假期作业11 平面向量的概念与线性运算-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

　　　　　　假期作业１１　平面向量的概念与线性运算　　　 １．向量的有关概念 (１)向量:既有大小又有　　　　的量叫向量; 向量的大小叫做向量的　　　　． (２)零向量:长度等于　　的向量,其方向是任 意的． (３)单位向量:长度等于　　　　的向量． (４)平行向量:方向相同或　　　　的非零向量, 又叫共线向量,规定:０与任一向量共线． (５)相等向量:长度相等且　　　　相同的 向量． (６)相反向量:长度相等且　　　　相反的 向量． ２．向量的线性运算 (１)向量的加法和减法 ①加法法则:服从三角形法则,平行四边形 法则．运算性质:a＋b＝b＋a;(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)． ②减法与加法互为逆运算;服从三角形法则． (２)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作 λa,规定: a．长度:|λa|＝|λ||a|; b．方向:当λ＞０时,λa与a的方向相同;当 λ＜０时,λa 与a 的方向相反;当λ＝０时, λa＝０． ②运算律:设λ、μ∈R,则:λ(μa)＝(λμ)a; (λ＋μ)a＝λa＋μa;λ(a＋b)＝λa＋λb． ３．共线向量定理 向量a(a≠０)与b共线的充要条件是存在 唯一一个实数λ,使得b＝λa． ◆[考点一]　平面向量的基本概念 １．下列各命题中假命题的个数为 (　　) ①向量AB → 的长度与向量BA → 的长度相等． ②向量a与向量b 平行,则a与b 的方向相 同或相反． ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点 必相同． ④两 个 有 共 同 终 点 的 向 量,一 定 是 共 线 向量． ⑤向量AB → 与向量CD → 是共线向量,则点A, B,C,D 必在同一条直线上． ⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段． A．２ B．３　　C．４　　D．５ ２．(２０２５􀅰云南师范大学附属中学 高一月考)如图,在☉O中,向量 BO →,OC →,OA → 是 (　　) A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 ３．若a等于“向东走８km”,b等于“向北走８ km”,则|a＋b|＝　　　　 km,a＋b的方 向是　　　　． ４．中国象棋中规定:马走 “日”字,象走“田”字．如 图,在中国象棋的半个 棋盘(４×８的矩形中每 个小方格都是单位正方形)中,若马在A处,可 跳到A１ 处,也可跳到A２ 处,用向量AA１ →,AA２ → 表示马走了“一步”．若马在B处或C处,则表 示马走了“一步”的向量共有　　　　个． ◆[考点二]　平面向量的线性运算 ５．如图,在正六边形 ABCDEF 中,BA → ＋CD → ＋EF → ＝ (　　) A．０ B．BE → C．AD → D．CF → ６．(多选题)已知m,n是实数,a,b是向量,则 下列说法中正确的是 (　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb,则a＝b D．若ma＝na,则m＝n ７．如 图,在 △ABC 中,AD＝ DB,AE＝EC,CD 与BE 交 于点F．设AB → ＝a,AC → ＝b, AF → ＝xa＋yb,则(x,y)为 (　　) A．１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ B．２３ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷ C．１３ ,１ ３ æ è ç ö ø ÷ D．２３ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １２ ８．(２０２３􀅰天津卷)在△ABC 中,∠A＝６０°, |BC → |＝１,点D 为线段AB 的中点,点E 为 线段CD 的中点,若设AB → ＝a,AC → ＝b,则AE → 可用a,b表示为　　　　． ◆[考点三]　向量的共线及其综合应用 ９．已知向量a,b不共线,c＝ka＋b(k∈R),d＝ a－b,如果c∥d,那么 (　　) A．k＝１且c与d 同向 B．k＝１且d与c反向 C．k＝－１且c与d 同向 D．k＝－１且d与c反向 １０．已知AB → ＝a＋２b,BC → ＝－５a＋６b,CD → ＝７a －２b,则下列一定共线的三点是 (　　) A．A,B,C B．A,B,D C．B,C,D D．A,C,D １１．已知AB → ＝１４BC →,且BA → ＝mAC →,求实数m 的值． １２．(２０２５􀅰河南信阳高一月 考)一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务．