假期作业10 三角恒等变换-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

　　假期作业１０　三角恒等变换　　　　　　　 １．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝　　　　　　; cos(α∓β)＝　　　　　　　　; tan(α±β)＝　　　　　　 α±β,α,β均不为kπ＋ π ２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ２．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin２α＝　　　　　　　　; cos２α＝　　　　＝　　　　＝　　　　; tan２α＝ ２tanα １－tan２α α,２α均不为kπ＋π２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ３．三角函数公式的变形 (１)tanα±tanβ＝tan(α±β)(１∓tanαtanβ); (２)cos２α＝１＋cos２α２ ,sin２α＝１－cos２α２ ; (３)１＋sin２α＝(sinα＋cosα)２,１－sin２α＝(sinα －cosα)２,sinα±cosα＝２sinα±π４ æ è ç ö ø ÷． ◆[考点一]　三角函数式的化简与求值 １．３sin５π１２－cos ５π １２ 的值是 (　　) A．２　　B．２２　　C．－ ２　　D．sin ７π １２ ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m, tanαtanβ＝２,则cos(α－β)＝ (　　) A．－３m B．－m３ C． m ３ D．３m ３．(多选题)下列式子的运算结果为 ３的是 (　　) A．tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５° B．２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°) C．１＋tan１５°１－tan１５° D． tanπ６ １－tan２ π６ ４．(２０２４􀅰全国甲卷(理))已知 cosαcosα－sinα＝ ３,则tanα＋π４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．２ ３＋１ B．２ ３－１ C．３２ D．１－ ３ ５．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cosα＝ １＋ ５ ４ ,则sinα２＝ (　　) A．３－ ５８ B． －１＋ ５ ８ C．３－ ５４ D． －１＋ ５ ４ ６．已知sinθ＝２ ５５ ,θ∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,则tan２θ－π４ æ è ç ö ø ÷ ＝　　　　． ◆[考点二]　三角变换的简单应用 ７．函数f(x)＝３sinx２cos x ２＋４cos ２x ２ (x∈R) 的最大值等于 (　　) A．５ B．９２ C． ５ ２ D．２ ８．关于函数y＝sinx(sinx＋cosx)描述正确 的是 (　　) A．最小正周期是２π B．最大值是 ２ C．一条对称轴是x＝π４ D．一个对称中心是 π８ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ ９．(多 选)设 函 数 f(x)＝sin ２x＋π４ æ è ç ö ø ÷ ＋ cos２x＋π４ æ è ç ö ø ÷,则f(x)＝ (　　) A．是偶函数 B．在区间 ０,π２ æ è ç ö ø ÷上单调递增 C．最大值为２ D．其图象关于点 π４ ,０ æ è ç ö ø ÷对称 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９１ １０．(２０２４􀅰全国甲卷(文))函数f(x)＝sinx－ ３ cosx在[０,π]上的最大值是　　　　． １１．已知OA → ＝(１,sinx－１),OB → ＝(sinx＋ sinxcosx,sinx),f(x)＝OA →􀅰OB →(x∈R)．求: (１)函数f(x)的最大值和最小正周期; (２)函数f(x)的单调递增区间． １２．已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的 非负半轴重合,它的终边过点P －３５ ,－４５ æ è ç ö ø ÷． (１)求sin(α＋π)的值; (２)若角β满足sin(α＋β)＝ ５ １３ ,求cosβ 的值． １．(２０２５􀅰山东潍坊高一模拟) 已知 sinαsin π３－α æ è ç ö ø ÷ ＝３cosαsin α＋π６ æ è ç ö ø ÷, 则sin２α＋π６ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－１ B．