专题06 有理数的乘法和除法（4知识点+9大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题06 有理数的乘法和除法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【题型1 两个有理数的乘法运算】 例题：（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 3．（2024六年级上·上海·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3 倒数】 例题：（2025·江苏南京·二模）的倒数是 ． 【变式训练】 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）的倒数是 ． 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 3．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ． 【题型4 有理数乘法运算律】 例题：（24-25七年级上·吉林四平·期末）计算： 【变式训练】 1．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）计算：． 2．（24-25七年级上·广东河源·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【题型5 有理数乘法的实际应用】 例题：（24-25七年级上·广东梅州·期中）某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？ 【变式训练】 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）道州脐橙“橙红鲜美、香甜多汁”，因出产于永州市道县而得名．现有20筐道州脐橙，以每筐千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)这筐道州脐橙中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)若道州脐橙每千克售价元，则这筐道州脐橙可卖多少元？ 3．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【题型6 有理数的除法运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7 有理数的乘除混合运算】 例题：（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)． 【题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势•新定义 若规定：，例如：，试求的值． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值． 2．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．例如： (1)求的值； (2)求的值． 3．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”，， 例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例题：（24-25七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 一、单选题 1．（2025·陕西延安·模拟预测）计算：（   ） A． B． C．5 D．6 2．（2025·湖南常德·二模）下面算式错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．（2025·四川·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·湖南·模拟预测）计算： ． 7．（2025·四川资阳·模拟预测）若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 8．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 9．（24-25六年级上·上海普陀·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 13．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）在1，，3，，中任意取出两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b． (1)求的值； (2)若，求的值． 14．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 15．（2024七年级上·辽宁·专题练习）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） 第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第___________步，错误原因___________； 第二处是第___________步，错误原因是___________； (2)请写出正确的解题过程． 16．（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）定义新运算“*”，对于任意有理数a，b满足，如：，． (1)求的值． (2)求的值． 17．（24-25七年级上·山东滨州·期末）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，刚大学毕业的志强把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 七 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？并说明理由； (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均1元，那么志强本周一共收入多少元？ 18．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）观察下列计算： (1)______（根据规律写算式，不要直接写结果） (2)你能试一试找到下列各式的规律吗？ 则______（n为正整数） (3)计算： (4)计算： 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的乘法和除法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【题型1 两个有理数的乘法运算】 例题：（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)504 (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （3）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （4）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据加法法则，进行计算即可； （2）根据乘法法则，进行计算即可； （3）根据乘法法则，进行计算即可； （4）先算括号，再根据乘法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． （3）解：； （4）解：原式． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)21 (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （3）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （4）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（2024六年级上·上海·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)0； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)； (7)1； (8) 【知识点】两个有理数的乘法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键． （1）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （2）根据两数相乘，异号得负进行计算； （3）根据两数相乘，异号得负进行计算； （4）根据两数相乘，同号得正进行计算； （5）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （6）根据两数相乘，异号得负进行计算； （7）先利用乘法交换律，再根据两数相乘，同号得正进行计算； （8）先计算括号中的式子，再根据两数相乘，异号得负进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算等，掌握多个有理数相乘的符号规律为解题的关键． （1）先确定积的负号，然后进行计算即可； （2）先确定积的负号，然后进行约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查多个有理数相乘，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键； （1）根据多个有理数乘法法则计算即可求解； （2）根据多个有理数乘法法则计算即可求解； （3）根据多个有理数相乘法则计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则，准确计算． （1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型3 倒数】 例题：（2025·江苏南京·二模）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查倒数，根据两个数的乘积为1，这两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，解题的关键是知道乘积为1的两个数互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数．根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】/ 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键．将带分数化为假分数，再求倒数即可． 【详解】解：， 的倒数是， 即的倒数是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ． 