假期作业6 函数的应用-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

假期作业６　函数的应用　　　　　　　 １．函数的零点 (１)函数零点的定义 对于函数y＝f(x),我们把使　　　　的 实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (２)几个等价关系 方程f(x)＝０有实数根⇔函数y＝f(x)的图 象与　　有交点⇔函数y＝f(x)有　　　． (３)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线,并且有　　　　, 那么,函数y＝f(x)在区间　　　　内有 零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　,这 个　　也就是方程f(x)＝０的根． ２．二次函数y＝ax２＋bx＋c(a＞０)的图象与零 点的关系 Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 图象 与x轴 的交点 　　　　 　　　　 无交点 零点个数 　　 　　 　　 ３．函数的实际应用 (１)常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠０) 二次函数型f(x)＝ax２＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠０) 指数函数型f(x)＝ba x＋c(a,b,c为常数,a＞０ 且a≠１,b≠０) 对数函数型f (x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a＞０ 且a≠１,b≠０) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a,b为常数,a≠０) (２)解决应用问题的基本步骤 ①审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺 数量关系,恰当选择模型; ②建模:将文字语言、图形(或数表)等转化 为数学语言,利用数学知识建立相应的数 学模型,将实际问题化为数学问题; ③求解:求解数学问题,得出数学结论; ④还原:将利用数学知识和方法得出的结 论,还原为实际问题的答案． ◆[考点一]　函数的零点 １．(多选题)下列函数中,在(－１,１)内有零点 且单调递增的是 (　　) A．y＝log１２x　　　　B．y＝２ x－１ C．y＝x２－１２ D．y＝x ３ ２．函数f(x)＝(x－２)(x－５)－１有两个零点 x１,x２,且x１＜x２,则 (　　) A．x１＜２,２＜x２＜５ B．x１＞２且x２＞５ C．x１＜２,x２＞５ D．２＜x１＜５,x２＞５ ３．设函数f(x)＝x＋log２x－m,若函数f(x) 在 １ ４ ,８ æ è ç ö ø ÷上存在零点,则m 的取值范围是 (　　) A．－７４ ,５ æ è ç ö ø ÷ B．－７４ ,１１ æ è ç ö ø ÷ C．９４ ,５ æ è ç ö ø ÷ D．９４ ,１１ æ è ç ö ø ÷ ４．(２０２４􀅰全国甲卷(理))函数y＝－x２＋ (ex－e－x)sinx在区间[－２．８,２．８]的图象 大致为 (　　) ５．函数f(x)＝ x,x≤２ log２(x－２),x＞２{ ,则函数y＝ f(f(x))的所有零点之和为　　　　　． ６．已知定义域为R的函数f(x)满足f(２＋x) ＝－f(－x),且曲线y＝f(x)与曲线y＝ － １x－１ 有且只有两个交点,则函数g(x)＝ f(x)＋ １x－１ 的零点之和是　　　　　． ◆[考点二]　函数的实际应用 ７．Logistic模型是常用数学模型之一,可应用 于流行病学领域．有学者根据公布数据建立 了某地区新冠病毒累计确诊病例数I(t)(t 的 单 位:天 )的 Logistic 模 型:I(t)＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １１ K １＋e－０．