假期作业8 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

假期作业８　同角三角函数的基本 关系与诱导公式 　　　　　　　 １．同角三角函数的基本关系 (１)平方关系:sin２α＋cos２α＝１． (２)商数关系:tanα＝ sinα cosαα≠ π ２＋kπ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ２．六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 ２kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α π２－α π ２＋α 正弦 sinα 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 余弦 cosα 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 正切 tanα 　　　 　　　 　　　 口诀 函数名不变　符号看象限 函数名改变 符号看象限 ◆[考点一]　同角三角函数的基本关系 １．已知α∈ －π,－π４ æ è ç ö ø ÷,且sinα＝－１３ ,则cosα ＝ (　　) A．－２ ２３ 　 B． ２ ２ ３ 　 C．± ２ ２ ３ 　 D． ２ ３ ２．已知cosα＝１π ,且３π ２ ＜α＜２π ,则tanα的 值为 (　　) A．－ π２－１ B．π２－１ C．－ π ２－１ π D． π２－１ π ３．若sinθ,cosθ是方程４x２＋２mx＋m＝０的 两根,则m 的值为 (　　) A．１＋ ５ B．１－ ５ C．１± ５ D．－１－ ５ ４．已知－π２＜x＜０ ,sinx＋cosx＝１５ ,则sinx －cosx＝　　　　．tanx＝　　　　． ◆[考点二]　三角函数的诱导公式 ５．若角６００°的终边上有一点(－４,a),则a的值是 (　　) A．４ B．－４ ３ C．４ ３３ D．－ ４ ３ ３ ６．已知sinα＋π３ æ è ç ö ø ÷＝１２１３ ,则cos π６－α æ è ç ö ø ÷＝(　　) A．５１３ B． １２ １３ C．－５１３ D．－ １２ １３ ７．下列化简正确的是 (　　) A．tan(π＋１)＝－tan１ B． sin (－α) tan(３６０°－α)＝cosα C．sin (π－α) cos(π＋α)＝tanα D．cos (π－α)tan(－π－α) sin(２π－α) ＝１ ８．若点P(cosθ,sinθ)与点 Q cos θ＋π６ æ è ç ö ø ÷,sin θ＋π６ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷关于y轴对称, 写出一个符合题意的θ　　　　． ◆[考点三]　诱导公式、同角三角函数关系的 综合应用 ９．(２０２５􀅰广东揭阳期末)公元９世纪,阿拉伯 计算家哈巴什首先提出正割和余割概念, １５５１年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯 在«三角学准则»中首次用直角三角形的边 长之比定义正割和余割,在某直角三角形 中,一个锐角的斜边与其邻边的比,叫做该 锐角的正割,用sec(角)表示;锐角的斜边与 其对边的比,叫做该锐角的余割,用csc(角) 表示,则 ３csc２０°－sec２０°＝ (　　) A．３ B．２ ３ C．４ D．８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５１ １０．已知θ是第四象限角,且sin θ＋π４ æ è ç ö ø ÷＝３５ , 则tan θ－π４ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． １１．已知cos π２＋θ æ è ç ö ø ÷＝１２ ,求 cos(３π＋θ) cosθ[cos(π＋θ)－１]＋ cos(θ－４π) cos(θ＋２π)cos(３π＋θ)＋cos(－θ) 的值． １２．已知sin α－２n＋１２ π æ è ç ö ø ÷＝３５ ,α∈(０,π),求 tanα的值． １．(２０２５􀅰浙江衢州高一期末)美国数学家 JackKiefer于１９５３年提出０．