【答案】 【知识点】倒数、相反数的定义 【分析】本题属于较为基础的相反数与倒数的概念填空题，主要考查了相反数与倒数的判断，考生做此类题时一定要认真，细心，抓住细节，防止出错． 根据题意，相反数为相加为0的两个数，倒数为乘积为1的两个数． 据此即可求解． 【详解】解：的相反数是， 的倒数为； 故答案为：，． 【题型4 有理数乘法运算律】 例题：（24-25七年级上·吉林四平·期末）计算： 【答案】47 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·广东河源·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 【答案】(1)①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律简便运算是解答的关键． （1）①利用乘法分配律可得答案；②根据有理数的乘法运算法则判断即可； （2）根据乘法分配律和有理数的乘法和加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：①在所给运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误， 故答案为：①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可； （2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5 有理数乘法的实际应用】 例题：（24-25七年级上·广东梅州·期中）某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼 (2)116元 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正数和负数的应用，绝对值的应用，有理数运算的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，比较简单． （1）把记录的数字加起来，看结果是正还是负，就可确定是向东还是西； （2）求出记录数字的绝对值的和，再乘以2即可． 【详解】（1）解：， 故出租车离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼； （2）解：元， 故司机一个下午的营业额是116元． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 【答案】(1)科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； (2)科考队的船只总共行驶了海里； (3)船只共耗油升． 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法和乘法，绝对值的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算，再由结果即可得出答案； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据单位耗油量乘以行驶里程即可求解． 【详解】（1）解：（海里）， ∴科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； （2）解：由题意可得： （海里）， ∴科考队的船只总共行驶了海里； （3）解：（升）， ∴船只共耗油升． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）道州脐橙“橙红鲜美、香甜多汁”，因出产于永州市道县而得名．现有20筐道州脐橙，以每筐千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)这筐道州脐橙中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)若道州脐橙每千克售价元，则这筐道州脐橙可卖多少元？ 【答案】(1)最重的一筐比最轻的一筐重千克 (2)这20筐道州脐橙可卖元 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的应用，解题的关键是根据题意分别列出算式，再根据有理数的加减乘除运算的顺序计算即可． （1）利用超出最多的重量减去不足最多的重量，即可解题； （2）用总质量成单价即可． 【详解】（1）解：由题知，（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：由题知， 总质量为 （千克）， （元）， 答：这20筐道州脐橙可卖元． 3．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 【题型6 有理数的除法运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)36 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； （3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算．根据有理数的除法运算法则，先确定结果符号，再计算数值． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)0 (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】（1）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． （1）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可； （2）直接进行除法运算即可； （3）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可； （4）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型7 有理数的乘除混合运算】 例题：（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)12 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，掌握其运算法则是关键． （1）先将除法变乘法，再根据有理数乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变乘法，再根据有理数乘法，加减运算法则计算即可； （3）先将除法变乘法，再根据有理数乘法分配律的逆运算计算即可； （4）运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、有理数乘除混合运算 【分析】（）利用有理数的乘除运算法则即可求解； （）利用有理数的除法法则即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． （1）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （2）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （3）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法法则． （1）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． （2）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势•新定义 若规定：，例如：，试求的值． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算和新定义运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题中给出的信息，利用已知的新定义运算法则和有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值． 【答案】． 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的除法运算，理解新定义运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键．先根据定义计算括号内的，再根据定义进行下一步的计算，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 2．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．例如： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)6 (2)7 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的加法和乘法混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用题中的新定义先计算，进一步计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解：根据题中的新定义得： ． 3．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”，， 例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)10 (2)3 (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、绝对值等知识点，将新定义的运用化成有理数的运算成为解题的关键． （1）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可； （2）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可； （3）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例题：（24-25七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【知识点】有理数的除法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查绝对值的意义及有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算及绝对值的意义是解题的关键； （1）把直接代入进行求解即可； （2）根据绝对值的意义及有理数的除法运算可进行求解； （3）由题意可分当和进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：； （2）解：∵， ∴； （3）解：由可分： 当时，则有； 当时，则有； 综上所述，的值为2或． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算、有理数的减法运算、带有字母的绝对值化简问题、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的比较大小，有理数的除法运算． （1）根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，有理数的减法法则判断即可； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴得：，， ∴； （2）解：∵， ∴； 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，，或，，或，，两负一正或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （2）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，， ，，两负一正， ，，两正一负，． 故的值为或 （3）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【知识点】有理数加法运算、有理数的除法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 一、单选题 1．（2025·陕西延安·模拟预测）计算：（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025·湖南常德·二模）下面算式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的加减乘除法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，错误，符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选A． 3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得． 【详解】解： 使运算结果最小的是 故选：D． 4．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【知识点】有理数的除法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 5．（2025·四川·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答． 【详解】解：依题意， 那么  ， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·湖南·模拟预测）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数除法法则，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（2025·四川资阳·模拟预测）若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、倒数 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数和有理数的大小比较，正确得出，，是解题的关键； 根据可得，，，即可得解． 【详解】解：因为， 所以，，， 所以； 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 9．（24-25六年级上·上海普陀·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【答案】①③/③① 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了“和积等数对”，有理数的加法和乘法，理解“和积等数对”的定义是解题的关键． 根据“和积等数对”的定义计算即可． 【详解】解∶ ①，是“和积等数对”； ②，不是“和积等数对”； ③，是“和积等数对”； 故答案为：①③． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 针对每一选项逐一判断． 【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误，不符合题意； 对于②：∵， ∴同号， ∵， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 对于③：若， 则有四种情况， 1：如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 2如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 3如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 4如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵， ∴同号， ∵， ∴a和b均为负数， ∴ 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）原式利用乘法分配律计算即可求解； （2）原式从左到右依次计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把除法化为乘法，再根据乘法法则进行计算，即可作答． （2）先运算乘除，再运算加法，即可作答． （3）先运算小括号内，再运算中括号，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）在1，，3，，中任意取出两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，有理数加法计算，绝对值的非负性： （1）根据乘法计算法则可得要使得两个数的乘积最大，则这两个数一定要同号，且绝对值要满足是最大的两个数，要使得两个数的乘积最小，这两个数一定要异号，且绝对值要满足是最大的两个数，据此求解即可； （2）根据绝对值的非负性得到，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵要使得两个数的乘积最大， ∴这两个数一定要同号，且绝对值要满足是最大的两个数， ∴； ∵要使得两个数的乘积最小， ∴这两个数一定要异号，且绝对值要满足是最大的两个数， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律： （1）观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律； （2）先计算，计算方法为先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的结果取倒数即为题目所求式子的值． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 15．（2024七年级上·辽宁·专题练习）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） 第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第___________步，错误原因___________； 第二处是第___________步，错误原因是___________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错 (2)见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查了有理数的乘除运算． （1）根据有理数的乘除运算法则即可进行判断； （2）根据有理数的乘除运算法则写出解答过程即可． 【详解】（1）解：第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算， 第二处是第三步，错误原因是符号弄错， 故答案为：二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错； （2）解：原式 ． 16．（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）定义新运算“*”，对于任意有理数a，b满足，如：，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的加减和乘法混合运算，解题的关键是理解题目所给的定义中包含的运算及运算顺序． （1）利用新定义计算即可求出值； （2）利用新定义计算即可求出值． 【详解】（1）． （2）． 17．（24-25七年级上·山东滨州·期末）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，刚大学毕业的志强把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 七 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？并说明理由； (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均1元，那么志强本周一共收入多少元？ 【答案】(1) (2)达到了，理由见解析 (3) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的应用等知识，读懂题意是关键． （1）用表格中最大的数减去最小的数即可； （2）将本周数据加起来，再与计划进行比较即可； （3）根据题意列式计算出志强本周收入即可． 【详解】（1）解：由表格可得：（斤）， 即销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售斤， 故答案为：； （2）解：达到了，理由如下： 实际销售总量：（斤）， ∵， ∴本周实际销售总量达到了计划数量． （3）解：（元）， 答：志强本周一共收入元． 18．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）观察下列计算： (1)______（根据规律写算式，不要直接写结果） (2)你能试一试找到下列各式的规律吗？ 则______（n为正整数） (3)计算： (4)计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，观察、归纳数列规律的能力，仔细观察，准确找出规律是解题关键． （1）根据观察找到规律即可得到答案； （2）根据观察找到规律即可得到答案； （3）根据（1）算式规律：，进行计算化简即可； （4）先把原式变形为，再仿照（3）求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：根据观察，算式规律为：， 即； （3）解：根据（1）算式规律可得： ； （4）解： ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$