假期作业1 集合及其运算-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

假期作业１　集合及其运算　　　 １．集合的基本概念 (１)集合中元素的三个特性:　　　　、 　、 无序性． (２)集合中元素与集合的关系:元素与集合之 间的关系有属于和不属于两种,表示符号 为　　和　　． (３)集合的表示法:列举法、　　　　、　　　　． ２．集合间的基本关系 　　描述 关系　　　 文字语言 符号语言 集 合 间 的 基 本 关 系 子集 A 中任意一元素 均为B 中的元素 　 　 　 　, 或B⊇A 真子集 A 中任意一元素 均 为 B 中 的 元 素,且 B 中 至 少 有一个元素A 中 没有 　 　 　 　, 或B⫌A 相等 集合A 与集合B 中的所有元素 　　　　 　　　　　 ３．集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符 号 表 示 A∪B A∩B 若 全 集 为 U,则 集 合 A 的补集为 　　　　 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图 形 表 示 意 义 　　　　 　　　　 {x|x∈A, 且x∈B} {x|x∈U, 且x∉A} ◆[考点一]　集合的基本概念 １．若集合A＝{x∈R|ax２－３x＋２＝０}中只有 一个元素,则a＝ (　　) A．９２　　　B． ９ ８　　　C．０　　　D．０ 或９ ８ ２．设a,b∈R,集合{１,a＋b,a}＝ ０,ba ,b{ },则 b－a＝ (　　) A．１ B．－１ C．２ D．－２ ◆[考点二]　集合间的基本关系 ３．(２０２３􀅰新高考Ⅱ卷)设集合A＝{０,－a}, B＝{１,a－２,２a－２},若A⊆B,则a＝ (　　) A．２ B．１ C．２３ D．－１ ４．(多选题)(２０２５􀅰山东临沂期中)给定数集 M,若对于任意a,b∈M,有a＋b∈M,且 a－b∈M,则称集合 M 为闭集合,则下列说 法中不正确的是 (　　) A．集合 M＝{－２,－１,０,１,２}为闭集合 B．整数集是闭集合 C．集合 M＝{n|n＝２k,k∈Z}为闭集合 D．若集合A１,A２ 为闭集合,则A１∪A２ 为闭 集合 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １ ◆[考点三]　集合的基本运算 ５．(２０２４􀅰全国甲卷(理))已知集合A＝{１,２, ３,４,５,９},B＝{x|x∈A},则∁A(A∩B)＝ (　　) A．{１,４,９} B．{３,４,９} C．{１,２,３} D．{２,３,５} ６．(２０２４􀅰北京卷)已知集合 M＝{x|－３＜x ＜１},N＝{x|－１≤x＜４},则M∪N＝ (　　) A．{x|－１≤x＜１} B．{x|x＞－３} C．{x|－３＜x＜４} D．{x|x＜４} ７．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,１)已知集合A＝{x|－５ ＜x３＜５},B＝{－３,－１,０,２,３},则A∩B＝ (　　) A．{－１,０} B．{２,３} C．{－３,－１,０} D．{－１,０,２} ８．(２０２５􀅰八省联考)已知集合A＝{－１,０,１}, B＝{０,１,４},则A∩B＝ (　　) A．{０} B．{１} C．{０,１} D．{－１,０,１,４} ９．(２０２４􀅰上海卷,１)设全集U＝{１,２,３,４,５},集 合A＝{２,４},则∁UA＝　　　　． １０．设集合A＝{x|－１＜x＜２},B＝{x|x＜a}, 若A∩B≠⌀,则a的取值范围是　　　　． ◆[考点四]　集合的综合应用 １１．设A＝{x|x２＋(４－a２)x＋a＋３＝０},B＝ {x|x２－５x＋６＝０},C＝{x|２x２－５x＋２＝０}． (１)若A∩B＝A∪B,求a的值． (２)若A∩B＝A∩C≠⌀,求a的值． １２．已知集合A＝{x|２≤x≤８},B＝{x|１＜x ＜６},C＝{x|x＞a},U＝R． (１)求A∪B,(∁UA)∩B; (２)若A∩C≠⌀,求a的取值范围． １．