６１８优选法, 又称黄金分割法,是在优选时把尝试点放在 黄金分割点上来寻找最优选择．我国著名数 学家华罗庚于２０世纪６０、７０年代对其进行 简化、补充,并在我国进行推广,广泛应用于 各个领域．黄金分割比t＝ ５－１２ ≈０．６１８ , 现给出三倍角公式cos３α＝４cos３α－３cosα, 则t与sin１８°的关系式正确的为 (　　) A．２t＝３sin１８° B．t＝２sin１８° C．t＝ ５sin１８° D．t＝ ６sin１８° ２．(多选)已知sinθ＋cosθ＝１５ ,θ∈(０,π),则 下列等式正确的是 (　　) A．sinθcosθ＝－１２２５ B．sinθ－cosθ＝７５ C．tanθ＝－３４ D．sin３θ＋cos３θ＝３７１２５ 顽强的华罗庚　华罗庚是我国著名的数 学家,为我国数学事业做出突出贡献,而在他 因病左腿残疾后,走路不得不左腿先画一个大 圆圈,右腿再迈上一小步．对于这种奇特而费 力的步履,他曾幽默地戏称为“圆与切线的运 动”．在逆境中,他顽强地与命运抗争,誓言: “我要用健全的头脑,代替不健全的双腿!” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６１ ７．解析:设圆的半径为r,则扇形的半径为２r３ ,记扇形的圆心角为α, 则 １ ２α ２r ３( ) ２ πr２ ＝５２７ ,∴α＝５π６． ∴扇形的弧长与圆周长之比为lc ＝ ５π ６ 􀅰２ ３r ２πr ＝ ５ １８． 答案:５ １８ ８．解:(１)由☉O 的半径r＝１０＝AB, 知△AOB 是等边三角形,∴α＝∠AOB＝６０°＝π３． (２)由(１)可知α＝ π３ ,r＝１０,∴弧 长l＝α􀅰r＝ π３ ×１０＝ １０π ３ ,∴S扇形 ＝１２lr＝ １ ２× １０π ３ ×１０＝ ５０π ３ , 而S△AOB＝ １ ２ 􀅰AB􀅰１０３２ ＝ １ ２×１０× １０３ ２ ＝ ５０３ ２ ＝２５３． ∴S＝S扇形 －S△AOB＝ ５０π ３ －２５ ３＝５０ π ３－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷． ９．B　[∵tan７π３＝ ３m m ＝m－ １ ６ ＝ ３,∴m－１＝３３＝２７, ∴m＝１２７． ] １０．A　[因为角α的终边过点 cosπ３ ,－sinπ６( ) , 即 １ ２ ,－１２( ) , 则sinα＝ －１２ １ ４＋ １ ４ ＝－ ２２． ] １１．解析:因为α是第二象限角． 所以cosα＝１５x＜０ ,即x＜０．又cosα＝１５x＝ x x２＋１６ , 解得x＝－３,所以tanα＝４x＝－ ４ ３． 答案:－４３ １２．解:设点 M 的坐标为(x１,y１)．由题意可知,sinα＝－ ２ ２ ,即 y１＝－ ２ ２．∵ 点 M 在圆x２＋y２＝１上,∴x１２＋y１２＝１,即x１２ ＋ － ２２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１,解得x１＝ ２ ２ 或x１＝－ ２ ２．∴cosα＝ ２ ２ ,tanα ＝－１或cosα＝－ ２２ ,tanα＝１． 新题快递 １．AD　[A．由于三角形内角范围为(０,π),内角为 π２ 不是第 一、二象限角,错;B．由任意角定义,始边相同而终边不同的 角一定不相等,对;C．如７π４ 为正角且在第四象限角,故第四 象限角不一定是负角,对;D．钝角范围为 π２ ,π( ) ,而－２π３ 是 第三象限角,此时钝角大,错．] ２．C　[如图示:记从表盘中心(圆心)O 到 １２点方向的半径为 OA,８:２０时分针方 向为OB,时针方向为OC． 则∠AOB＝２０６０×２π＝ ２π ３ , ∠AOC＝ ８１３ １２ ×２π＝ ２５π １８ 所以∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝２５π１８－ ２π ３＝ １３π １８ , 即八点二十分,时针和分针夹角的弧度数为１３π １８． ] 假期作业８　同角三角函数的基本 关系与诱导公式 思维整合室 ２．－sinα　－sinα　sinα　cosα　cosα　－cosα　cosα －cosα　sinα　－sinα　tanα　－tanα　－tanα 技能提升台　素养提升 １．A ２．