２３(t－５３) ,其中 K 为最大确诊病例数． 当I(t∗)＝０．９５K 时,标志着已初步遏制疫 情,则t∗ 约为(ln１９≈３) (　　) A．６０ B．６３ C．６６ D．６９ ８．(２０２４􀅰北京卷)生物丰富度指数d＝S－１lnN 是河流水质的一个评价指标,其中S,N 分 别表示河流中的生物种类数与生物个体总 数,生物丰富度指数d越大,水质越好．如果 某河流治理前后的生物种类数S没有变化, 生物个体总数由 N１ 变为 N２,生物丰富度 指数由２．１提高到３．１５,则 (　　) A．３N２＝２N１ B．２N２＝３N１ C．N２２＝N３１ D．N３２＝N２１ ９．(多选)(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)噪声污染问题 越来越受到重视．用声压级来度量声音的强 弱,定义声压级Lp＝２０×lgpp０ ,其中常数 p０(p０＞０)是听觉下限阈值,p是实际声压． 下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 １０ ６０~９０ 混合动力汽车 １０ ５０~６０ 电动汽车 １０ ４０ 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 汽车１０m 处测得实际声压分别为p１,p２, p３,则 (　　) A．p１≥p２ B．p２＞１０p３ C．p３＝１００p０ D．p１≤１００p２ １０．某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质 含量不超过０．１,若初始时含杂质２,每过 滤一次可使杂质含量减少１ ３ ,至少应过滤 　　 　 　 次才能达到市场要求? (已知 lg２＝０．３０１０,lg３＝０．４７７１) １１．在如图所示的锐角三角形空 地中,欲建一个面积最大的内 接矩形花园(阴影部分),则其 边长x为　　　　(m)． １２．某省两重要城市之间人员交 流频繁,为了缓解交通压力,特修一条时速 ３５０公里的城际高铁,已知该车每次拖４ 节车厢,一天能来回１６次,如果每次拖７ 节车厢,则每天能来回１０次． (１)若每天来回的次数是车头每次拖挂车 厢节数的一次函数,求此一次函数解析式; (２)在(１)的条件下,每节车厢能载乘客１１０ 人．问这列火车每天来回多少次才能使运营 人数最多? 并求出每天最多运营人数． １．近年,“人工智能”相关软件以其极高的智能 化水平引起国内关注,深度学习是人工智能 的一种具有代表性的实现方法,它是以神经 网络为出发点的．在神经网络优化中,指数 衰减的学习率模型为L＝１２× ４ ５ æ è ç ö ø ÷ G １８ ,其中L 表示每一轮优化时使用的学习率,G 表示训 练迭代轮数,则学习率衰减到０．２及以下所 需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg２≈ ０．３０１) (　　) A．１６ B．７２ C．７４ D．９０ ２．若函数f(x)＝ax２－２x－|x２－ax＋１|有且仅 有两个零点,则a的取值范围为　　　　． 一个姑 娘 上 了 高 铁, 见自己的座位上坐着一男 士．她 核 对 自 己 的 票,客 气地说:“先生,您坐错位 置了吧?”男士拿出票,嚷 嚷着:“看清楚点,这是我的座,你瞎了?”女孩 仔细看了他的票,不再作声,默默地站在他的 身旁．一会儿高铁开动了,女孩低头轻松对男 士说:“先生,您没坐错位,您坐错车了!” 有一种忍让,叫做让你后悔都来不及,如 果嚎叫能解决问题,驴早就统治了世界! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２１ ## 技能提升台 素养提升 (2)/(x)是偶函数,证明如下: 1.C [令f(x)-r”,则4 =2.^ a-.f(x)=^] 由(1)知f(x)-2+2 ,f(x)的定义域为R,关于原点对称,因 为f-x)-2”+2-f(x),所以f(x)为偶函数。 2.B [·暴函数f(x)-(n+2n-2)x在(0,+)上单$ (3)f(x)在[0,十o0)上单调递增,证明如下: 递减。 对任意x,x。