinB B．若sinA＞sinB,则A＞B C．若 sinA＞cosB,则 △ABC 为锐角三 角形 D．若 △ABC 为 锐 角 三 角 形,则 sinA＞ cosB 数学魔术家　１９８１年,印度的一位名叫 沙贡塔娜的３７岁妇女,凭借心算与一台先进 的电子计算机展开竞赛．题目是求一个２０１位 数的２３次方根．但令人惊奇的是,沙贡塔娜只 用了５０秒钟就报出了正确的答案．而计算机 得出同样的结果,花费的时间要多得多．这一 奇闻,在国际上引起了轰动,沙贡塔娜被称为 “数学魔术家”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０３ (２)由(１)可得A＝π－B－C＝５１２π ,设△ABC 外接圆的半 径为R, 由正弦定理可得:a sinA＝ b sinB＝ c sinC＝２R ,所以b＝ ３R, c＝ ２R,sinA＝sin(B＋C) ＝sinBcosC＋cosBsinC＝ ６＋ ２４ , 所以S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２ 􀅰 ３R􀅰 ２R􀅰 ６＋ ２４ ＝３＋ ３,解得R＝２, 所以c＝２ ２． 新题快递 １．D　[∵AB＝３,AC＝４,BC＝５,满足３２＋４２＝５２,∴∠BAC ＝９０°,故cos∠ABC＝３５ , ∵AD 是∠BAC的角平分线,∴BDDC＝ AB AC＝ ３ ４ ,∴BD＝ ３７ ×５＝１５７ , 在△ABD 中,由余弦定理AD２＝AB２＋BD２－２AB􀅰BD􀅰 cos∠ABD, 得AD２＝３２＋ １５７( ) ２ －２×３×１５７× ３ ５＝ ２８８ ４９ , 解得AD＝１２ ２７ 或者AD＝－１２ ２７ (舍去)．] ２．解析:由余弦定理可得a２＝b２＋c２－２bccosA,即６４＝b２＋４９ －２×b×７×１７＝b ２－２b＋４９, 故b２－２b－１５＝０,解得b＝－３(舍)或b＝５, 因为cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ,所以cosC＝６４＋２５－４９２×８×５ ＝ １ ２ ,又 C∈(０,π),故C＝π３． 答案:５　π３ 假期作业１５　正弦定理 思维整合室 １．asinA＝ b sinB＝ c sinC　２． 元素　解三角形 技能提升台　素养提升 １．D　２．B　 ３．C ４．C　[在△ABC中,已知A＝π３ ,BC＝３,AB＝ ６, 则由正弦定理可得 BC sinA＝ AB sinC ,即 ３ sinπ３ ＝ ６sinC , 求得sinC＝ ２２ , C∈(０,π),∴C＝π４ 或C＝３π４． 再由BC＞AB,以及大边对大角可得C＝π４＜A． ] ５．C　[因 为 B＝ π３ ,b２＝ ９４ac ,所 以sin２ B＝ ９４sinAsinC , sinAsinC＝４９× ３ ４＝ １ ３ ,由余弦定理可得:b２＝a２＋c２－ac ＝９４ac ,即a２＋c２＝１３４ac ,sin２A＋sin２C＝１３４sinAsinC＝ １３ １２ , 所以(sinA＋sinC)２＝sin２A＋sin２C＋２sinAsinC＝１３１２＋ ２ ３＝ ７ ４ ,sinA＋sinC＝ ７２． ] ６．BD　[将a＝２RsinA,b＝２RsinB(R 为△ABC 外接圆的半 径)代入已知条件,得sin２AtanB＝sin２BtanA,则sin ２AsinB cosB ＝sinAsin ２B cosA ． 因为sinAsinB≠０,所以sinAcosB＝ sinB cosA , 所以sin２A＝sin２B,所以２A＝２B 或２A＝π－２B, 所以A＝B或A＋B＝π２ ,故△ABC为等腰三角形或直角三角形．] ７．解析:如图所示:记 AB＝c,AC＝b, BC＝a, ２２＋b２－２×２×b×cos６０°＝６, 因为b＞０,解得:b＝１＋ ３, 由S△ABC＝S△ABD ＋S△ACD 可得, １ ２×２×b×sin６０°＝ １ ２×２×AD×sin３０°＋ １ ２×AD×b×sin３０° , 解得:AD＝ ３b １＋b２ ＝２ ３ (１＋ ３) ３＋ ３ ＝２． 