假期作业12 平面向量的基本定理及坐标表示-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

假期作业１２　平面向量的基本定理及坐标表示　　　　　　　 １．平面向量基本定理 如果e１,e２ 是同一平面内的两个　　　　向 量,那么对于这一平面内的任意向量a,有 且只有一对实数λ１,λ２,使a＝　　　　．不 共线的向量e１,e２ 叫做表示这一平面内所有 向量的一组　　　　． ２．两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量a和b,作OA → ＝a,OB → ＝b, 则∠AOB＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图 所示)． (１)范围:向量a与b 的夹角的范围是　　　 　　　． (２)当θ＝０°时,a与b　　　　;当θ＝ 　 时,a与b反向． (３)垂直:如果a与b的夹角是　　　　,则称 a与b垂直,记作　　　　． ３．平面向量的坐标运算 (１)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a＋b＝ (　　　　　　　　)． (２)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a－b＝ (　　　　　　　　)． (３)若a＝(x,y),λ∈R,则λa＝(　　　　)． ４．共线向量的坐标表示 (１)设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),其中b≠０,a、 b共线,当且仅当存在实数λ,使　　　　． (２)如果用坐标表示可写为(x１,y１)＝λ(x２, y２),当且仅当　　　　　　　　时,向量 a、b(b≠０)共线． ◆[考点一]　平面向量基本定理 １．设e１,e２ 是平面内所有向量的一组基底,则 下列四组向量中,不能作为基底的是(　　) A．e１＋e２ 和e１－e２ B．３e１－４e２ 和６e１－８e２ C．e１＋２e２ 和２e１＋e２ D．e１ 和e１＋e２ ２．如图,AB 是☉O 的直径,点 C,D 是半圆弧AB︵的两个三 等分点,AB → ＝a,AC → ＝b,则 AD → ＝ (　　) A．a－１２b　　　　　 B． １ ２a－b C．a＋１２b D． １ ２a＋b ３．(２０２５􀅰广东高一预 测)古希腊数学家帕波 斯在其著作«数学汇 编»的第五卷序言中, 提到了蜂巢,称蜜蜂将 它们的蜂巢结构设计 为相同并且拼接在一 起的正六棱柱结构,从而储存更多的蜂蜜,提 升了空间利用率,体现了动物的智慧,得到世 人的认可．已知蜂巢结构的平面图形如图所 示,则AB → ＝ (　　) A．－３２CE → ＋５６DE → B．－５６CE → ＋３２DE → C．－２３CE → ＋５６DE → D．－５６CE → ＋２３DE → ４．向量a在基底{e１,e２}下可以表示为a＝２e１ ＋３e２,若a在基底{e１＋e２,e１－e２}下可以表 示为a＝λ(e１＋e２)＋μ(e１－e２),则λ＝ 　　　　　,μ＝　　　　　． ◆[考点二]　平面向量的坐标运算 ５．已知向量a＝(２,４),b＝(－１,１),则２a＋b 等于 (　　) A．(５,７) B．(５,９) C．(３,７) D．(３,９) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３２ ６．若向量a＝(２,１),b＝(－１,２),c＝ ０,５２ æ è ç ö ø ÷, 则c可用向量a,b表示为 (　　) A．１２a＋b B．－ １ ２a－b C．３２a＋ １ ２b D． ３ ２a－ １ ２b ７．(２０２４􀅰全国甲卷(理))设向量a＝(x＋１, x),b＝(x,２),则 (　　) A．x＝－３是a⊥b的必要条件 B．x＝－３是a∥b的必要条件 C．x＝０是a⊥b的充分条件 D．x＝－１＋ ３是a∥b的充分条件 ８．(２０２４􀅰上海卷)已知a＝(２,５),b＝(６,k), a∥b,则k的值为　　　　． ◆[考点三]　平面向量基本定理的综合应用 ９．已知在Rt△ABC中,∠BAC＝９０°,AB＝１, AC＝２,D 是 △ABC 内一点,且 ∠DAB＝ ６０°,设AD → ＝λAB → ＋μAC →(λ,μ∈R),则 λ μ ＝ (　　) A．２ ３３ 　　B． ３ ３　　C．３　　D．２ ３ １０．(２０２５􀅰山东高一调研)平面向量a,b满足 a＝(２,１),a∥b,a􀅰b＝－ １０,则|b|＝ 　　　　． １１．设e１,e２ 是不共线的非零向量,且a＝e１－ ２e２,b＝e１＋３e２． (１)证明:a,b可以作为一组基底; (２)以a,b为基底,求向量c＝３e１－e２ 的分 解式; (３)若４e１－３e２＝λa＋μb,求λ,μ的值． １２．解答下列各题: (１)设 向 量 a＝ (１,２),b＝ (－４,３), 求a－２b; (２)已知两点 M(３,－２)和 N(－５,－１), 点P 满足MP → ＝１２MN →,求点P 的坐标． １．(２０２５􀅰河南漯河高中高 一月考)“赵爽弦图”是由 四个全等的直角三角形与 一个小正方形拼成的一个 大正方形．