[0,十),不妨设r x,则f(x.) .=1.:n=1. f(x)-(21+2-1)-(2+2) 1-3n<0. -(2-2)+()-() =(2-2:) 又n=1时,f(x)=工的图象关于y轴对称,故n-1.] 3.D 2-1,因为x<x,且x x:[0,十0), 4.A [·:y-()-2 2 所以2-2<0,2>1. '.它与画数y一2的图象关于y轴对称。] 即2-10,则f(x.)-f(x)o,即f(x)f(x). 5.D [由题意易得,“二1,所以a的取值范围是[2,十).] 所以/((x)在[0,+)上单调递增; 又/(x)在B上为偶函数,故/(x)在(-,0]上单调递减, 6.D[由题意得{。# 则当x一0时,f(x)取最小值。 2x-1-0 又f(0)-1+1-2,所以f(x)的值域为[2,+c). 解得x(o)(~)] 新题快递 1.B [根据题意,经过工天后,“进步”的与“落后”的比 7.B [因为y-4.2在B上递增,且-0.3<0~0.3,所以0 4 120)-(1)=100. (1+20%) 2-<4.24.2. 所以0<4.2-<1<4.2,即0<a<1<6. 即(3)^ 100,两边取以10为底的对数得x(1g3-1g2)~ 因为y=logx在(0,+oo)上递增,且0 0.2<1; 所以log0.2log.1=0,即c0. x(0. 477 1-0.3010)-0.176x2,解得x.17~ 所以>>c.] 8.D 11.36. 9.AC [f(x)的定义域为(0,2).由于f(x)=lnx十ln(2-x) 要使“进步”的是“落后”的100倍,则大约需要经过11天,] 一ln(2x一r),从而对f(x)的研究可转化为对二次函数 一{12,又f(-2)=9.,于是得 (1 g(x)-2x-r(x(0,2))的研究.因为g(x)-2x-x= 2.解析:①因函数/(x)一 -(x-1){}十1,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递 r --9,而a>0,解得a-, 减,直线x-1是y-g(x)的图象的对称轴,从而排除B,D.] 1 ln(x-1) -1 ln2 10.解析:由三阶行列式 ln(3一x)1 根据题意得, 所以的值等于;# -2 0. ln(x-1)ln2 ②因对任意x≠2。,都有()一(c)<o成立,则画数 元素1的余子式M。- 2 -2 -2ln(r-1)十 π一。 21n 2-21n[2(xr-1)]-0,解得--3 # f(x)在R上单调递减, |1n(-1)-1-1n(x-1)+ 元素2的余子式M= ln(3-r) l1-2 ln(3一x) #所以实数的取值范因是~.## 则函数f(r)-ln(x-1)+ln(3-r) #答案:①#②### (x)-1n(-r+4x-3),x-(1,3) 假期作业6 函数的应用 令=-r+4x-3--(x-2)+1,(0,1] 思维整合室 则当x(1,2],函数u--x^{+4x-3单调递增,又y=ln 1.(1)f(x)-0 (2)x轴 零点 (3)f(a)·f(b)<0 (a,b) u(0,1]单调递增,所以由复合函数单调性可知/(x)在区 f(c)=0c 2.(r..0).(x.0) (x,0)210 间(1,2]上单调递增; 技能提升台 素养提升 当x[2,3),函数u--r+4r-3单调递减,又y-ln, 1.BD 2.C “(0,1单调递增,所以由复合函数单调性可知((x)在区 3.B [画数f(2)-x+log x-m在(-8)上单调逃增,则画 间[2,3)上单调递减; 故f(x)单调减区间为[2,3). 数/(c)在(1,8)上存在零点, 答案:3:[2.3)(填(2,3)也正确) ()+#0#得7~<11, 11.解:(1)当a-2时,g(x)-log(1-x),在[-15,-1]上单 调递减,因此当x--15时,g(x)的最大值为log[1- (-15)]-log:16-4. 1/(8)-8+log8-m>0 (2)f(x)一g(x)>0,即/(x)>g(x),所以当o<a<1时, 4.B[令f(r)=-r十(e-e)sinx. 1r1-x. 