假期作业7 任意角的三角函数与弧度制-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

　　　　假期作业７　任意角的三角函数与弧度制　　　　 １．角的有关概念 (１)从运动的角度看,可 分 为 正 角、　 　 　 和　　　． (２)从终边位置来看,可分为　　　　和轴线角 (３)若α与β 角的终边相同,则β用α 表示为 β＝α＋２kπ(k∈Z)． ２．弧度的定义和公式 (１)定义:长度等于　　　　的弧所对的圆心 角叫做１弧度的角,弧度记作rad． (２)角度与弧度的换算①１°＝ π１８０rad ;②１rad ＝ １８０π æ è ç ö ø ÷°． (３)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad), 半径为r,则l＝　　　　,扇形的面积为 S＝１２lr＝ １ ２r ２α． ３．任意角的三角函数 定义:设α是一个任意角,它的终边与单位 圆交于点P(x,y),那么sinα＝　　　　, cosα＝　　　　,tanα＝yx． ◆[考点一]　角的集合表示及象限角的判定 １．(多选题)以下表示第四象限角的集合．正确 的是 (　　) A．{x|２７０°＜x＜３６０°} B．{x|２７０°＋k􀅰３６０°≤x≤(k＋１)􀅰３６０°,k∈Z} C．{x|２７０°＋k􀅰３６０°＜x＜(k＋１)􀅰３６０°,k∈Z} D．{x|k􀅰３６０°－９０°＜x＜k􀅰３６０°,k∈Z} ２．二十四节气(The２４SolarTerms)是指中国 农历中表示季节变迁的２４个特定节令,是 根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨 道)上的位置变化而制定的,每一个分别相 应于地球在黄道上每运动１５°所到达的一定 位置．根据上述描述,从秋分到小雪相应于 地球在黄道上运动的度数为 (　　) A．６０° B．－７５°　　C．４５°　　D．－６０° ３．给出下列四个命题: ①－３π４ 是第二象限角;②４π３ 是第三象限角; ③－４００°是第四象限角;④－３１５°是第一象 限角． 其中正确的命题有 (　　) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ４．α是一个任意角,则α的终边与３π－α的 终边 (　　) A．关于坐标原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 ◆[考点二]　扇形的弧长及面积公式 ５．已知扇形的周长是６cm,面积是２cm２,则 扇形的圆心角的弧度数是 (　　) A．１或４　　B．１　　C．４　　D．８ ６．弧长为３π,圆心角为１３５°的扇形半径为 　　　　,面积为　　　　． ７．一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等 于圆半径的２ ３ ,面积等于圆面积的５ ２７ ,则扇 形的弧长与圆周长之比为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３１ ８．已 知 半 径 为 １０ 的 圆 O 中,弦 AB 的 长 为１０． (１)求弦AB 所对的圆心角α的大小; (２)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓 形的面积S． ◆[考点三]　任意角的三角函数 ９．已知角α的终边经过点( m,３m),若α＝ ７π ３ ,则m 的值为 (　　) A．２７ B．１２７ C．９ D． １ ９ １０．已知角α的终边过点 cosπ３ ,－sinπ６ æ è ç ö ø ÷,则 sinα的值为 (　　) A．－ ２２　　B． ２ ２　　C．－ １ ２　　D． １ ２ １１．设α是第二象限角,P(x,４)为其终边上的一 点,且cosα＝１５x ,则tanα＝　　　　． １２．已知点 M 是圆x２＋y２＝１上的点,以射线 OM 为终边的角α的正弦值为－ ２２ ,求cosα 和tanα的值． １．(多选)(２０２５􀅰广东揭阳期末)下列命题中 错误的是 (　　) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．第四象限角不一定是负角 D．