－ ３２ C． １ ２ D． ３ ２ ２．已知sinx＋π６ æ è ç ö ø ÷＝ ３３ , 则 cos２x＋π３ æ è ç ö ø ÷－cos２x－π３ æ è ç ö ø ÷ cos２x＋π３ æ è ç ö ø ÷sinxcosx ＝　　　　． 前进步伐,永不停歇　六点起床很困难, 背单词很困难,静下心很困难􀆺􀆺但是总有一 些人,五点可以起床,一天背六课单词,耐心读 完一本书．谁也没有超能力,但是自己可以决 定一天去做什么事情．你以为没有路,事实上 路可能就在前方一点点．那些比自己强大的人 都在拼命,我们还有什么理由停下脚步． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０２ ７．解析:∵tan(π－x)＝－tanx,又∵tanx是奇函数, ∴tan(－x)＝－tanx．∴tanx＝－tan(π－x)＝tan(x－π)． ∴tan２＝tan(２－π),tan３＝tan(３－π)． ∵－ π２ ＜２－π＜３－π＜１＜ π ２ ,且 y＝tanx 在 －π２ ,π ２( ) 上单调递增．∴tan(２－π)＜tan(３－π)＜tan１, 即tan２＜tan３＜tan１． 答案:tan２＜tan３＜tan１ ８．解析:将函数y＝tan ωx＋π４( )(ω＞０)的图象向右平移 π ６ 个 单位长度后,得到函数y＝tan ωx＋π４－ ωπ ６( )(ω＞０)的图 象,与函数y＝tan ωx＋π６( ) 的图象重合,所以 π ４－ ωπ ６＝ π ６ ＋kπ(k∈Z),所以k＝０时,ω的最小值为１２． 答案:１ ２ ９．BC　[A错,代x＝０便知;B显然对,两者值域相同;C显然 对,两者最小正周期都为 π;D 错,前 者 对 称 轴 为x＝ π４ ＋ kπ ２ ,后者是x＝３π８＋ kπ ２． ] １０．解析:设A x１, １ ２( ) ,B x２, １ ２( ) ,则ωx１＋φ＝ π ６ ,ωx２＋φ ＝５π６ ,又 x２ －x１ ＝ π ６ ,所 以 ω＝４,由 曲 线 y＝f(x)过 ２π ３ ,０( ) ,所以４×２π３ ＋φ＝２π,即φ＝－ ２π ３ ,所以f(x)＝ sin ４x－２π３( ) ,f(π)＝sin ４π－ ２π ３( ) ＝－sin２π３＝－ ３ ２． 答案:－ ３２ １１．解:∵－１≤cosx≤１,∴ |a|＋b＝１－|a|＋b＝－３．{ 解之得 |a|＝２ b＝－１{ , 即 a＝±２ b＝－１{ 当a＞０时,f(x)＝－sin ２x＋π３( )＝ sin π＋ ２x＋π３( )[ ] ＝sin ２x＋ ４π ３( )．令 π ２ ＋２kπ≤２x＋ ４π ３≤ ３π ２＋２kπ ,k∈Z, 得－５π１２＋kπ≤x≤ π １２＋kπ ,k∈Z． 当a＜０时,f(x)＝－sin －２x＋π３( )＝sin ２x－ π ３( ) 令 π ２＋２kπ≤２x－ π ３≤ ３π ２＋２kπ ,k∈Z,得５π１２＋kπ≤x≤ １１π １２ ＋kπ,k ∈ Z,∴ 当 a ＞ ０ 时,f (x)的 减 区 间 为 －５π１２＋kπ ,π １２＋kπ[ ](k∈Z); 当a＜０时,f(x)的减区间为 ５π１２＋kπ ,１１π １２＋kπ[ ](k∈Z)． １２．解:(１)f(x)＝２cos２ x２＋ ３sinx＋a－１＝cosx＋ ３sinx ＋a＝２sin x＋π６( )＋a． 由f(x)max＝２＋a＝１,解得a＝－１． 又f(x)＝２sin x＋π６( )－１, 则２kπ＋π２≤x＋ π ６≤２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z, 解得２kπ＋π３≤x≤２kπ＋ ４π ３ ,k∈Z, 所以函数的单调递减区间为 ２kπ＋π３ ,２kπ＋４π３[ ] ,k∈Z; (２)由 x∈ ０,π２[ ] ,则 x＋ π ６ ∈ π ６ ,２π ３[ ] ,所 以 １ ２ ≤ sin x＋π６( ) ≤１, 所以０≤２sin x＋π６( )－１≤１, 所以函数f(x)的值域为[０,１]． 新题快递 １．B　[令３０００cos nπ６＋ ２π ３( )＋４０００≥５５００, 则cos nπ６＋ ２π ３( ) ≥ １ ２ ,则－ π３＋２kπ≤ nπ ６＋ ２π ３ ≤ π ３＋２kπ , k∈Z,解得－６＋１２k≤n≤－２＋１２k,k∈Z, ∵１≤n≤１２,∴６≤n≤１０,∵n是正整数,∴n＝６,７,８,９,１０, 共５个．] ２．