答案:２ ８．解析:由 asinA＝ b sinB ,得sinB＝basinA＝ ２１ ７ , 又a２＝b２＋c２－２bccosA,∴c２－２c－３＝０,解得c＝３． 答案: ２１ ７ 　３ ９．C　[设AB＝x,根据余弦定理BC２＝ AC２＋AB２－２AC􀅰AB􀅰cos∠BAC, 已知 BC＝８,AC＝１０,cos∠BAC＝ ３ ５ ,代入可得: ８２＝１０２＋x２－２×１０×x×３５ , 即x２－１２x＋３６＝０,解得x＝６, 由于BC２＋AB２＝６４＋３６＝１００＝AC２,则△ABC为直角三角形, 则S＝１２×６×８＝２４． ] １０．BD　[因为A＋B＝π－C,所以sinC＝sin(π－C)＝sin(A ＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB． 又sinC＋sin(A－B)＝３sin２B, 所以２sinAcosB＝６sinBcosB, 即２cosB(sinA－３sinB)＝０,解得cosB＝０或sinA＝ ３sinB． 当cosB＝０时,因为B∈(０,π),所以B＝π２． 又C＝π３ ,所 以A＝π６ ,则sinA＝１２ ,sinB＝１,所以由正弦定理得ab ＝ sinA sinB＝ １ ２． 当sinA＝３sinB 时,由正弦定理得a＝３b, 所以a b ＝３． 综上所述,a b ＝３ 或１ ２． ] １１．解:(１)２ １ ２sinA＋ ３ ２cosA æ è ç ö ø ÷＝２, sin A＋π３( )＝１, ∵A 为三角形ABC 的内角, ∴A＋π３＝ π ２ ,∴A＝π６． (２)∵ ２bsinC＝csin２B, ∵sinBsinC≠０, ∴ ２sinBsinC＝sinCsin２B＝２sinCsinBcosB, ∴ ２＝２cosB,∴cosB＝ ２２ , ∴B＝π４ ,C＝７π１２ , a sinA＝ b sinB＝ c sinC , ２ １ ２ ＝b ２ ２ ＝ c ６＋ ２ ４ ,∴b＝２ ２,c＝ ６＋ ２, ∴△ABC的周长为２＋ ６＋３ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １９ １２．解:(１)由题意得２sinBcosB＝ ３７bcosB ,因为A 为钝角, 则cosB≠０,则 ２sinB＝ ３７b ,则 b sinB＝ ２ ３ ７ ＝ asinA＝ ７ sinA ,解得sinA＝ ３２ , 因为A 为钝角,则A＝２π３ , (２)选择①b＝７,又a＝７,则sinB＝ ３１４b＝ ３ １４×７＝ ３ ２ ,因为 A＝２π３ ,则B 为锐角,则B＝π３ , 此时A＋B＝π,不合题意,舍弃; 选择 ②cosB＝１３１４ ,因 为 B 为 三 角 形 内 角,则 sinB＝ １－ １３１４( ) ２ ＝３ ３１４ , 则代入２sinB＝ ３７b 得２×３ ３１４ ＝ ３ ７b ,解得b＝３, sinC＝sin(A＋B)＝sin ２π３＋B( )＝sin ２π ３cosB＋cos ２π ３sinB ＝ ３２× １３ １４＋ － １ ２( )× ３ ３ １４ ＝ ５ ３ １４ , 则S△ABC＝ １ ２absinC＝ １ ２×７×３× ５ ３ １４＝ １５ ３ ４ ． 选择③csinA＝５２ ３ ,则有c× ３２＝ ５ ２ ３ ,解得c＝５, 则由正弦 定 理 得 a sinA＝ c sinC ,即 ７ ３ ２ ＝ ５sinC ,解 得 sinC ＝５ ３１４ , 因为C为三角形内角,则cosC＝ １－ ５ ３ １４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１１１４ , 则sinB＝sin(A＋C)＝sin ２π３＋C( )＝sin ２π ３cosC＋cos ２π ３ sinC ＝ ３２× １１ １４＋ － １ ２( )× ５ ３ １４ ＝ ３ ３ １４ , 则S△ABC＝ １ ２acsinB＝ １ ２×７×５× ３ ３ １４＝ １５ ３ ４ ． 