假期作业14 余弦定理-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

假期作业１４　余弦定理　　　　　　　 １．余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍,即a２＝b２＋c２－２bccosA,b２＝　　　　, c２＝　　　　． ２．余弦定理的推论 从余弦定理,可以得到它的推论 cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ,cosB＝ 　; cosC＝　　　　　　　　． ３．余弦定理与勾股定理 从余弦定理和余弦函数的性质可知,如果一 个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是　　　　 　;如果 小于第三边的平方,那么第三边所对的角是 　　　　 　;如果大于第三边的平方,那么 第三边所对的角是　　　　 　．从上可知, 余弦定理可以看作是勾股定理的推广． ◆[考点一]　已知两边及一角解三角形 １．一个三角形的两边长分别为５和３,它们夹 角的余弦值是－３５ ,则三角形的第三边长为 (　　) A．５２　　B．２ １３　　C．１６　　D．４ ２．在△ABC中,cosC＝２３ ,AC＝４,BC＝３,则 cosB＝ (　　) A．１９ B． １ ３ C． １ ２ D． ２ ３ ３．设△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a, b,c．若a＝２,c＝２ ３,cosA＝ ３２ ,且b＜c, 则b＝ (　　) A．３　　B．２　　C．２ ２　　D．３ ４．在△ABC中,BC＝３,AC＝５,π２＜B＜π ,则 边AB 的取值范围是 (　　) A．(２,８) B．(１,４) C．(４,＋∞) D．(２,４) ◆[考点二]　已知三边或三边的关系解三角形 ５．在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC＝４∶５∶ ６,则cosC＝ (　　) A．１８ B．－ １ ８ C． ９ １６ D．－ ９ １６ ６．在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c．若a ２－(b＋c)２ bc ＝－１ ,则A＝ (　　) A．１２０°　　B．４５°　　C．６０°　　D．３０° ７．(２０２３􀅰上海卷)△ABC 中,角A,B,C 所对 的边 分 别 为a＝４,b＝５,c＝６,则 sinA ＝　　　　． ８．(２０２５􀅰山东淄博高一预测)在△ABC中,内 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a＝２, sinA＝２sinBsinC,点E 在BC 边上,且AE ⊥BC,则AE＝　　　;若b２＋c２＝ ６bc,则 cosA＝　　　　． ◆[考点三]　余弦定理的综合应用 ９．(２０２５􀅰汕头高一模拟)△ABC 中,角A,B, C所对的边分别为a,b,c,且(a＋b)(sinA －sinB)＝(c－b)sinC,若a＝２,则△ABC 的面积的最大值是 (　　) A．１ B．３ C．２ D．２ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７２ １０．在△ABC中,已知BC＝７,AC＝８,AB＝９, 则AC边上的中线长为　　　　． １１．(２０２４􀅰天津卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c．已知cosB＝９１６ , b＝５,ac＝ ２ ３． (１)求a的值; (２)求sinA 的值; (３)求cos(B－２A)的值． １２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)记△ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c．已知sinC＝ ２cosB,a２＋b２－c２＝ ２ab． (１)求B; (２)若△ABC的面积为３＋ ３,求c． １．三角形内角平分线定理:三角形的内角平分 线内分对边,所得的两条线段与这个角的两 边对应成比例．