钝角比第三象限角小 ２．(２０２５􀅰浙江衢州期末)八点二十分这个时 刻同学们一定不陌生,因为那是我们学校第 一节课上课的时刻．请你联想或观察黑板上 方的钟表,对下面的问题做出选择:八点二 十分,时针和分针夹角的弧度数为 (　　) A．１１π１８　　B． ２π ３　　C． １３π １８　　D． ７π ９ 一老头骑三轮蹭了路 边停的一辆路虎,正愁眉苦 脸 时,这 时 走 过 来 一 个 路人, 路人问:赔得起么? 老头:赔不起! 路人说:赔不起还不跑,等人家来找你啊! 老头欲言又止,最终还是一步三回头的 走了! 这时这名路人拿出钥匙开着路虎走了! 人一生当中,最大的炫耀,不是你的财富, 也不是你的精明,更不是你的手段; 而是一种简单的理解和体谅! 没有一颗善良的心! 拜再多的佛也没有 用􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４１ 当t＝f(x)＝３时,则 x≤２x＝３{ 或 x＞２ log２(x－２)＝３{ ,解得x＝１０, 所以函数y＝f(f(x))的所有零点之和为０＋３＋１０＝１３． 答案:１３ ６．解析:由题意定义域为R的函数f(x)满足f(２＋x)＝－f(－x), 则f(x)的图象关于点(１,０)成中心对称, 函数y＝－ １x－１ 的图象是由y＝－１x 的图象向右平移一个 单位得到, 故y＝－ １x－１ 的图象关于点(１,０)成中心对称, 又曲线y＝f(x)与曲线y＝－ １x－１ 有且只有两个交点, 这两个交点关于(１,０)对称,故这两个交点的横坐标之和为２, 而函数g(x)＝f(x)＋ １x－１ 的零点即为曲线y＝f(x)与曲 线y＝－ １x－１ 交点的横坐标, 故函数g(x)＝f(x)＋ １x－１ 的零点之和是２． 答案:２ ７．C ８．D　[由题意可得 ２．１＝S－１lnN１ , ３．１５＝S－１lnN２ , ì î í ïï ï 两式相除得２．１lnN１＝３．１５lnN２, 所以lnN２．１１ ＝lnN３．１５２ ,即 N２．１１ ＝N３．１５２ ．] ９．ACD　[由题意可知:Lp１∈[６０,９０],Lp２∈[５０,６０],Lp３＝４０, 对于选项 A:可得Lp２－Lp３ ＝２０×lg p１ p０ －２０×lgp２p０ ＝２０× lgp１p２ , 因为Lp１≥Lp２,则Lp１－Lp２＝２０×lg p１ p２ ≥０,即lgp１p２ ≥０, 所以p１ p２ ≥１且p１,p２＞０,可得p１≥p２,故 A正确; 对于选项B:可得Lp２－Lp２＝２０×lg p２ p０ －２０×lgp３p０ ＝２０×lgp２p３ , 因为Lp２－Lp３＝Lp２－４０≥１０,则２０×lg p２ p３ ≥１０, 即lgp２p３ ≥１２ , 所以p２ p３ ≥ １０且p２,p３＞０,可得p２≥ １０p３, 当且仅当Lp２＝５０时,等号成立,故B错误; 对于选项 C:因为Lp３＝２０×lg p３ p０ ＝４０,即lgp３p０ ＝２, 可得p３ p０ ＝１００,即p３＝１００p０,故 C正确; 对于选项 D:由选项 A可知:Lp１－Lp２＝２０×lg p１ p２ , 且Lp１－Lp２≤９０－５０＝４０,则２０×lg p１ p２ ≤４０, 即lgp１p２ ≤２,可得p１p２ ≤１００,且p１,p２＞０,所以p１≤１００p２,故 D正确．] １０．解析:设过滤n次才能达到市场要求,则２(１－１３ )n≤０．１,即 (２ ３ )n≤０．１２ ,∴nlg２３≤－１－lg２．∴n≥７．３９ ,∴n＝８． 答案:８ １１．解析:设矩形花园的宽为ym,则x４０＝ ４０－y ４０ ,即y＝４０－x,矩 形花园的面积S＝x(４０－x)＝－x２＋４０x＝－(x－２０)２＋ ４００,当x＝２０m 时,面积最大． 答案:２０ １２．解:(１)设每天来回y次,每次挂x节车厢,由题意设y＝kx＋b． 当x＝４时,y＝１６,当x＝７时,y＝１０,得到１６＝４k＋b,１０ ＝７k＋b．二式联立解得k＝－２,b＝２４,∴y＝－２x＋２４． (２)设每天来回y次,每次挂x节车厢,由题意知,每天挂车 厢最多时,运营人数最多,设每天运营S节车厢,则S＝xy ＝x(－２x＋２４)＝－２x２＋２４x＝－２(x－６)２＋７２,所以当x ＝６时,Smax＝７２,此 时 y＝１２,则 每 日 最 多 运 营 人 数 为 １１０×７２＝７９２０(人)． 