(２０２５􀅰杭州之江高级中学期中)已知集合 A＝{x|ax２－２x＋a＝０}中至多含有一个元 素,则实数a的取值范围 (　　) A．[－１,１] B．[１,＋∞)∪(－∞,－１] C．[－１,１]∪{０} D．[１,＋∞)∪(－∞,－１]∪{０} ２．(２０２５􀅰上海高一期中)若一个集合是另一 个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”; 若两个集合有公共元素,且互不为对方子 集,则称两个集合构成“蚕食”,对于集合A ＝{－１,２},B＝{x|ax２＝２,a≥０},若这两 个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a的取值集 合为　　　　． 文学大师华罗庚　华罗庚不仅是数学大 师,也是饱学之士．有一次钱三强、赵九章、华 罗庚等科学家出国考察．途中闲暇,华罗庚以 钱三强为题,随口拈出一联:三强韩赵魏,征询 下联.众人苦思冥想,不得善对．最后由华罗 庚指着身边的赵九章,对曰:九章勾股弦．展现 出了华罗庚在文学方面的造诣也很深厚． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ 参 考 答 案 第一部分 假期作业１　集合及其运算 思维整合室 １．(１)确定性　互异性　(２)∈　∉　(３)描述法　Venn图 ２．A⊆B　A⫋B　都相同　A＝B　３．∁UA　{x|x∈A,或x∈B} 技能提升台　素养提升 １．D　[若集合A 中只有一个元素,则方程ax２－３x＋２＝０只 有一个实根或有两个相等实根． 当a＝０时,x＝２３ ,符合题意; 当a≠０时,由Δ＝(－３)２－８a＝０,得a＝９８ , 所以a的取值为０或９８． ] ２．C　[因为{１,a＋b,a}＝ ０,ba ,b{ },a≠０,所以a＋b＝０,则 b a ＝－１ ,所以a＝－１,b＝１,所以b－a＝２．] ３．B　[若a－２＝０,则a＝２,此时A＝{０,－２},B＝{１,０,２},不 满足题意;若２a－２＝０,则a＝１,此时A＝{０,－１},B＝{１,－１, ０},满足题意．] ４．AD　[对于 A:由于－２,－１∈M,但是(－２)＋(－１)＝－３ ∉M,故集合 M＝{－２,－１,０,１,２}不为闭集合,故 A 错误; 对于B:由于整数加上整数或减去整数,所得结果仍是整数, 所以整数集是闭集合,故B正确;对于 C:任取n１,n２∈M,则 n１＝２k１,n２＝２k２,k１,k２∈Z,则(k１＋k２),(k１－k２),(k２－k１) ∈Z,所以n１＋n２＝２(k１＋k２)∈M,n１－n２＝２(k１－k２)∈M, n２－n１＝２(k２－k１)∈M,所以集合 M＝{n|n＝２k,k∈Z}为 闭集合,故 C正确;对于 D:由 C可得A１＝{n|n＝２k,k∈Z} 为闭集合,同理A２＝{n|n＝３k,k∈Z}为闭集合,所以A１∪ A２＝{n|n＝３k或n＝２k,k∈Z},则有２,３∈A１∪A２,但２＋３ ＝５∉A１∪A２,则A１∪A２ 不为闭集合,故 D错误．] ５．D　[因为A＝{１,２,３,４,５,９},B＝{x| x∈A|}＝{１,４,９, １６,２５,８１},所以∁A(A∩B)＝{２,３,５}．] ６．C　[因为集合 M＝{x|－３＜x＜１},N＝{x|－１≤x＜４},所 以 M∪N＝{x|－３＜x＜４}．] ７．A　[由题意可知集合B 中,只有－１,０满足集合A,所以A ∩B＝{－１,０}．故选择:A．] ８．C　[由题意可得A∩B＝{０,１}．] ９．解析:根据补集的定义可得∁UA＝{１,３,５} 答案:{１,３,５} １０．解析:利用数轴分析可知,a＞－１． 答案:a＞－１ １１．解:(１)B＝{２,３},C＝ ２,１２{ }, 因为A∩B＝A∪B,所以A＝B, 所以 ４－a ２＝－(２＋３) a＋３＝２×３{ ,解得a＝３． (２)因为A∩B＝A∩C≠⌀,所以A∩B＝A∩C＝{２},所以 ２∈A,所以２２＋２(４－a２)＋a＋３＝０,即２a２－a－１５＝０,解 得a＝３或a＝－５２． 当a＝３时,A＝{２,３},此时A∩B≠A∩C舍去; 当a＝－５２ 时,A＝ ２,１４{ },此时满足题意． 