先从 A 地 向北偏东 ３０°方向行驶 ２ 千米到 D 地,然后从 D 地 沿北偏东６０°方向行驶６千米到达C 地, 又从C地向南偏西３０°方向行驶２千米才 到达B 地． (１)在如图所示的坐标系中画出AD →,DC →, CB →,AB →; (２)求B 地相对于A 地的位置向量． １．(多选)以下选项中,能使a∥b 成立的条 件有 (　　) A．|a|＝|b| B．|a|＝０或|b|＝０ C．a＝－２b D．a与b都是单位向量 ２．(２０２５􀅰江西模拟)若OA → ＝a,OB → ＝b,a与b不 共线,则∠AOB平分线上的向量OM → 为 (　　) A．a|a|＋ b |b| B．a＋b|a＋b| C．|b|a－|a|b|a|＋|b| D．λ a|a|＋ b |b| æ è ç ö ø ÷,λ由OM → 确定 一 男 子 和 老 婆 在 火 锅 店,边 吃 边 聊,正 高 兴 时,有 个 少妇走过来,直视着 他说:“我 怀 孕 了!” 那个男人的老婆先是一愣,紧接着甩手给了他 一耳光,又拉又扯,连哭带闹．全火锅楼的目光 都聚焦在他俩身上,那哥们欲哭无泪! 这时,少妇又幽幽的来了一句:“麻烦你 把烟掐了,谢谢!” 哥们捂住脸哭都哭不出来􀆺􀆺 吃饭有风险,抽烟需谨慎! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２２ ∴tan２θ＝ ２tanθ １－tan２θ ＝ ４１－４＝－ ４ ３ , ∴tan ２θ－π４( )＝ tan２θ－tanπ４ １＋tan２θtanπ４ ＝tan２θ－１１＋tan２θ＝ －４３－１ １－４３ ＝７． 答案:７ ７．B　[由题意知f(x)＝ ３２sinx＋４× １＋cosx ２ ＝ ３ ２sinx＋ ２cosx＋２＝５２sin (x＋φ)＋２ 其中tanφ＝ ４ ３( ) ,又因为x∈ R,所以f(x)的最大值为９２． ] ８．D　[由题意得: ∵y＝sinx(sinx＋cosx)＝sin２x＋１２sin２x＝ １－cos２x ２ ＋ １ ２sin２x＝ ２ ２sin ２x－ π ４( ) ＋ １ ２． 选项 A:函数的最小正周 期为 Tmin ＝ ２π ω ＝ ２π ２ ＝π ,故 A 错 误;选 项 B:由 于 －１≤ sin ２x－π４( ) ≤１,函数的最大值为 ２ ２＋ １ ２ ,故B错误;选项C: 函数的对称轴满足２x－π４＝kπ＋ π ２ ,x＝k２π＋ ３π ８ ,当x＝π４ 时,k＝－１４ ∉Z ,故 C错误;选项 D:令x＝ π８ ,代入函数的 f π８( ) ＝ ２ ２sin ２× π ８－ π ４( ) ＋ １ ２ ＝ １ ２ ,故 π ８ ,１ ２( ) 为 函 数的一个对称中心,故 D正确．] ９．AD　 [∵ 函 数 f(x)＝sin ２x＋π４( ) ＋cos ２x＋ π ４( ) ＝ ２sin ２x＋π４( )＋ π ４[ ]＝ ２sin ２x＋ π ２( ) ＝ ２cos２x,x∈R, f(－x)＝ ２cos(－２x)＝ ２cos２x＝f(x),∴f(x)为偶函数, 故 A正确． 令２kπ＋π≤２x≤２π＋２kπ,k∈Z,解得kπ＋π２≤x≤π＋kπ ,k ∈Z,当k＝０时,π２≤x≤π ,则函数f(x)在 π２ ,π( ) 上单调 递增,故 B不正确．f(x)的最大值为 ２,故 C不正确．由２x ＝kπ＋π２ ,k∈Z,解得x＝kπ２＋ π ４ ,k∈Z,可得当k＝０时,其 图象关于点 π ４ ,０( ) 对称,故 D正确．] １０．解析:由题意知f(x)＝sinx－ ３cosx＝２sin x－π３( ) ,当 x∈[０,π]时,x－π３∈ － π ３ ,２π ３[ ] , ∴sin x－π３( ) ∈ － ３ ２ ,１[ ] ,于 是 f(x)∈ [－ ３,２],故 f(x)在[０,π]上的最大值为２． 答案:２ １１．解:(１)∵f(x)＝OA→􀅰OB→＝sinx＋sinxcosx＋sin２x－sinx＝ ２ ２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ ,∴当２x－π４＝２kπ＋ π ２ (k∈Z),即 x＝kπ＋３π８ (k∈Z)时,f(x)取得最大值１＋ ２２ ,f(x)的最小 正周期为π． (２)∵f(x)＝ ２２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ , ∴当２kπ－π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 即kπ－π８≤x≤kπ＋ ３π ８ ,k∈Z时,函数f(x)为增函数． ∴f(x)的单调递增区间为 kπ－π８ ,kπ＋３π８[ ](k∈Z)． １２．解:(１)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) , 得sinα＝－４５ , 所以sin(α＋π)＝－sinα＝４５． (２)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) ,得cosα＝－ ３ ５ , 由sin(α＋β)＝ ５ １３ ,得cos(α＋β)＝± １２ １３． 由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα,所以 cosβ＝－ ５６ ６５ 或cosβ＝ １６ ６５． 新题快递 １．A　[由sinαsin π３－α( )＝３cosαsinα＋ π ６( ) , 得sinα ３ ２cosα－ １ ２sinα æ è ç ö ø ÷＝３cosα ３ ２sinα＋ １ ２cosα æ è ç ö ø ÷, 即sin２α＋２ ３sinαcosα＋３cos２α＝０ 则(sinα＋３cosα)２＝０,得sinα＝－３cosα,则tanα＝－３,所以 sin２α＋π６( )＝ ３ ２sin２α＋ １ ２cos２α＝３sinαcosα＋cos ２α－１２＝ ３sinαcosα cos２α＋sin２α ＋ cos ２α cos２α＋sin２α －１２＝ ３tanα １＋tan２α ＋ １ １＋tan２α －１２ ＝ －３１＋３＋ １ １＋３－ １ ２＝－１． ] ２．解析: 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　cos ２x＋π３( )－cos ２x－ π ３( ) cos ２x＋π３( )sinxcosx ＝ －２sin２xsin π３ cos ２x＋π３( )sinxcosx ＝ －４sinxcosxsinπ３ cos ２x＋π３( )sinxcosx ＝ －４sinπ３ cos ２x＋π３( ) ＝ －４sin π３ １－２sin２ x＋π６( ) ＝ －４× ３２ １－２３ ＝－６ ３． 答案:－６ ３ 假期作业１１　平面向量的概 念与线性运算 思维整合室 １．(１)方向　模　(２)０　(３)１个单位　(４)相反　(５)方向　(６)方向 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．B　[对于 A,根据题中图形,可得向量BO→,OC→,OA→不是有相 同起点的向 量,∴A 错 误;对 于 B,∵O 是 圆 心,那 么 向 量 BO→,OC→,OA→的模是一样的,∴B正确;对于 C,共线向量是方 向相同或者相反的向量,∴C错误;对于 D,相等的向量指的 是大小相等,方向相同的向量,∴D错误．] ３．解析:如图所示,设AB→＝a,BC→＝b,则AC→＝a＋ b,且△ABC为等腰直角三角形,则|AC→|＝ ８ ２,∠BAC＝４５°． 答案:８ ２　北偏东４５° ４．解析:此题中,马在 A 处 有 两 条 路 可走,在 B 处 有 三 条 路 可 走,在 C 处有八条路可走．如图,以B 为起点 作有向线段表示马走了“一步”的向 量,符合题意的共３个;以C为起点 作有向线段表示马走了“一步”的向 量,符合题意的共８个．所以共有１１个． 答案:１１ ５．D　 ６．AB　[A和B属于数乘对向量与实数的分配律,正确;C中, 若m＝０,则不能推出a＝b,错误;D中,若a＝０,则m,n没有 关系,错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７８ ７．C　[∵AD＝DB,AE＝EC,∴F 是△ABC 的重心,则DF→＝ １ ３DC →,∴AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋ １３DC →＝AD→＋ １３ (AC →－ AD→)＝２３AD →＋１３AC →＝ １３AB →＋ １３AC →＝ １３a＋ １ ３b ,∴x＝ １ ３ ,y＝１３． ] ８．解析:在△ABC 中,∠A＝６０°,|BC→|＝１,点 D 为AB 的 中 点,点E 为CD 的中点,AB→＝a,AC→＝b,则AE→＝ １２ (AD →＋ AC→)＝１４AB →＋１２AC →＝１４a＋ １ ２b． 答案:１ ４a＋ １ ２b ９．D　[由c∥d,得c＝λd,∴ka＋b＝λ(a－b) 即 k＝λ, １＝－λ,{ ∴ k＝－１, λ＝－１,{ 即c＝－a＋b且c＝－d．] １０．B　[因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝３a＋６b＝３(a＋２b)＝３AB→, 又AB→,AD→有公共点A,所以A,B,D 三点共线．] １１．解:∵BA→＝－AB→＝－１４BC →＝－１４(BA →＋AC→), ∴BA→＝－１５AC →＝mAC→, ∴m＝－１５． １２．解:(１)画出向量如图所示． (２)∵D 地 在A 地 北 偏 东 ３０°方 向 上,B 地在C 地 南 偏 西３０°方 向 上, ∴AD∥BC． 又AD＝BC＝２千米,∴四边形ABＧ CD 是平行四边形, ∴AB＝DC＝６千米． ∵C地在D 地北偏东６０°方向上, ∴B 地在A 地北偏东６０°方向６千米处． ∴AB→的方向为北偏东６０°,大小为６千米． 新题快递 １．BC　[对于 A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向量, 满足“|a|＝|b|”,满足“a与b 都是单位向量”,但是a∥b不 成立．故 A、D错误;对于 B:由零向量与任何向量平行,可知 |a|＝０或|b|＝０时,a∥b．故B正确;对于C:因为a＝－２b, 所以a∥b．故 C正确．] ２．D　[因为菱形对角线平分对角,所以 a|a|＋ b |b| 与∠AOB 平 分线所在向量共线, 所以OM→＝λ a|a|＋ b |b|( ) ,λ由OM →确定．] 假期作业１２　平面向量的基本 定理及坐标表示 思维整合室 １．不共线　λ１e１＋λ２e２　基底　２．(１)０°≤θ≤１８０° (２)同向　１８０°　(３)９０°　a⊥b　３．(１)x１＋x２,y１＋y２ (２)x１－x２,y１－y２　(３)λx,λy　４．(１)a＝λb (２)x１y２－x２y１＝０ 技能提升台　素养提升 １．B　２．D　 ３．B　[以 D 为坐标原点,建立如图所示 的平面直角坐标系．不妨设AD＝２, 则A(－１,３),B(５,５ ３),D(０,０),E (９,３),C(０,４ ３),故AB→＝(６,４ ３), CE→＝(９,－３ ３),DE→＝(９,３)． 设AB→＝xCE→＋yDE→, 则 ６＝９x＋９y ４ ３＝－３ ３x＋ ３y{ , 解得 x＝－５６ , y＝３２ , ì î í ïï ï 所以AB→＝－５６CE →＋３２DE →．] ４．解析:由条件可知 λ＋μ＝２λ－μ＝３{ ,解得 λ＝５２ μ＝－ １ ２ ì î í ïï ï ． 答案:５ ２　－ １ ２ ５．D　[２a＋b＝２(２,４)＋(－１,１)＝(３,９)．] ６．A　[设c＝xa＋yb,则 ０,５２( )＝(２x－y,x＋２y), 所以 ２x－y＝０, x＋２y＝５２ ,{ 解得 x＝ １ ２ , y＝１,{ 则c＝ １ ２a＋b． ] ７．C　[若a⊥b,则x(x＋１)＋２x＝０, 即x２＋３x＝０,解得x＝０或x＝－３, ∴A错,C对;若a∥b,则２(x＋１)－x２＝０,即x２－２x－２＝０, 解得x＝１± ３,故B、D错．] ８．解析:由题意可知,２k＝５×６,则k＝１５． 答案:１５ ９．A　[如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC 所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B 点的 坐标为(１,０),C点的坐标为(０,２),因为∠DAB＝ ６０°,所以设D点的坐标为(m,３m)(m≠０)． AD→＝(m,３m)＝λAB→＋μAC→＝λ(１,０)＋μ(０,２)＝(λ,２μ), 则λ＝m,且μ＝ ３ ２m , 所以λ μ ＝２ ３３ ． ] １０．解析:设向量b＝(x,y),由a∥b,可得x２＝ y １ , 又a􀅰b＝－ １０,则２x＋y＝－ １０, 解得x＝－２ １０５ ,y＝－ １０５ , 则b＝ －２ １０５ ,－ １０５ æ è ç ö ø ÷, 所以|b|＝ －２ １０５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ － １０５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ２． 答案:２ １１．解:(１)若a,b共线,则存在λ∈R,使a＝λb,则e１－２e２＝λ(e１＋ ３e２)．由e１,e２ 不共线得, λ＝１, ３λ＝－２,{ 即 λ＝１, λ＝－２３．{ 所以λ不 存在,故a与b不共线,可以作为一组基底． (２)设c＝ma＋nb(m,n∈R),得 ３e１－e２＝m(e１－２e２)＋n(e１＋３e２)＝(m＋n)e１＋(－２m＋３n) e２．所以 m＋n＝３, －２m＋３n＝－１{ ,解之得 m＝２, n＝１．{ 所以c＝２a＋b． (３)由４e１－３e２＝λa＋μb,得 ４e１－３e２＝λ(e１－２e２)＋μ(e１＋３e２)＝(λ＋μ)e１＋(－２λ＋ ３μ)e２．所以 λ＋μ＝４, －２λ＋３μ＝－３,{ ⇒ λ＝３, μ＝１．{ 故所求λ,μ的值分别为３和１． １２．解:(１)a－２b＝(１,２)－２(－４,３)＝(１,２)－(－８,６)＝(１＋ ８,２－６)＝(９,－４)． (２)由已知两点 M(３,－２)和 N(－５,－１),可得 １２MN →＝ １ ２ (－５－３,－１＋２)＝ －４,１２( ) , 设点P 的坐标是(x,y),则MP→＝(x－３,y＋２)． 由已知MP→＝１２MN →,可得(x－３,y＋２)＝ －４,１２( ) , ∴ x－３＝－４, y＋２＝１２ ,{ 解得 x＝－１, y＝－３２ ,{ ∴点P 的坐标是 －１,－３２( )． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８８