如图,在“赵爽 弦图”中,若BC → ＝a,BA → ＝b,BE → ＝３EF →,则 BF → ＝ (　　) A．１２２５a＋ ９ ２５b B． １６ ２５a＋ １２ ２５b C．４５a＋ ３ ５b D． ３ ５a＋ ４ ５b ２．在矩形ABCD 中,AB＝６,AD＝４,E 为CD 的中点,若EF → ＝３FB →,AF → ＝λAB → ＋μAD →, 则λ＋μ＝　　　　． 大妈早上去广场散步,看到有个老头拿着 海绵笔在地上写大字,忍不住凑上去看． 老头看了大妈一眼,提笔写了个“滚”字． 大妈心想:看一下至于吗? 􀆺􀆺老头又看大妈 一眼,又写个“滚”．大妈再也忍不住了,上去一 脚将老头踢倒在地􀆺􀆺 警察来了问咋回事,老头委屈地说:“我就 想写句‘滚滚长江东逝水’,刚写头两个字,就 被这个神经病踹倒了”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４２ 化曼快系假阴 c00M= 7.C[,AD=DB,AE=EC.∴.F是△ABC的重心，则DF 专成亦=花+亦-茄+号成-茄+号C 解折：由套牛可声任中子解母 2 Aò)=号A计专AC=号+号花=子a+号“x 5 w= 答案：2 一2 5.D[2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9).] 8.解析：在△ABC中，∠A=60°，BC1=1,点D为AB的中 6.A[设c=0+b,则(0，号）=(2r-+2 点，点E为CD的中点，A店=a,C=b,则A正=号(Ai+ /2x-y=0, 1 所以 1 0=店+号d-a+号b 5解得r=2‘则c= x+2y=2 a+b.] y=1, 答案：a+b 7.C[若ab,则x(.x+1)+2x=0, 即x2+3.x=0,解得x=0或x=一3， 9.D[由c∥d,得c=d,.a+b=A(a-b) '.A错，C对：若a∥b,则2(x十1)一x2=0.即x一2x一2=0， 脚价A.收二即c=-a+b且c=-d.] 解得x=1土√3，故B、D错.] 8.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. 10.B[因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB. 答案：15 又AB,AD有公共点A,所以A.B,D三点共线.] 9.A[如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC 1.解：Bi=-店=-C=-(B所+A、 所在直线为y抽建立平面直角坐标系，则B点的 坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为∠DAB= ∴耐-号-m花， 60,所以设D,点的坐标为(m3m)(m≠0). AD=(m,3m)=AAB+4AC=a(1,0)+4(0,2)=(A,2) .m=一方 12,解：(1)画出向量如图所示 北 则A=m,且=2m, (2),D地在A地北偏东30°方向 上，B地在C地南偏西30°方向上， 30 ,.AD∥BC. 30 所以=2] 又AD=BC=2千米，∴.四边形AB 10.解析：设向量b=(x,y),由a∥b,可得受=十， CD是平行四边形， 西A 又a·b=-10.则2x十y=-10. ∴.AB=DC=6千米. C地在D地北偏东60°方向上， 解得x= 2/10 .B地在A地北偏东60方向6千米处. 5 w=0 5 AB的方向为北偏东60°，大小为6千米. 新题快递 5 1.BC[对于A,D:不妨取a,b分别为xy轴上的单位向量， 所以b三 210 满足“a=b”,满足“a与b都是单位向量”，但是a∥b不 -10 5 成立.故A,D错误；对于B:由零向量与任何向量平行，可知 答案：√2 a=0或|b1=0时，a∥b.故B正确：对于C:因为a=一2b, 所以a∥b.故C正确.] 11.解：(1)若a,b共线，则存在入∈R.使a=h,则e一2e=a(e+ 2,D[因为菱形对角钱平分对角，所以日十合与∠A0B平 d=1, 3e).由ee不共线得， a=1即 3=-2, =-2.所以a不 分线所在向量共线， 3· 存在，故a与b不共线，可以作为一组基底 所以O=(日+合)A由0i确定] (2)设c=0十nb(m,n∈R),得 假期作业12平面向量的基本 3e-=m(e-2e,)+n(e+3e)=(m+n)e十(-2m+3n) 定理及坐标表示 {2”十n=-1解之得{0”所以c=2a十6 e.所以m十n=3, 1n=1. 思维整合室 1,不共线入1e,+入2e,基底2.(1)0°≤0≤180° (3)由4e-3e=a+b,得 (2)同向180°(3)90°a1b3.(1)x1+1M+y 4e,-3e:=a(e1-2e,)+u(e,+3e2)=(a+u)e1+(-2x+ (2)x1-r2y-y(3)ar,Ay4.(1)a=b 3e.所以十n=4, -2A+3=-3.>=’ (2)x13为-x2=0 技能提升台素养提升 故所求入，的值分别为3和1. 1.B2.D 12.解：(1)a-2b=(1,2)-2(-4,3)=(1,2)-(一8,6)=(1十 3.B[以D为坐标原点，建立如图所示 8,2-6)=(9,一4). 的平面直角坐标系.