专题07 有理数的乘方（3知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题07 有理数的乘方 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【题型1 有理数幂的概念理解】 例题：（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）表示的意义是（    ） A．与5相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的相反数 D．2个5相乘的相反数 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）对于与，下列说法中，正确的是（    ） A．读法相同，底数不同，结果不同 B．读法不同，底数不同，结果相同 C．读法相同，底数相同，结果不同 D．读法不同，底数不同，结果不同 2．（24-25七年级上·云南昭通·期中）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（   ） 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果； 丙：中底数是，指数是4； 丁：是n个4相乘 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型2 有理数的乘方运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型3 乘方运算的符号规律】 例题：（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【题型4 乘方的应用】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·期中）古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放粒米，第二格放粒米，第三格放粒米，然后是粒米，粒米，直到第格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … 【题型5 与有理数乘方有关的新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）用“☆”“★”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，那么 ． 2.（23-24七年级上·重庆开州·期中）用“”，“”定义新运算，对于任意有理数、，都有，，求的值． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 例题：（2025·江苏·三模）2025年是我国全面建成小康社会收官之年，我市将全面完成剩余19700贫困人口脱贫的任务．用科学记数法将数据19700表示为 ． 【变式训练】 1．（吉林省延边州2024—2025学年下学期九年级教学检测试题）《哪吒之魔童闹海》再创新纪录，此片已达全球影史票房榜第五位，票房约元，用科学记数法表示为 ． 2．（2025·安徽亳州·模拟预测）2024年，安徽省加快能源清洁低碳转型和新型电力系统建设，新增光伏发电装机1088万千瓦，数据1088万用科学记数法表示为 ． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位，目前，北斗定位服务日均使用量已超过3650亿次．3650亿用科学记数法表示为 ． 一、单选题 1．（2025年湖南省长沙市长郡教育集团九年级毕业数学会考模拟练习卷（五））DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北保定·一模）表示的意义是（　　） A．3个相乘 B．3个2相乘的相反数 C．个相加 D．2个3相乘的相反数 3．（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 6．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东梅州·期中）的底数是 ，指数是 ． 8．（2025·江苏镇江·二模）今年3月12日是我国第47个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2024年，我国完成造林6669万亩，6669万用科学记数法表示是 ． 9．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）在数，，中，负数有 个． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 11．（24-25七年级上·北京·期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 12．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 三、解答题 13．（24-25六年级上·山东淄博·期中）计算： (1) (2) 14．（24-25七年级上·河南商丘·期中）计算： (1) (2) 15．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 16．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）在如图所示的数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数． ． 17．（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 18．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 有理数的乘方 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【题型1 有理数幂的概念理解】 例题：（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）表示的意义是（    ） A．与5相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的相反数 D．2个5相乘的相反数 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解、相反数的定义 【分析】本题考查了有理数幂的概念、相反数，熟练掌握有理数幂的概念和相反数的定义是解题的关键．根据有理数幂的概念和相反数的定义即可解答． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数． 故选：C． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）对于与，下列说法中，正确的是（    ） A．读法相同，底数不同，结果不同 B．读法不同，底数不同，结果相同 C．读法相同，底数相同，结果不同 D．读法不同，底数不同，结果不同 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数乘方定义，熟练掌握有理数乘方的定义是解题的关键； n个相同的因数a相乘，记作，这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在乘方运算中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，简称指数，据此判断即可． 【详解】解：读作：负的5的平方，表示的是2个5的乘积的相反数，底数是5，指数是2，运算结果为． 读作：负5的平方，表示的是2个的乘积，底数是，指数是2，运算结果为25． 所以，与读法不同，底数不同，结果不同， 故选：D． 2．（24-25七年级上·云南昭通·期中）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】根据乘方的意义，底数，指数的意义解答即可． 本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 【详解】解：A. 的底数是，原说法错误，不符合题意；     B. 表示5个2相乘，原说法错误，不符合题意； C. 表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，原说法错误，不符合题意；     D. 的指数是3，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（   ） 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果； 丙：中底数是，指数是4； 丁：是n个4相乘 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则是解题的关键．根据有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则逐个判断即可． 【详解】解：是5个2相乘，故甲的观点不正确； ，结果相同，故乙的观点不正确； 中底数是，指数是4，故丙的观点正确； 是4个n相乘，故丁的观点不正确； 所以观点正确的有1个． 故选：B． 【题型2 有理数的乘方运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)216 (2) (3) (4) (5)1000 (6)1000000 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了乘方的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； （1）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可； （2）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （3）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （4）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （5）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可； （6）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （6）根据有理数的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： （6）解：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)100000 (6)0 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，熟练掌握乘方定义是解题的关键．分别根据有理数的乘方的定义进行计算即可． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数乘方运算法则计算即可； （6）根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【题型3 乘方运算的符号规律】 例题：（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方运算的符号规律、绝对值非负性 【分析】本题考查有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值，根据有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：只要，恒有，故A选项成立； ∵，故B选项不成立，C成立； ∵， ∴， ∴，故D选项成立， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、，，不相等，故A选项错误； B、，，不相等，故B选项错误； C、，，相等，故C选项正确； D、，，不相等，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题的关键在于掌握运算法则． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算、有理数的减法运算 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 【题型4 乘方的应用】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【答案】(1)64根 (2)8次 【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数乘乘方的应用． （1）计算即可得出答案． （2）由即可得出答案． 【详解】（1）解：（根） 则第6次捏合后，可得64根面条． （2）解：因为， 所以经过8次捏合后可得到256根面条． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·期中）古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放粒米，第二格放粒米，第三格放粒米，然后是粒米，粒米，直到第格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了乘方的应用，由已知可得第格放的米粒数为，据此即可求解，根据题意找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一格放粒米，即粒， 第二格放粒米，即粒， 第三格放粒米，即粒， 第四格放粒米，即粒， 第五格放粒米，即粒， ， ∴第格放的米粒数为粒， ∴第格放的米粒数是粒． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1) (2)32000 (3)32倍 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． （1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）先算出两个小时后的数量是，计算可得答案． 【详解】（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个； （2）解：， 1小时后，盘子里有个细菌； （3）解：， 两个小时后的数量是， ∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 【题型5 与有理数乘方有关的新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 【答案】2 【知识点】有理数的乘方运算、有理数的加减混合运算 【分析】此题考查了新定义运算，根据定义的运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：2 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）用“☆”“★”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，那么 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义，先计算再计算，即可求解． 【详解】解：∵，． ∴． 故答案为． 2.（23-24七年级上·重庆开州·期中）用“”，“”定义新运算，对于任意有理数、，都有，，求的值． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】根据新定义，先计算再计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解新定义是解题的关键． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【答案】(1)16 (2)64 【知识点】有理数的乘方运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键． （1）由，可得，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 例题：（2025·江苏·三模）2025年是我国全面建成小康社会收官之年，我市将全面完成剩余19700贫困人口脱贫的任务．用科学记数法将数据19700表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：用科学记数法将数据19700表示为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（吉林省延边州2024—2025学年下学期九年级教学检测试题）《哪吒之魔童闹海》再创新纪录，此片已达全球影史票房榜第五位，票房约元，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，正确确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法，当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 2．（2025·安徽亳州·模拟预测）2024年，安徽省加快能源清洁低碳转型和新型电力系统建设，新增光伏发电装机1088万千瓦，数据1088万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，正确的确定的值即可． 【详解】解：1088万， 故答案为：． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位，目前，北斗定位服务日均使用量已超过3650亿次．3650亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3650亿即365000000000， ， 故答案为： 一、单选题 1．（2025年湖南省长沙市长郡教育集团九年级毕业数学会考模拟练习卷（五））DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025·河北保定·一模）表示的意义是（　　） A．3个相乘 B．3个2相乘的相反数 C．个相加 D．2个3相乘的相反数 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查乘方的意义，注意中没有括号，所以负号不参与乘方运算． 【详解】解：表示的意义是3个2相乘的相反数， 故选：B． 3．（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数乘方的运算，绝对值，熟练掌握乘法的定义及运算是解题的关键．利用乘方的定义依次进行计算，即可判断． 【详解】解：A中，∵，， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B中，∵，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； C中，∵，， ∴， 故选项C错误，符合题意； D中，∵，， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 5．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，先把代入计算，若结果不大于1，则把结果作为新数输入计算，如此反复直至计算的结果大于1并输出，据此求解即可． 【详解】解： ， 把1作为新数输入时， ， ∴输出的结果为， 故选；A． 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东梅州·期中）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 8．（2025·江苏镇江·二模）今年3月12日是我国第47个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2024年，我国完成造林6669万亩，6669万用科学记数法表示是 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将6669万写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：6669万， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）在数，，中，负数有 个． 【答案】2 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，正数和负数的定义等知识点．先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：,是负数； ,是正数； ,是负数； 负数有，,共2个． 故答案为：2． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可，解题的关键是掌握有理数的混合运算的法则． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·北京·期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 【答案】520 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了乘方的运算， 仿照“十进制”的算法，可知总天数为右面第一个数字加上第二个数字乘以7，依次第三个数字乘以，第四个数字乘以，再相加得出答案. 【详解】解：孩子自出生后的天数是：（天）. 故答案为：520. 12．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 运用有理数的混合运算进行计算使其等于即可． 【详解】解：四张牌的点数分别是3、4、1、7， ∴，， 故答案为：或（答案不唯一） ． 三、解答题 13．（24-25六年级上·山东淄博·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算： （1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·河南商丘·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先计算括号内的运算和乘方，再计算乘除法即可； （2）先计算乘方和利用乘法分配律进行计算再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： （2） 15．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2) (3)5 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用乘法分配律及有理数的乘方法则计算即可； （3）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 16．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）在如图所示的数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数． ． 【答案】图见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，有理数的乘方，相反数，先化简各数，然后根据数轴上数的特点表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【详解】解： ． 在数轴上表示如下：      所以， 17．（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 18．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 【答案】（1），9；（2），；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以计算出所求式子的值； （3）先算乘方和除方，再算乘除法，然后算减法即可． 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：，9； （2）由题意可得， ， ， 故答案为：，； （3） ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$