A　[由cosα＝１π ,且３π ２＜α＜２π ,得sinα＝－ １－cos２α＝ － １－ １π( ) ２ ＝－ π ２－１ π , 所以tanα＝sinαcosα＝－ π ２－１．] ３．B　[由题意知sinθ＋cosθ＝－m２ ,sinθ􀅰cosθ＝m４． 又(sinθ＋cosθ)２＝１＋２sinθcosθ, ∴m ２ ４＝１＋ m ２ ,解得m＝１± ５． 又Δ＝４m２－１６m≥０,∴m≤０或m≥４,∴m＝１－ ５．] ４．解析:由sinx＋cosx＝１５① ,平方得sin２x＋２sinxcosx＋ cos２x＝１２５ ,即２sinxcosx＝－２４２５ ,所以(sinx－cosx)２＝１－ ２sinx􀅰cosx＝４９２５ , 又因为－π２＜x＜０ ,所以sinx＜０,cosx＞０,sinx－cosx＜ ０,所以sinx－cosx＝－７５②． 由①②解得sinx＝－３５ ,cosx＝４５ ∴tanx＝－ ３ ４． 答案:－７５　－ ３ ４ ５．B　６．B ７．B　[对于 A,由诱导公式得,tan(π＋１)＝tan１,故 A 错误; 对于B, sin (－α) tan(３６０°－α)＝ －sinα －tanα＝ sinα sinα cosα ＝cosα,故B正确;对 于 C,sin (π－α) cos(π＋α)＝ sinα －cosα＝－tanα ,故 C 错 误;对 于 D, cos(π－α)tan(－π－α) sin(２π－α) ＝ (－cosα)(－tanα) －sinα ＝－ cosα􀅰sinαcosα sinα ＝－１ ,故 D错误．] ８．解 析:点 P、Q 都 在 单 位 圆 上,θ 可 取 π２ － π ６ ２ ＝ ５π １２ 满足θ＝５π１２＋kπ ,k∈Z( ) 答案:５π １２ (答案不唯一) ９．C　[依题意,２０°角可视为某直角三角形的内角,由锐角三角 函数定义及已知得csc２０°＝ １sin２０° ,sec２０°＝ １cos２０° , 所以 ３csc２０°－sec２０°＝ ３sin２０°－ １ cos２０° ＝ ３cos２０°－sin２０°sin２０°cos２０° ＝ ２sin(６０°－２０°) １ ２sin４０° ＝４．] １０．解析:因为θ是第四象限角,且sin θ＋π４( )＝ ３ ５ , 所以θ＋π４ 是第一象限角,所以cos θ＋π４( )＝ ４ ５ , 所以sin θ－π４( )＝sin － π ２＋ θ＋ π ４( )[ ]＝ －sin π２－ θ＋ π ４( )[ ]＝－cos θ＋ π ４( )＝－ ４ ５ , cos θ－π４( )＝cos － π ２＋ θ＋ π ４( )[ ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４８ ＝cos π２－ θ＋ π ４( )[ ]＝sin θ＋ π ４( )＝ ３ ５ 所以tan θ－π４( )＝ sin θ－π４( ) cos θ－π４( ) ＝－４３． 答案:－４３ １１．解:因为cos π２＋θ( )＝－sinθ,所以sinθ＝－ １ ２． 原式＝ －cosθcosθ(－cosθ－１)＋ cosθ cosθ(－cosθ)＋cosθ ＝ １１＋cosθ＋ １ １－cosθ＝ ２ １－cos２θ ＝ ２ sin２θ ＝８． １２．解:sinα－nπ－１２π[ ]＝sin －nπ－ π ２－α( )[ ] ＝－sinnπ＋ π２－α( )[ ]． 当n为偶数时,sinnπ＋ π２－α( )[ ]＝sin π ２－α( )＝cosα, ∴－cosα＝３５ ,即cosα＝－３５． ∵α∈(０,π),∴sinα＝４５ ,∴tanα＝sinαcosα＝－ ４ ３． 当 n 为 奇 数 时,sin nπ＋ π２－α( )[ ] ＝sin ３π ２－α( ) ＝ －cosα,∴cosα＝３５ ,∵α∈(０,π),∴sinα＝４５ ,∴tanα＝ sinα cosα＝ ４ ３． 新题快递 １．B　[因为cos３α＝４cos３α－３cosα, 所以cos５４°＝４cos３１８°－３cos１８°,又cos５４°＝sin３６° 所以４cos３１８°－３cos１８°＝２sin１８°cos１８°,化简得４cos２１８°－３ ＝２sin１８°, 可得４(１－sin２１８°)－３＝２sin１８°,４sin２１８°＋２sin１８°－１＝０, 解得sin１８°＝ ５－１４ (负值舍去),所以t＝２sin１８°．] ２．