则/(-x)=-(-x)十(e一e)sin(-x) log.(1+x)>log.(1-x),满足 1+x→0.所以-1<<o. =-r”十(e一e)sinx-/(x) 11-:>0. '.=f(x)为偶函数,排除A,C: /() #e一-e一-→0 故当0<a<1时x的取值范围是(xl-1<r0]. 2+2-. 2, 故排除D.B正确.] 12.解:(1)因为 2+2~17 5.解析:令1-/(x). 当1-f(x)-0时,r-0或r-3. 高数学 12.解:(1)设每天来回y次,每次挂工节车厢,由题意设y一x+b. 当x=4时,y-16,当x-7时,y-10,得到16-4+$$ 所以画数y=f(f(x))的所有零点之和为0十3十10-13. -7h+b.二式联立解得b=-2,b-24,y=-2x+24. 答案:13 (2)设每天来回y次,每次挂1节车厢,由题意知,每天挂车 6.解析:由题意定义域为R的函数f(x)满足f(2十x)-一f(-x). 厢最多时,运营人数最多,设每天运营S节车厢,则S-xy 则/(x)的图象关于点(1,0)成中心对称, -r(-2x+24)--2+24.x--2(-6)+72,所以当 &数y一一 -6时,S..-72,此时y-12,则每日最多运营人数为 110X72-7920(人). 单位得到, 新题快递 -的图象关于点(1,0)成中心对称, 1.C[由题意得,#()化得1<1## 故y二- 又曲线y-/(c)与曲线y--1 -有且只有两个交点, 这两个交点关于(1,0)对称,故这两个交点的横坐标之和为2. #~ 1一 所以G>18×4.1-73.8.] 2.解析:(1)当x-ax+1>0时,f(x)-0(a-1)x}+(a 答案:2 2r-1-0. 7.C 即[(-1r-1(r+1)-0. {2.1# 若a-1时,r=-1,此时xr-ax+10成立; 若a1时,- 行 8.D [由题意可得 --1或x=-1. 若方程有一根为-,测()#-+1=0.解 若方程有一根为x=-1,则1+a+10,即a-2且aì; 两式相除得2.1lnN.-3.15lnN. 所以n Nln i,即 A.] 9. ACD [由题意可知:L.E[60,90],L[50,60],L=40, 得a<2且a1: 对于选A:可得L.10-2×ilg -20xlg 20× 。 2 ($2)当-ax+1<0时,f(x)-0-(a+1)-(a+2)x+1-0 即[(a+1)r-1](x-1)-0, 因为L。L。,则L。-L。 20xl→0,即1→0, 若a=-1时,r-1,显然x-ax+1 0不成立; 若a-1时,c=1或x-1 a十1 所以1且p,p:→0,可得p→p,故A正确; 若方程有一根为x-1,则1-a十1<0,即a>2; ,: -#对() 若方程有一根为--1 -x1 +1<0解 # 得a<-2; 20x1## 所以10且pp.>0,可得p。vT0p。; 当a-0时,只有一个零点一1; 当且仅当L。一50时,等号成立,故B错误; 对于选项C:因为L。-20xlg -40.即lg -2. 当a-1时,只有一个零点一1; P P 可得-100即p-100P。,故C正确; 当a2时,零点为1,一1. 所以当函数有两个零点时,a去0且a去1. 答案:(-o.0)U(0.1)U(1.+0) 且L$-L.<90-50-40,则20×lg <40; 假期作业7 任意角的三角函数与张度制 b. 思维整合室 1.(1)负角 零角 (2)象限角 2.(1)半径长 即lg<2,可得<100,且p,p>0.所以p<100^ ,故 (3)rlal #1 3.yx 技能提升台 素养提升 1)0.1,即 10.解析:设过滤n次才能达到市场要求,则2(1一 1.CD 2.A 3.C 4.C [因为π-a的终边与3x-a的终边相同,而π-a的终边 #2)0.nl号<-1-1g2. n7. 39.:n-8. 与a的终边关于y轴对称,所以a的终边与3π一a的终边关 于y轴对称,] 答案:8 5.A 6.解析:'1-3π·a-135*-3π. 形花园的面积$-x(40-x)=-x*+40r=-(x-20 +$ 400,当x一20m时,面积最大. 答案:46π 答案:20 83