已知△ABC中,AD 为∠BAC 的角平分线,与BC交于点D,AB＝３,AC＝４, BC＝５,则AD＝ (　　) A．２２７　　B． １５ ７　　C． １５ ２ ７ 　　D． １２ ２ ７ ２．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a, b,c．若a＝８,c＝７,cosA＝１７ ,则b＝　　　, C＝　　　． 一哥们家里着火了 他报 警 说:１１９ 吗? 我 家 发生火灾了􀆺􀆺 １１９问:在哪里? 他说:在我家 １１９问:具体点 他说:在我家的厨房里 １１９问:我说你现在的位置 他说:我趴在桌子底下 １１９:我们怎样才能到你家? 他说:你们不是有消防车吗 １１９说:􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８２ 故(a􀅰b)２≥a２b２,即|a􀅰b|≥|a||b|, 又|a􀅰b|≤|a||b|,所以|a􀅰b|＝|a||b|,即向量a,b共线, 反之也成立,因此两者应为充要条件．] ２．解析:由a＝(－１,１),b＝(０,２),得|a|＝ ２,|b|＝２,a􀅰b＝ －１×０＋１×２＝２,则cosθ＝ a 􀅰b |a||b|＝ ２ ２×２ ＝ ２２． 又θ∈ [０,π],所以θ＝π４ ,则sinθ＝ ２２． 又|a×b|＝|a|􀅰|b|􀅰sinθ, 所以|a×b|＝ ２×２× ２２＝２． 答案:２ 假期作业１４　余弦定理 思维整合室 １．a２＋c２ －２accosB　a２ ＋b２ －２abcosC　２．c ２＋a２－b２ ２ca 　 a２＋b２－c２ ２ab 　３． 直角　钝角　锐角 技能提升台　素养提升 １．B　 ２．A　如图,由余弦定理可知: cosC＝２３＝ BC２＋AC２－AB２ ２BC􀅰AC ＝３ ２＋４２－AB２ ２×３×４ , 可得AB＝３,又由余弦定理可知: cosB＝AB ２＋BC２－AC２ ２AB􀅰BC ＝ ３２＋３２－４２ ２×３×３ ＝ １ ９． ３．B ４．D　[依题意,５－３＜c＜５＋３,即２＜c＜８, 由于B 为钝角,所以cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＜０ ,a２＋c２－b２＝９ ＋c２－２５＝c２－１６＜０ 解得２＜c＜４, 所以c的取值范围,也即AB 的取值范围是(２,４)．] ５．A　[由正弦边角关系知:a∶b∶c＝４∶５∶６,令a＝４x,b＝５x, c＝６x,所以cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ １６x２＋２５x２－３６x２ ２×４x×５x ＝ １ ８． ] ６．A　[因为a ２－(b＋c)２ bc ＝－１ ,所以a２－(b＋c)２＝－bc,即a２－ b２－c２－２bc＝－bc,所以a２＝b２＋c２＋bc,由余弦定理得cosA ＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝－ １ ２． 因为０°＜A＜１８０°,所以A＝１２０°．] ７．解析:cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ２５＋３６－１６ ２×５×６ ＝ ３ ４ , ∴sinA＝ １－cos２A＝ ７４． 答案:７ ４ ８．解析:如图所示,记 AE 边为h,由 AE⊥ BC,在 △AEB 中,sinB＝AEAB ＝ h c ;在 △AEC中,sinC＝AEAC＝ h b , sinA＝２sinBsinC＝２h ２ bc , 又S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２ah ,得sinA＝ahbc , 则有２h ２ bc＝ ah bc ,即２h２＝ah,解得h＝１,即AE＝１; S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２ah＝１ ,bc＝ ２sinA , b２＋c２＝ ６bc,由 余 弦 定 理,a２＝b２＋c２－２bccosA＝ ６bc－ ２bccosA, 即４＝bc(６－２cosA)＝ ２sinA (６－２cosA), 可得２sinA＋２cosA＝ ６, 即sin A＋π４( )＝ ３ ２ , 由A∈(０,π),有A＋π４＝ ２π ３ , cosA ＝cos ２π３－ π ４( ) ＝cos ２π ３cos π ４ ＋sin ２π ３sin π ４ ＝ ６－ ２４ ． 