ABD　[因为θ∈(０,π),则sinθ＞０． 对于 A选项,(sinθ＋cosθ)２＝１＋２sinθcosθ＝１２５ , 可得sinθcosθ＝－１２２５ ,A正确; 对于B选项,由 A选项可知,cosθ＜０,则sinθ－cosθ＞０, 所以,(sinθ－cosθ)２＝１－２sinθcosθ＝４９２５ ,则sinθ－cosθ＝ ７ ５ ,B正确; 对于C选项, sinθ＋cosθ＝１５ sinθ－cosθ＝７５ ì î í ïï ï ,可得 sinθ＝４５ cosθ＝－３５ ì î í ïï ï ,则tanθ ＝sinθcosθ＝－ ４ ３ ,C错误;对于 D 选项,sin３θ＋cos３θ＝ ４５( ) ３ ＋ －３５( ) ３ ＝３７１２５ ,D正确．] 假期作业９　三角函数的图象与性质 思维整合室 １．x＝２kπ＋π２ ,k∈Z　x＝２kπ－π２ ,k∈Z　x＝２kπ,k∈Z x＝ ２kπ－ π,k ∈ Z 　 ２kπ－π２ ,２kπ＋π２[ ](k ∈ Z)　 ２kπ＋π２ ,２kπ＋３π２[ ](k∈Z)　 ２kπ－π,２kπ[ ] (k∈Z)　[２kπ,２kπ＋π](k∈Z)　 kπ－π２ ,kπ＋π２( )(k∈Z)　 ２π　２π　π　(kπ,０),k∈Z　 kπ＋π２ ,０( ) ,k∈Z　 kπ２,０( ) ,k∈Z x＝kπ＋π２ ,k∈Z　x＝kπ,k∈Z 技能提升台　素养提升 １．D　[依题意,f(x)的最小正周期T＝２π１＝２π． ] ２．D　 ３．C 　 [由 题 意 可 得:y ＝ ２sin ３x－π６( ) 可知最小正周期T＝ ２π ３ , 所以y＝２sin ３x－π６＋ ２π ３( ) ＝２cos ３x,画出y＝sinx 和y＝２cos３x 在[０,２π]上的函数图象,观察即可 得到６个交点． 故选择:C．] ４．D　[因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间 π ６ ,２π ３( ) 单调递增, 所以T ２＝ ２π ３－ π ６＝ π ２ ,且ω＞０,则T＝π,ω＝２πT＝２ , 当x＝π６ 时,f(x)取得最小值,则２􀅰 π６＋φ＝２kπ－ π ２ ,k∈ Z,则φ＝２kπ－ ５π ６ ,k∈Z, 不妨取k＝０,则f(x)＝sin ２x－５π６( ) , 则f －５π１２( )＝sin － ５π ３( )＝ ３ ２． ] ５．A　[f(x)＝sin３ ωx＋π３( ) ＝sin(３ωx＋π)＝－sin３ωx,由 T＝２π３ω＝π 得ω＝２３ , 即f(x)＝－sin２x,当x∈ －π１２ ,π ６[ ] 时,２x∈ － π ６ ,π ３[ ] , 画出f(x)＝－sin２x图象,如图, 由 图 可 知,f(x)＝ －sin２x 在 －π１２ ,π ６[ ] 上单调递减, 所以,当x＝ π６ 时,f(x)min＝－sin π ３＝－ ３ ２． ] ６．C　[因为y＝cos ２x＋π６( ) 向左平移 π ６ 个单位所得函数为 y＝cos ２ x＋π６( )＋ π ６[ ]＝ cos２x＋π２( )＝－sin２x,所以f(x)＝－sin２x, 而 y ＝ １２ x － １ ２ 显 然 过 ０,－１２( ) 与(１,０)两点, 作出f(x)与y＝ １２x－ １ ２ 的 大 致 图象, 考虑２x＝－３π２ ,２x＝３π２ ,２x＝７π２ ,即x＝－３π４ ,x＝３π４ ,x＝ ７π ４ 处f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的大小关系, 当x＝－３π４ 时,f －３π４( )＝－sin － ３π ２( )＝－１, y＝１２× － ３π ４( )－ １ ２＝－ ３π＋４ ８ ＜－１ ; 当x＝３π４ 时,f ３π４( ) ＝－sin ３π ２ ＝１ ,y＝ １２ × ３π ４ － １ ２ ＝ ３π－４ ８ ＜１ ; 当x＝７π４ 时,f ７π４( ) ＝－sin ７π ２ ＝１ ,y＝ １２ × ７π ４ － １ ２ ＝ ７π－４ ８ ＞１ ; 所以由图可知,f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个数为３．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５８