新题快递 １．C　[由题意得,１２× ４ ５( ) G １８ ≤１５ ,化简得G １８lg ４ ５≤lg ２ ５． 因为lg４５＜０ ,所以G １８≥ lg２５ lg４５ ＝lg２－lg５lg４－lg５ ＝lg２－ (１－lg２) ２lg２－(１－lg２)＝ ２lg２－１ ３lg２－１≈４．１． 所以G≥１８×４．１＝７３．８．] ２．解析:(１)当x２－ax＋１≥０时,f(x)＝０⇔(a－１)x２＋(a－ ２)x－１＝０, 即[(a－１)x－１](x＋１)＝０, 若a＝１时,x＝－１,此时x２－ax＋１≥０成立; 若a≠１时,x＝ １a－１ 或x＝－１, 若方程有一根为x＝－１,则１＋a＋１≥０,即a≥－２且a≠１; 若方程有一根为x＝ １a－１ ,则 １ a－１( ) ２ －a× １a－１＋１≥０ ,解 得a≤２且a≠１; 若x＝ １a－１＝－１ 时,a＝０,此时１＋a＋１≥０成立． (２)当x２－ax＋１＜０时,f(x)＝０⇔(a＋１)x２－(a＋２)x＋１＝０, 即[(a＋１)x－１](x－１)＝０, 若a＝－１时,x＝１,显然x２－ax＋１＜０不成立; 若a≠－１时,x＝１或x＝ １a＋１ , 若方程有一根为x＝１,则１－a＋１＜０,即a＞２; 若方程有一根为x＝ １a＋１ ,则 １ a＋１( ) ２ －a× １a＋１＋１＜０ ,解 得a＜－２; 若x＝ １a＋１＝１ 时,a＝０,显然x２－ax＋１＜０不成立; 综上可知,当a＜－２时,零点为 １a＋１ ,１ a－１ ; 当－２≤a＜０时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＝０时,只有一个零点－１; 当０＜a＜１时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＝１时,只有一个零点－１; 当１＜a≤２时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＞２时,零点为１,－１． 所以当函数有两个零点时,a≠０且a≠１． 答案:(－∞,０)∪(０,１)∪(１,＋∞) 假期作业７　任意角的三角函数与弧度制 思维整合室 １．(１)负角　零角　(２)象限角　２．(１)半径长　(３)r|α| ３．y　x 技能提升台　素养提升 １．CD　２．A　３．C　 ４．C　[因为π－α的终边与３π－α的终边相同,而π－α的终边 与α的终边关于y 轴对称,所以α的终边与３π－α的终边关 于y 轴对称．] ５．A ６．解析:∵l＝３π,α＝１３５°＝３π４ , ∴r＝lα ＝４ ,S＝１２lr＝ １ ２×３π×４＝６π． 答案:４　６π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３８ ７．解析:设圆的半径为r,则扇形的半径为２r３ ,记扇形的圆心角为α, 则 １ ２α ２r ３( ) ２ πr２ ＝５２７ ,∴α＝５π６． ∴扇形的弧长与圆周长之比为lc ＝ ５π ６ 􀅰２ ３r ２πr ＝ ５ １８． 答案:５ １８ ８．解:(１)由☉O 的半径r＝１０＝AB, 知△AOB 是等边三角形,∴α＝∠AOB＝６０°＝π３． (２)由(１)可知α＝ π３ ,r＝１０,∴弧 长l＝α􀅰r＝ π３ ×１０＝ １０π ３ ,∴S扇形 ＝１２lr＝ １ ２× １０π ３ ×１０＝ ５０π ３ , 而S△AOB＝ １ ２ 􀅰AB􀅰１０３２ ＝ １ ２×１０× １０３ ２ ＝ ５０３ ２ ＝２５３． ∴S＝S扇形 －S△AOB＝ ５０π ３ －２５ ３＝５０ π ３－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷． ９．B　[∵tan７π３＝ ３m m ＝m－ １ ６ ＝ ３,∴m－１＝３３＝２７, ∴m＝１２７． ] １０．A　[因为角α的终边过点 cosπ３ ,－sinπ６( ) , 即 １ ２ ,－１２( ) , 则sinα＝ －１２ １ ４＋ １ ４ ＝－ ２２． ] １１．解析:因为α是第二象限角． 所以cosα＝１５x＜０ ,即x＜０．又cosα＝１５x＝ x x２＋１６ , 解得x＝－３,所以tanα＝４x＝－ ４ ３． 答案:－４３ １２．解:设点 M 的坐标为(x１,y１)．