答案:１　 ６－ ２４ ９．B　[由(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC, 利用正弦定理可得:(a＋b)(a－b)＝(c－b)c, 即a２＝b２＋c２－bc, 所以由余弦定理可得:cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ １ ２ , 又A∈(０,π),所以A＝π３． 因为a＝２,所以４＝b２＋c２－bc≥２bc－bc＝bc, 即bc≤４,当且仅当b＝c＝２时取等号, 所以S△ABC＝ １ ２bcsinA≤ １ ２×４× ３ ２＝ ３． 即△ABC面积的最大值为 ３．] １０．解析:由已知及余弦定理可得cosA＝AB ２＋AC２－BC２ ２AB􀅰AC ＝ ９２＋８２－７２ ２×９×８ ＝ ２ ３． 设中线长为x,由余弦定理得x２＝ AC２( ) ２ ＋AB２－２􀅰AC２ 􀅰AB􀅰cosA＝４２＋９２－２×４×９×２３＝４９ , 即x＝７．所以AC边上的中线长为７． 答案:７ １１．解:(１)设a＝２t,c＝３t,t＞０,则根据余弦定理得b２＝a２＋c２－ ２accosB, 即２５＝４t２＋９t２－２×２t×３t×９１６ ,解得t＝２(负值舍去); 则a＝４,c＝６． (２)因 为 B 为 三 角 形 内 角,所 以 sinB＝ １－cos２B＝ １－ ９１６( ) ２ ＝５ ７１６ , 根据正弦定理得 a sinA＝ b sinB ,即 ４ sinA＝ ５ ５ ７ １６ , 解得sinA＝ ７４ , (３)因为cosB＝９１６＞０ ,且B∈(０,π),所以B∈ ０,π２( ) , 由(２)知sinB＝５ ７１６ , 因为a＜b,则A＜B,所以cosA＝ １－ ７ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３４ , 则sin２A＝２sinAcosA＝２× ７４× ３ ４＝ ３ ７ ８ ,cos２A＝２cos２A －１＝２× ３４( ) ２ －１＝１８ , cos(B－２A)＝cosBcos２A＋sinBsin２A＝９１６× １ ８＋ ５ ７ １６ × ３ ７ ８ ＝ ５７ ６４． １２．解:(１)由余弦定理可得:cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ２ ２ , 因为C∈(０,π),所以C＝π４ ,所以 ２cosB＝sinC＝ ２２ ,即 cosB＝１２ , 因为B∈(０,π),所以B＝π３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０９ (２)由(１)可得A＝π－B－C＝５１２π ,设△ABC 外接圆的半 径为R, 由正弦定理可得:a sinA＝ b sinB＝ c sinC＝２R ,所以b＝ ３R, c＝ ２R,sinA＝sin(B＋C) ＝sinBcosC＋cosBsinC＝ ６＋ ２４ , 所以S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２ 􀅰 ３R􀅰 ２R􀅰 ６＋ ２４ ＝３＋ ３,解得R＝２, 所以c＝２ ２． 新题快递 １．D　[∵AB＝３,AC＝４,BC＝５,满足３２＋４２＝５２,∴∠BAC ＝９０°,故cos∠ABC＝３５ , ∵AD 是∠BAC的角平分线,∴BDDC＝ AB AC＝ ３ ４ ,∴BD＝ ３７ ×５＝１５７ , 在△ABD 中,由余弦定理AD２＝AB２＋BD２－２AB􀅰BD􀅰 cos∠ABD, 得AD２＝３２＋ １５７( ) ２ －２×３×１５７× ３ ５＝ ２８８ ４９ , 解得AD＝１２ ２７ 或者AD＝－１２ ２７ (舍去)．] ２．解析:由余弦定理可得a２＝b２＋c２－２bccosA,即６４＝b２＋４９ －２×b×７×１７＝b ２－２b＋４９, 故b２－２b－１５＝０,解得b＝－３(舍)或b＝５, 因为cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ,所以cosC＝６４＋２５－４９２×８×５ ＝ １ ２ ,又 C∈(０,π),故C＝π３． 