BCD　[对于 A选项,将y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标不 变,横坐标变为原来的４倍,可得到函数y＝sin １２x＋ π ３( ) 的 图象, 再将所得图象向右平移 π ６ 个单位长度,可得到函数g(x)＝ sin １２ x－ π ６( )＋ π ３[ ]＝sin １ ２x＋ π ４( ) 的图象,A错误;对 于B选项,g －７π２( ) ＝sin － ７π ４＋ π ４( ) ＝sin － ３π ２( ) ＝１,B 正确;对于 C选项,函数g(x)的最小正周期为T＝２π１ ２ ＝４π, C正确;对于 D选项,当－３π＜x＜－３π２ 时,－５π４＜ １ ２x＋ π ４ ＜－ π２ ,所 以,函 数g(x)在 区 间 －３π,－３２π( ) 上 单 调 递 减,D正确．] 假期作业１０　三角恒等变换 思维整合室 １．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ±sinαsinβ　 tanα±tanβ １∓tanαtanβ ２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　１－２sin２α 技能提升台　素养提升 １．A ２．A　[由tanαtanβ＝２,得sinαsinβ＝２cosαcosβ,cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ＝－cosαcosβ＝m,故cosαcosβ＝－m,所 以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝３cosαcosβ＝－３m．故选 择:A．] ３．ABC　 [对 于 A,tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ tan(２５°＋３５°)(１－tan２５°tan３５°)＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３－ ３tan２５°tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３; 对于B,２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°)＝２(sin３５°cos２５°＋ cos３５°sin２５°)＝２sin６０°＝ ３; 对于 C,１＋tan１５°１－tan１５°＝ tan４５°＋tan１５° １－tan４５°tan１５°＝tan６０°＝ ３ ; 对于D, tanπ６ １－tan２π６ ＝１２× ２tanπ６ １－tan２ π６ ＝１２×tan π ３＝ ３ ２． 综上,式子的运算结果为 ３的选项为 ABC．] ４．B　[因为 cosαcosα－sinα＝ ３ ,所以tanα＝１－ ３３ , tanα＋π４( )＝ tanα＋１ １－tanα＝２ ３－１． ] ５．D　 [由 半 角 公 式 可 知 sin２ α２ ＝ １－cosα ２ ,解 得 sin α２ ＝ ５－１４ ． ] ６．解析:sinθ＝２ ５５ ,θ∈ ０,π２( ) ⇒cosθ＝ １－sin ２θ＝ ５５ ⇒ tanθ＝sinθcosθ＝２ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６８ ∴tan２θ＝ ２tanθ １－tan２θ ＝ ４１－４＝－ ４ ３ , ∴tan ２θ－π４( )＝ tan２θ－tanπ４ １＋tan２θtanπ４ ＝tan２θ－１１＋tan２θ＝ －４３－１ １－４３ ＝７． 答案:７ ７．B　[由题意知f(x)＝ ３２sinx＋４× １＋cosx ２ ＝ ３ ２sinx＋ ２cosx＋２＝５２sin (x＋φ)＋２ 其中tanφ＝ ４ ３( ) ,又因为x∈ R,所以f(x)的最大值为９２． ] ８．D　[由题意得: ∵y＝sinx(sinx＋cosx)＝sin２x＋１２sin２x＝ １－cos２x ２ ＋ １ ２sin２x＝ ２ ２sin ２x－ π ４( ) ＋ １ ２． 选项 A:函数的最小正周 期为 Tmin ＝ ２π ω ＝ ２π ２ ＝π ,故 A 错 误;选 项 B:由 于 －１≤ sin ２x－π４( ) ≤１,函数的最大值为 ２ ２＋ １ ２ ,故B错误;选项C: 函数的对称轴满足２x－π４＝kπ＋ π ２ ,x＝k２π＋ ３π ８ ,当x＝π４ 时,k＝－１４ ∉Z ,故 C错误;选项 D:令x＝ π８ ,代入函数的 f π８( ) ＝ ２ ２sin ２× π ８－ π ４( ) ＋ １ ２ ＝ １ ２ ,故 π ８ ,１ ２( ) 为 函 数的一个对称中心,故 D正确．] ９．AD　 [∵ 函 数 f(x)＝sin ２x＋π４( ) ＋cos ２x＋ π ４( ) ＝ ２sin ２x＋π４( )＋ π ４[ ]＝ ２sin ２x＋ π ２( ) ＝ ２cos２x,x∈R, f(－x)＝ ２cos(－２x)＝ ２cos２x＝f(x),∴f(x)为偶函数, 故 A正确． 令２kπ＋π≤２x≤２π＋２kπ,k∈Z,解得kπ＋π２≤x≤π＋kπ ,k ∈Z,当k＝０时,π２≤x≤π ,则函数f(x)在 π２ ,π( ) 上单调 递增,故 B不正确．f(x)的最大值为 ２,故 C不正确．