新题快递 １．D　[在△ABC 中,由已知可得,sinA＝ １－cos２A＝３５． 又cosA＝４５＞０ ,所以 A为锐角． 由正弦定理可得,BC sinA＝ AB sinC , 所以,sinC＝ABsinABC ＝ ３ ５x ２ ＝ ３ １０x． 要使命题p是真命题,则C有唯一满足条件的解． 若０＜x＜２,则sinC＜３５ ,显然C有唯一满足条件的解; 若x＝２,则C＝A,满足; 若x＞２,且sinC＜１,即３１０x＜１ , 即２＜x＜１０３ ,此时C有两解满足条件,此时命题p是假命题; 当x＝１０３ 时,此时有sinC＝１,C＝π２ 有唯一解,满足; 当x＞１０３ 时,此时有sinC＞１,显然C无解,不满足． 综上所述,当０＜x≤２或x＝１０３ 时,命题p是真命题．] ２．ABD　[在△ABC中,若a＞b,则根据正弦定理可得sinA＞ sinB,选项 A正确;由sinA＞sinB 及正弦定理得a＞b,则 A＞B,选项B正确;若sinA＞cosB,即cos π２－A( ) ＞cosB, 当cosB＜０,cos π２－A( ) ＞０时,△ABC 为钝角三角形,选 项 C错误;若△ABC为锐角三角形,则A＋B＞π２ , 则有 π ２＞A＞ π ２－B＞０ , 又正弦函数在 ０,π２( ) 上单调递增, 所以sinA＞sin π２－B( ) ,即sinA＞cosB,选项 D正确．] 假期作业１６　余弦定理、 正弦定理的应用 思维整合室 １．解三角形　３．(２)１２bcsinA　 １ ２casinB 技能提升台　素养提升 １．C　２．B　 ３．A　[如图所示,线段AC表示塔身,线段AB 为 塔在地面上的投影,CB⊥AB,所以在 Rt△ABC 中,cosA＝ABAC＝ １ ２ ,因为０°＜A＜９０°,所以A ＝６０°．] ４．解析:在△ABC 中,AB＝４０,AC＝２０,∠BAC ＝１２０°, 由余弦定理得BC２＝AB２＋AC２－２AB􀅰AC􀅰cos１２０°＝ ２８００⇒BC＝２０ ７． 由正弦定理,得 AB sin∠ACB＝ BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB＝ABBC 􀅰sin∠BAC＝ ２１７ ． 由∠BAC＝１２０°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB＝２ ７７ ． 由θ＝∠ACB＋３０°,得cosθ＝cos(∠ACB＋３０°) ＝cos∠ACBcos３０°－sin∠ACBsin３０°＝ ２１１４ ． 答案: ２１ １４ ５．D　[在△ABC 中,BC＝６０× １２ ＝３０ (km),∠ABC＝７０°－ ４０°＝３０°,∠ACB＝４０°＋６５°＝１０５°,则∠A＝１８０°－(３０°＋ １０５°)＝４５°,由正弦定理,可得AC＝１５ ２(km)．] ６．C　[在 Rt△ACD 中,AD＝ ACsin８３°＝ １ cos７° , 在△ABD 中,由 正 弦 定 理,得 BDsin∠BAD＝ AD sin∠ABD ,即 BD sin(８３°－２３°)＝ AD sin２３° , 则BD＝ ３２sin２３°cos７°． 因为sin３０°＝sin(２３°＋７°)＝sin２３°􀅰cos７°＋cos２３°sin７°, 且sin１６°＝sin(２３°－７°)＝sin２３°cos７°－cos２３°sin７°, 所以２sin２３°cos７°＝sin３０°＋sin１６°≈０．７７６, 所以|BD|≈１．７３２０．７７６≈２．２３２． ] ７．B　[连接AC,由题意,∠ABC＝４５°, ∠ACD＝７５°－１５°＝６０°,∠BCD＝ ７５°＋４５°＝１２０°, ∠ACB＝６０°,AB＝１０ ３,CD＝４ ２, 在△ABC 中,由 正 弦 定 理 得, ABsin∠ACB ＝ AC sin∠ABC ,即 １０ ３ ３ ２ ＝AC ２ ２ ,则AC＝１０ ２, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２９