不妨设AD一2， (2)由巴知两点M3,-2)和N(-5,-1),可得号M 则A(一13)，B(5,53),D(0,0),E (93),C(0,4V),故AB=(6,4V3), 2(-5-3,-1+2)=（42} CE=(9,-33).DE=(9,3). 设点P的坐标是(xy),则MP=(x一3y十2). 设AB=xCE+yDE, 则6=9x+9y 由已知=2M,可得(x-3y+2)-（4,号） 145=-33.x+√5y' (x-3=-4, ■-1. 5 3 解得 ,所以成=-C正+D成. 叶2子，解释 =-2 3 y=2: “点P的坐标是(-1，-受） 88 三0022 新题快递 6.解析：由a十b=2a-bl,得a2=2a·b: 1.B[周为B成=3E成，所以B正=B成，C示=-A 由a-b=5.得a-2a·b+6=3,即b=3.b=5. 答案：w3 =-正 7.ABCD[1a+b1=a-ba+b°=la-b1'=a+2a·b 所以B-a+C市-Q-AE0, +b=a2-2a·b+b=a·b=0,a2+b=(a-b)2=a2+b =a-2a·b十b=a·b=0.] 成=是成-b+A正@. 8.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+E2-4x =0.解得x=2.] 由①+子×@得瓷亦=a+子0： 9.解析：由向量a,b的夹角为受，直(a一b)1, 即成-a+是] 得(a-bb=ab-8=号a1b-b1=0: 2.解析：建立如图的平面直角坐标系， 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3,4) 所以a-2b1,8-2 EB=(3,-4), 因为a+bl=√(a+b)F=√a+2a·b+b 由成=3成得成=是成 =√4b+2b+b下=√7b1, la-bl=(a-b)=√a-2a·b+b =(是-3 =√4b-2b+bF=√5b1, 设F,则x-3y-4)=(是-3） 所以a十h= a-b 3 21 y-4=-3 y=1 答案2四 10.AC[设a=h(>0,所以=3·解得康=3， w3k=3. 1n=1 又图为AF-1AB+:AD=(6,0)+a(0,4)=(6x,4), 即a=√5b,故A正确 4=1 设c=(x,y)是与a垂直的单位向量，则有5.x十3y=0,x2+y 所以》 4 9 答案：8 因为b在a上的投影向量为3.所以a:卢=3，所以 a 假期作业13平面向量的数量积 思维整合室 3m十33=3，解得u=3,故C正确. 25 1.(1)al1 bcos002.(1)b·a(3)a·b+a·c 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a,b不共线，所 3.a·a+ya1bcos0x西+y为ab a·b 以Bn十33<0…解得，3·即n<-3所以n∈(-o 13-3m≠0， n≠1， E1x十y1 一3)，故D错误.] √+·√+y 1十y1=0 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 技能提升台素养提升 是AM的中垂线，设AM与EF交于点 1.B[a=(0,1),b=(1,0), N,则N是AM的中点，又正方形边长为 ∴.a-b=(-1,1), 8,所以M(8,4),N(4,2). .a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.] 设点E(e,0).则AM=(8,4).AN=(4 2.B[以{AB,AD1为基底向量，可知AB=AD1=2,AB· 2),AE=(e,0),EN=(4-e,2), AD=0 由AM⊥EN得AM.EN=0,即(8,4)·(4-，2)=0，解得 则E武-E+BC=号A店+AD,E币=E+Ai=-号A店 e=5,即AE1=5. +AD 所以5m=号1B=号×5×4=10. 所以武.市=(2A店+A·(-2A店+A) 12.解：(1)：AB·AC-0,AB⊥AC -A花+A市=-1+4=3.] 又AB=12,BC=15,1AC1=9 3.解析：因为BC-AC-AB=(-3,2),所以(xAB+AC)⊥BC 由已知可得A市=号+AO.C店=A店-C, →(AAB+AC)·BC=0→AAB·BC+AC·BC=0.即-6a 市.C成-专（店+AC·(店-0）=是（店- 十7=0：解得入=石 花)-144-81)-婴。 答案：日 (2)A正.CB的值为一个常数. 4.B[将条件a+2b|=2平方得1+4a·b+4b=4,由(b- 理由：，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D,E 20)Lb得5-2a:b0,所以-名b-号] 为l上异于D的任意一点DE·CB=0. 故AE·CB=(AD+DE)·C=AD.C+DE.Ci 5.B[由a+b=7,即(a+b)2=7,即a+2a·b+b=7,则 a2+2la·bcos(a,b》+1b2=7,又a=2bl=2,所以 .成=2（常数） cosa,b=合又0≤(a,b}<180,所以a与b的夫角 新题快递 1.C[关于x的方程a'x+2a·bx十b=0有实数根，则△= 为60°.] 4(a·b)2-4ab≥0. 89