答案:５　π３ 假期作业１５　正弦定理 思维整合室 １．asinA＝ b sinB＝ c sinC　２． 元素　解三角形 技能提升台　素养提升 １．D　２．B　 ３．C ４．C　[在△ABC中,已知A＝π３ ,BC＝３,AB＝ ６, 则由正弦定理可得 BC sinA＝ AB sinC ,即 ３ sinπ３ ＝ ６sinC , 求得sinC＝ ２２ , C∈(０,π),∴C＝π４ 或C＝３π４． 再由BC＞AB,以及大边对大角可得C＝π４＜A． ] ５．C　[因 为 B＝ π３ ,b２＝ ９４ac ,所 以sin２ B＝ ９４sinAsinC , sinAsinC＝４９× ３ ４＝ １ ３ ,由余弦定理可得:b２＝a２＋c２－ac ＝９４ac ,即a２＋c２＝１３４ac ,sin２A＋sin２C＝１３４sinAsinC＝ １３ １２ , 所以(sinA＋sinC)２＝sin２A＋sin２C＋２sinAsinC＝１３１２＋ ２ ３＝ ７ ４ ,sinA＋sinC＝ ７２． ] ６．BD　[将a＝２RsinA,b＝２RsinB(R 为△ABC 外接圆的半 径)代入已知条件,得sin２AtanB＝sin２BtanA,则sin ２AsinB cosB ＝sinAsin ２B cosA ． 因为sinAsinB≠０,所以sinAcosB＝ sinB cosA , 所以sin２A＝sin２B,所以２A＝２B 或２A＝π－２B, 所以A＝B或A＋B＝π２ ,故△ABC为等腰三角形或直角三角形．] ７．解析:如图所示:记 AB＝c,AC＝b, BC＝a, ２２＋b２－２×２×b×cos６０°＝６, 因为b＞０,解得:b＝１＋ ３, 由S△ABC＝S△ABD ＋S△ACD 可得, １ ２×２×b×sin６０°＝ １ ２×２×AD×sin３０°＋ １ ２×AD×b×sin３０° , 解得:AD＝ ３b １＋b２ ＝２ ３ (１＋ ３) ３＋ ３ ＝２． 答案:２ ８．解析:由 asinA＝ b sinB ,得sinB＝basinA＝ ２１ ７ , 又a２＝b２＋c２－２bccosA,∴c２－２c－３＝０,解得c＝３． 答案: ２１ ７ 　３ ９．C　[设AB＝x,根据余弦定理BC２＝ AC２＋AB２－２AC􀅰AB􀅰cos∠BAC, 已知 BC＝８,AC＝１０,cos∠BAC＝ ３ ５ ,代入可得: ８２＝１０２＋x２－２×１０×x×３５ , 即x２－１２x＋３６＝０,解得x＝６, 由于BC２＋AB２＝６４＋３６＝１００＝AC２,则△ABC为直角三角形, 则S＝１２×６×８＝２４． ] １０．BD　[因为A＋B＝π－C,所以sinC＝sin(π－C)＝sin(A ＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB． 又sinC＋sin(A－B)＝３sin２B, 所以２sinAcosB＝６sinBcosB, 即２cosB(sinA－３sinB)＝０,解得cosB＝０或sinA＝ ３sinB． 当cosB＝０时,因为B∈(０,π),所以B＝π２． 又C＝π３ ,所 以A＝π６ ,则sinA＝１２ ,sinB＝１,所以由正弦定理得ab ＝ sinA sinB＝ １ ２． 当sinA＝３sinB 时,由正弦定理得a＝３b, 所以a b ＝３． 综上所述,a b ＝３ 或１ ２． ] １１．解:(１)２ １ ２sinA＋ ３ ２cosA æ è ç ö ø ÷＝２, sin A＋π３( )＝１, ∵A 为三角形ABC 的内角, ∴A＋π３＝ π ２ ,∴A＝π６． (２)∵ ２bsinC＝csin２B, ∵sinBsinC≠０, ∴ ２sinBsinC＝sinCsin２B＝２sinCsinBcosB, ∴ ２＝２cosB,∴cosB＝ ２２ , ∴B＝π４ ,C＝７π１２ , a sinA＝ b sinB＝ c sinC , ２ １ ２ ＝b ２ ２ ＝ c ６＋ ２ ４ ,∴b＝２ ２,c＝ ６＋ ２, ∴△ABC的周长为２＋ ６＋３ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １９