假期作业9 三角函数的图象与性质-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

　　　　假期作业９　三角函数的图象与性质　　　　　 １．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定 义 域 R R {x|x≠kπ＋ π ２ ,k∈Z} 值域 [－１,１] [－１,１] R 函 数 的 最 值 最大值１,当且仅 当　　　　　,最 小值－１,当且仅 当　　　　　 最大值１,当且仅 当　　　　　　 　　　　　 最小值－１,当且 仅当　　　　　 无 最 大 值 和 最小值 单 调 性 增区间　　　　 减区间　　　　 增区间　　　　 　　　 减区间　　　　 　　 增区间 　 　 　　　　　 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 周期 为 ２kπ,k≠ ０,k∈Z,最 小 正 周期为　　 周期 为 ２kπ,k≠ ０,k∈Z,最 小 正 周期为　　 周期为kπ,k ≠０,k∈Z, 最 小 正 周 期 为　　　　 对 称 性 对 称 中 心 　　　　　 　　　　 　　　　 对 称 轴 　　　　 　　　　 无对称轴 零点 kπ,k∈Z kπ＋ π ２ , k∈Z kπ,k∈Z ２．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内 的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内 的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x －φω π ２ω－ φ ω π－φ ω ３π ２ω－ φ ω ２π－φ ω ωx＋φ ０ π ２ π ３π ２ ２π y＝ Asin(ωx＋φ) ０ A ０ －A ０ ３．三角函数图象变换的两种方法(ω＞０) ◆[考点一]　正弦、余弦、正切函数的图象与 性质 １．(２０２５􀅰八省联考)函数f(x)＝cosx＋π４ æ è ç ö ø ÷的 最小正周期是 (　　) A．π４ B． π ２ C．π D．２π ２．已知函数f(x)＝sinx＋ １sinx ,则 (　　) A．f(x)的最小值为２ B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线x＝π对称 D．f(x)的图象关于直线x＝π２ 对称 ３．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)当x∈[０,２π]时,曲线 y＝sinx与y＝２sin３x－π６ æ è ç ö ø ÷的交点个数为 (　　) A．３ B．４ C．６ D．８ ４．(２０２３􀅰全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)在区间 π ６ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷上单调递增,直线x＝ π ６ 和x＝２π３ 为函数y＝f(x)的图象的两条 对称轴,则f －５π１２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－ ３２　　B．－ １ ２　　C． １ ２　　D． ３ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７１ ５．(２０２４􀅰天津卷)已知函数f(x)＝sin３ωx＋π３ æ è ç ö ø ÷ 的最小正周期为π,则f(x)在 －π１２ ,π ６ é ë êê ù û úú的 最小值为 (　　) A．－ ３２ B．－ ３ ２ C．０ D． ３ ２ ６．(２０２３􀅰全国甲卷)已知f(x)为函数y＝ cos２x＋π６ æ è ç ö ø ÷向左平移π ６ 个单位所得函数,则 y＝f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个数为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ７．已知tan(π－x)＝－tanx,则tan１,tan２, tan３的大小关系是　　　　　． ◆[考点二]　y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 ８．若将函数y＝tanωx＋π４ æ è ç ö ø ÷(ω＞０)的图象向右 平移π ６ 个单位长度后,与函数y＝tanωx＋π６ æ è ç ö ø ÷ 的图象重合,则ω的最小值为　　　　． ◆[考点三]　三角函数图象与性质的综合 问题 ９．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,９)对于函数f(x)＝ sin２x和g(x)＝sin２x－π４ æ è ç ö ø ÷,下列说法正 确的有 (　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 １０．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ),如图,A,B 是直线y＝１２ 与曲线 y＝f(x)的 两个交 点,若 AB＝ π６ ,则 f(π)＝　　　　． １１．已知函数y＝acosx＋b的最大值为１,最小值 为－３,试确定f(x)＝bsin ax＋π３ æ è ç ö ø ÷的单调 减区间． １２．已知函数f(x)＝２cos２x２＋ ３sinx＋a－１ 的最大值为１． (１)求函数f(x)的单调递减区间; (２)若x∈ ０,π２ é ë êê ù û úú,求函数f(x)的值域． １．(２０２５􀅰湖北月考)某旅游区每年各个月接 待游客的人数近似地满足周期性规律,因而 一年中的第n月从事旅游服务工作的人数 f(n)可 以 近 似 用 函 数 f(n)＝３０００cos nπ ６＋ ２π ３ æ è ç ö ø ÷＋４０００来刻画(其中正整数n表 示一年中的月份)．当该地区从事旅游服务 工作人数在５５００或５５００以上时,该地区 也进入了一年中的旅游“旺季”,那么一年中 是“旺季”的月份总数有 (　　) A．４个 B．５个 C．６个 D．７个 ２．(２０２５􀅰山东泰安统考)已知函数f(x)＝ sin２x＋π３ æ è ç ö ø ÷,先将y＝f(x)的图象上所有 点的纵坐标不变,横坐标变为原来的４倍, 再将图象向右平移π ６ 个单位长度,得到函数 y＝g(x)的图象,则 (　　) A．g(x)＝sin １２x＋ π ６ æ è ç ö ø ÷ B．g(x)的图象关于x＝－７π２ 对称 C．g(x)的最小正周期为４π D．g(x)在 －３π,－３２π æ è ç ö ø ÷上单调递减 李嘉诚说:“当我骑自行车时,别人说路途 太远,根本不可能到达目的地,我没理,半道上 我换成小轿车;当我开小轿车时,别人说,小伙 子,再往前开就是悬崖峭壁,没路了,我没理, 继续往前开,开到悬崖峭壁我换飞机了,结果 我去到了任何我想去的地方．” 不要让梦想毁在别人的嘴里,因为别人不 会为你的梦想负责．所以,请相信自己􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８１ 高一数学 [- +)|sin+-3 -cos 技能提升台 素养提升 1.D [依题意,f(x)的最小正周期T=2π-2r.] 所以tan(6-)-一 2.D 3.C [由题意可得:y2sin”-2no 答案:- 11.解:因为cos(+)--sin 8,所以sin--. 3r,画出y=sinx和y-2cos 3r -2..- -cos6 原式cos-cos -1)cos 0-cos 0+cos cosθ 在[0,2π]上的函数图象,观察即可 得到6个交点. 故选择:C.] 12.解:sin[-r-]-sin-x-(-*)] 4.D[因为f(x)-sin(ox十)在区间(吾,2)单调增, -sn_[$+(-一] 当x-时,(x)取得最小值,则2·+-2-,# 当n为偶数时,sin [(-)]-sin--cosa .-cos a= 不始取大-0,则(x)-sin(2-) 当”为奇数时,sin[n+(-)]-sin(- ) 则/(-)-sin(-)- -cos a.'cos =3.'(o,)sin a=' tn = 5.A [()-sin3r+)-sin(3ar+π)-sin 3r,由 即f(c)-sin 2r,当re[.]时,2xe[-,3]. 新题快递 1. B [因为cos 3a=4cos{*a-3cosa. 画出f(x)=一sin2x图象,如图. 所以cos 54-4cos*18-3cos18{,又 cos54-sin36 由图可知,/(x)=一sin2r在 所以4cos$18{-3cosl18{-2sin18{}cos18*,化简得4cos^{18*-3 []上单调减 -2sin18. 可得4(1-sin18 )-3-2sinl8{*,4sin18*+2sin18*-1-0; 所以,当x一吾时:/(x) -sin 解得sin18*-5-1(负值含去),所以1-2sin18”.] #-#, 2.ABD[因为6E(0,x),则sin00. 6.C [因为y-coS(2-+)向左平移个单位所得画数为 可得 inoso-2,A正确 -co[2(+)+]1一 对于B选项,由A选项可知,cos00,则sin0-cos0>0. cos(2x+)-sin 2x,所以(cx)-sin 2x ##- #,正确; 显然过 (o.-)与(1,0)两点。 .sinn-# ##出#(二)与)一一的大# 对于C选项, #{o_对tan 图象, #- .C错误;对于D选,sino+coxo-() 十#一)。 ###的## 当--时:v(-)-n(-)-1、 假期作业9 三角函数的图象与性质 思维整合室 $.2kπ+,z-2k--zx=2^x,k7 #去-时 ()1)-3 =2π-π,乙 [2k--,2kax+() 3--41; [2x+,2^x+3](ez2) [2 x-n,2^n] ##(-)-0-1-)-- #(z) [2kn,2k+](kz)(n#a+)(kz) n-41: 2π 2π (kr:0)z (kx+0)z (,0)7 #=kaπ+zx=kx,ez 7.解析:.tan(n一x)一一tanx,又.tanx是奇函数; (2)由: [0],文+[2]##以去< '.tan(-x)=-tanx..tanx=-tan(n-x)=tan(r-). '.tan2-tan(2-x),tan3=tan(3-). sin(+答)<1, 所以0<2sin(+)-1<1. (-)上单调递增.tan(2-x)<tan(3-n)<tan1. 所以函数f(x)的值域为[o,1]. 即tan2<tan3tan 1. 新题快递 答案:tan2tan3<tan 1 1.B [43 000“)分400500. 8.解析:将画数y-tan(ax十)(cn→o)的图象向右平移个 单位长度后,得到函数y1tan(xc+-0)(n→0)的图 ,解得-6+12k n<-2+12h, 象,与西数y-tan(0)的图象重合,以-一 ·1n 12,.6 n 10..n是正整数..n-6,7,8,9,10. 共5个。] 2.BCD[对于A选项,将y一/(x)的图象上所有点的纵坐标不 变,横坐标变为原来的4倍,可得到函数y-sin(x+)的 答案:。} 图象, 9.BC [A错,代x一0便知;B显然对,两者值域相同;C显然 再将所得图象向右平移个单位长度,可得到函数g(x) 对,两者最小正周期都为x:D错,前者对称轴为x-- #后。 sin[ ()+]-sin(+)的图象,A错误;对 于B选$,sg1-)sin-+-sin-3)1 .B$$ 10.解析:设A(,),B(,),则+吾。+ -5,又x。---吾,所以-4.由曲线y-/(x)过 正确;对于C选项,画数g(x)的最小正周期为T-2-4x. #时, C正确;对于D选项,当一3π r<一 sin(42)/(x)sin(4--) 减,D正确。] 假期作业10 三角恒等变换 思维整合室 1. sin acos ③士 cos asin 3 cos acos 3士 sin asin ③ 解行### tana士tan) 1干tan atan/{ 2. 2sin acos a cos{a-sin 2cos{a-1 1-2sin}a {# 技能提升台 素养提升 1.A 当ao时,(c)--sin(2x+)- 2. A [由 tan atan }=2,得 sin asin 8=2cos acos .cos(a+$)= cos acos -sin asin =-cos acos =m,故 cos acos --m,所 sin[*(2x+)]-sin(2x+)+2kx<2r+ 以 cos(a-B)-cos acos +sin asin {-3cos acos --3n.故选 择:A.] 3. ABC [对于A,tan 25+tan 35*+3 tan 25{tan 35^*- tan(25'+35*)(1-tan 25{tan 35*)+3tan 25{tan 35*-3- ③tan 25”tan35*+/3tan 25{tan 35*-/3; 当a<o时,f(x)--sin(-2x+吾)-sin(2x-) 对于B,2(sin 35{cos 25{+cos35{cos 65)-2( sin 35{cos 25+ 对C0~ cos 35sin 25°)-2sin 60*-3; 十r,kZ.当a>0时,f(r)的减区间为 [-524{x](e 2), 对于D.- 当<时:(n)的减区间为[+1](^e2乙). “1-tan2 综上,式子的运算结果为、③的选项为ABC. 12.解:(1)/(o)-2os -+sin+a-1-cosx+3sinr +-2sin(+)+a. an(^_)-2、1-1.1 由/(x)-2+a-1,解得--1. 又(c)#2sin(+)-一1., 则 23-++<2+6 5-1.1 解得2^x+<<2k+46 乙, (-0 所以画数的单调减区间为2k+2^x+1ké乙;