由２x ＝kπ＋π２ ,k∈Z,解得x＝kπ２＋ π ４ ,k∈Z,可得当k＝０时,其 图象关于点 π ４ ,０( ) 对称,故 D正确．] １０．解析:由题意知f(x)＝sinx－ ３cosx＝２sin x－π３( ) ,当 x∈[０,π]时,x－π３∈ － π ３ ,２π ３[ ] , ∴sin x－π３( ) ∈ － ３ ２ ,１[ ] ,于 是 f(x)∈ [－ ３,２],故 f(x)在[０,π]上的最大值为２． 答案:２ １１．解:(１)∵f(x)＝OA→􀅰OB→＝sinx＋sinxcosx＋sin２x－sinx＝ ２ ２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ ,∴当２x－π４＝２kπ＋ π ２ (k∈Z),即 x＝kπ＋３π８ (k∈Z)时,f(x)取得最大值１＋ ２２ ,f(x)的最小 正周期为π． (２)∵f(x)＝ ２２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ , ∴当２kπ－π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 即kπ－π８≤x≤kπ＋ ３π ８ ,k∈Z时,函数f(x)为增函数． ∴f(x)的单调递增区间为 kπ－π８ ,kπ＋３π８[ ](k∈Z)． １２．解:(１)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) , 得sinα＝－４５ , 所以sin(α＋π)＝－sinα＝４５． (２)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) ,得cosα＝－ ３ ５ , 由sin(α＋β)＝ ５ １３ ,得cos(α＋β)＝± １２ １３． 由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα,所以 cosβ＝－ ５６ ６５ 或cosβ＝ １６ ６５． 新题快递 １．A　[由sinαsin π３－α( )＝３cosαsinα＋ π ６( ) , 得sinα ３ ２cosα－ １ ２sinα æ è ç ö ø ÷＝３cosα ３ ２sinα＋ １ ２cosα æ è ç ö ø ÷, 即sin２α＋２ ３sinαcosα＋３cos２α＝０ 则(sinα＋３cosα)２＝０,得sinα＝－３cosα,则tanα＝－３,所以 sin２α＋π６( )＝ ３ ２sin２α＋ １ ２cos２α＝３sinαcosα＋cos ２α－１２＝ ３sinαcosα cos２α＋sin２α ＋ cos ２α cos２α＋sin２α －１２＝ ３tanα １＋tan２α ＋ １ １＋tan２α －１２ ＝ －３１＋３＋ １ １＋３－ １ ２＝－１． ] ２．解析: 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　cos ２x＋π３( )－cos ２x－ π ３( ) cos ２x＋π３( )sinxcosx ＝ －２sin２xsin π３ cos ２x＋π３( )sinxcosx ＝ －４sinxcosxsinπ３ cos ２x＋π３( )sinxcosx ＝ －４sinπ３ cos ２x＋π３( ) ＝ －４sin π３ １－２sin２ x＋π６( ) ＝ －４× ３２ １－２３ ＝－６ ３． 答案:－６ ３ 假期作业１１　平面向量的概 念与线性运算 思维整合室 １．(１)方向　模　(２)０　(３)１个单位　(４)相反　(５)方向　(６)方向 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．B　[对于 A,根据题中图形,可得向量BO→,OC→,OA→不是有相 同起点的向 量,∴A 错 误;对 于 B,∵O 是 圆 心,那 么 向 量 BO→,OC→,OA→的模是一样的,∴B正确;对于 C,共线向量是方 向相同或者相反的向量,∴C错误;对于 D,相等的向量指的 是大小相等,方向相同的向量,∴D错误．] ３．解析:如图所示,设AB→＝a,BC→＝b,则AC→＝a＋ b,且△ABC为等腰直角三角形,则|AC→|＝ ８ ２,∠BAC＝４５°． 答案:８ ２　北偏东４５° ４．解析:此题中,马在 A 处 有 两 条 路 可走,在 B 处 有 三 条 路 可 走,在 C 处有八条路可走．如图,以B 为起点 作有向线段表示马走了“一步”的向 量,符合题意的共３个;以C为起点 作有向线段表示马走了“一步”的向 量,符合题意的共８个．所以共有１１个． 答案:１１ ５．D　 ６．AB　[A和B属于数乘对向量与实数的分配律,正确;C中, 若m＝０,则不能推出a＝b,错误;D中,若a＝０,则m,n没有 关系,错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７８