由题意可知,sinα＝－ ２ ２ ,即 y１＝－ ２ ２．∵ 点 M 在圆x２＋y２＝１上,∴x１２＋y１２＝１,即x１２ ＋ － ２２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１,解得x１＝ ２ ２ 或x１＝－ ２ ２．∴cosα＝ ２ ２ ,tanα ＝－１或cosα＝－ ２２ ,tanα＝１． 新题快递 １．AD　[A．由于三角形内角范围为(０,π),内角为 π２ 不是第 一、二象限角,错;B．由任意角定义,始边相同而终边不同的 角一定不相等,对;C．如７π４ 为正角且在第四象限角,故第四 象限角不一定是负角,对;D．钝角范围为 π２ ,π( ) ,而－２π３ 是 第三象限角,此时钝角大,错．] ２．C　[如图示:记从表盘中心(圆心)O 到 １２点方向的半径为 OA,８:２０时分针方 向为OB,时针方向为OC． 则∠AOB＝２０６０×２π＝ ２π ３ , ∠AOC＝ ８１３ １２ ×２π＝ ２５π １８ 所以∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝２５π１８－ ２π ３＝ １３π １８ , 即八点二十分,时针和分针夹角的弧度数为１３π １８． ] 假期作业８　同角三角函数的基本 关系与诱导公式 思维整合室 ２．－sinα　－sinα　sinα　cosα　cosα　－cosα　cosα －cosα　sinα　－sinα　tanα　－tanα　－tanα 技能提升台　素养提升 １．A ２．A　[由cosα＝１π ,且３π ２＜α＜２π ,得sinα＝－ １－cos２α＝ － １－ １π( ) ２ ＝－ π ２－１ π , 所以tanα＝sinαcosα＝－ π ２－１．] ３．B　[由题意知sinθ＋cosθ＝－m２ ,sinθ􀅰cosθ＝m４． 又(sinθ＋cosθ)２＝１＋２sinθcosθ, ∴m ２ ４＝１＋ m ２ ,解得m＝１± ５． 又Δ＝４m２－１６m≥０,∴m≤０或m≥４,∴m＝１－ ５．] ４．解析:由sinx＋cosx＝１５① ,平方得sin２x＋２sinxcosx＋ cos２x＝１２５ ,即２sinxcosx＝－２４２５ ,所以(sinx－cosx)２＝１－ ２sinx􀅰cosx＝４９２５ , 又因为－π２＜x＜０ ,所以sinx＜０,cosx＞０,sinx－cosx＜ ０,所以sinx－cosx＝－７５②． 由①②解得sinx＝－３５ ,cosx＝４５ ∴tanx＝－ ３ ４． 答案:－７５　－ ３ ４ ５．B　６．B ７．B　[对于 A,由诱导公式得,tan(π＋１)＝tan１,故 A 错误; 对于B, sin (－α) tan(３６０°－α)＝ －sinα －tanα＝ sinα sinα cosα ＝cosα,故B正确;对 于 C,sin (π－α) cos(π＋α)＝ sinα －cosα＝－tanα ,故 C 错 误;对 于 D, cos(π－α)tan(－π－α) sin(２π－α) ＝ (－cosα)(－tanα) －sinα ＝－ cosα􀅰sinαcosα sinα ＝－１ ,故 D错误．] ８．解 析:点 P、Q 都 在 单 位 圆 上,θ 可 取 π２ － π ６ ２ ＝ ５π １２ 满足θ＝５π１２＋kπ ,k∈Z( ) 答案:５π １２ (答案不唯一) ９．C　[依题意,２０°角可视为某直角三角形的内角,由锐角三角 函数定义及已知得csc２０°＝ １sin２０° ,sec２０°＝ １cos２０° , 所以 ３csc２０°－sec２０°＝ ３sin２０°－ １ cos２０° ＝ ３cos２０°－sin２０°sin２０°cos２０° ＝ ２sin(６０°－２０°) １ ２sin４０° ＝４．] １０．解析:因为θ是第四象限角,且sin θ＋π４( )＝ ３ ５ , 所以θ＋π４ 是第一象限角,所以cos θ＋π４( )＝ ４ ５ , 所以sin θ－π４( )＝sin － π ２＋ θ＋ π ４( )[ ]＝ －sin π２－ θ＋ π ４( )[ ]＝－cos θ＋ π ４( )＝－ ４ ５ , cos θ－π４( )＝cos － π ２＋ θ＋ π ４( )[ ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４８