综上,a＝－５２． １２．解:(１)A∪B＝{x|２≤x≤８}∪{x|１＜x＜６}＝{x|１＜ x≤８}．∵∁UA＝{x|x＜２或x＞８}, ∴(∁UA)∩B＝{x|１＜x＜２}． (２)∵A∩C≠⌀,作图易知,只要a在 ８的左侧即可,∴a＜８． 新题快递 １．D　[由题意,原问题转化为方程ax２－２x＋a＝０至多只有 一个根, 当a＝０时,方程为－２x＝０,解得x＝０,此时方程只有一个 实数根,符合题意; 当a≠０时,方程ax２－２x＋a＝０为一元二次方程, 所以Δ＝４－４a２≤０,解得a≤－１或a≥１． 综上,实数a的取值范围为[１,＋∞)∪(－∞,－１]∪{０}．] ２．解析:当a＝０时,B＝⌀,此时满足B⊆A, 当a＞０时,B＝ － ２a , ２ a{ },此时 A,B 集合只能是“蚕 食”关系, 所以当A,B 集合有公共元素－ ２a ＝－１ 时,解得a＝２, 当A,B 集合有公共元素 ２a ＝２ 时,解得a＝１２ , 故a的取值集合为 ０,１２ ,２{ }． 答案:０,１２ ,２{ } 假期作业２　常用逻辑用语 思维整合室 １．⇒　/⇒　充分　必要　充分　必要 ２．p⇒q　q⇒p　p⇔q　p⇔q　(１)p⇔q　(２)p⇒q q/⇒p　(３)q⇒p　p/⇒q　(４)p/⇒q　q/⇒p ３．(３)∀x∈M,p(x) ４．(３)∃x０∈M,p(x０) ５．∃x∈M,􀱑p(x)　∀x∈M,􀱑p(x) 技能提升台　素养提升 １．B　[∵(a＋b)􀅰(a－b)＝０,∴a２－b２＝０,∴a２＝b２,则|a| ＝|b|,不能得到a＝b或a＝－b,充分性不成立;若a＝b或 a＝－b,则(a＋b)􀅰(a－b)＝０成立,必要性成立．所以“(a ＋b)􀅰(a－b)＝０”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件．] ２．C　[根据立方的性质和指数函数的性质,a３＝b３⇒a＝b⇒３a ＝３b,３a＝３b⇒a＝b⇒a３＝b３,所以二者互为充要条件．] ３．C　[因为xy≠０,所以x≠０,y≠０,由x＋y＝０⇒x＝－y⇒ x y ＝－１ ,y x ＝－１ ,充分性成立,由y x ＋ x y ＝－２⇒x ２＋y２ ＝－２xy⇒x２＋y２＋２xy＝０⇒(x＋y)２＝０⇒x＋y＝０,必要 性成立,故 C正确．] ４．B　[已知m,n,l不过同一点,若“m,n,l两两相交”则“m,n, l在同一个平面”,反之不成立,] ５．解析:集合A＝{x|x≤１},B＝{x|x≥a}, 当A∪B＝R时,a≤１,∵a≤１不一定得到a＝１,当a＝１时 一定可以得到a≤１, ∵“A∪B＝R”是“a＝１”的必要不充分条件, 当A∩B＝⌀时,a＞１,∴a＝２是“A∩B＝⌀”的充分不必要 条件． 答案:必要不充分　充分不必要 ６．解析:由已知得p⇒r,r⇒s,s⇔q,∴p⇒r⇒s⇒q．但由于r推 不出p,所以q推不出p,故p是q的充分不必要条件． 答案:充分不必要 ７．C ８．B　[由x＝０不成立知p假,x＝１时成立知q真,所以选B．] ９．C　[􀱑p:∀x＞０,２x≤x２．] １０．AB　[因为命题p:∃x∈R,x２＋bx＋１≤０是假命题, 所以命题:∀x∈R,x２＋bx＋１＞０是真命题,也即对∀x∈ R,x２＋bx＋１＞０恒成立, 则有Δ＝b２－４＜０,解得:－２＜b＜２,根据选项的值,可判 断选项 AB符合．] １１．解:(１)命题p:∃x∈R,ax２＋２x－１＝０为假命题,则命题 􀱑p:∀x∈R,ax２＋２x－１≠０为真命题, 显然a≠０,否则方程有实根x＝１２ ,因此Δ＝４＋４a＜０,解 得a＜－１,A＝{a|a＜－１}, 实数a的取值集合A＝{a|a＜－１}． (２)由非空集合B＝{x|６m－４＜２x－４＜２m}知,６m－４＜ ２m,解得m＜１,B＝{x|３m＜x＜m＋２}, 因“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则B⫋A,因此３m ＜m＋２≤－１,解得m≤－３, 所以实数m 的取值集合是{m|m≤－３}． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９７