专题10 用配方法求解一元二次方程（3知识点+9大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题10 用配方法求解一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点02 配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点03 配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【题型1 直接开平方法解一元二次方程】 例题：（24-25八年级上·广东佛山·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， 解得． （2）解：， 则， 解得，． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 2．（2025·江苏南京·一模）解方程． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：原方程可变形为． ∵是1的平方根， ∴． 解得，． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了高次方程的解法，运用直接开配方法进行解答即可，掌握直接开配方法是解题的关键． 【详解】解： 或 ∴，． 【题型2 直接开平方法解一元二次方程的条件】 例题：（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，根据偶次方的非负性解答即可．熟记偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 2.（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可． 【详解】解：选项A，B，C方程左边均不能化为完全平方式，故选项A，B，C不能用直接开平方法求解； 由得，故选项D能用直接开平方法求解． 故选：D． 3.（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】将常数项移到等号的右边，利用平方的非负性即可进行判断． 【详解】解：将原方程可变形为：， ∵， ∴原方程没有实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况．利用平方的非负性进行判断是解决此题的简便方法． 【题型3 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 例题：（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程：． 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程．用直接开平方法求解可． 【详解】解：， 开方得， ∴或， ∴，． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林·期中）解方程: ． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即或， 解得，． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）解方程：． 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解： 或 ∴，． 【题型4 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 例题：（2025·广东梅州·二模）用配方法解方程 时，原方程应变形为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，利用配方法解出方程即可，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（2025年上海市杨浦区九年级下学期质量调研（二）数学试题）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键；方程变形为，再配方即可． 【详解】解：由变形得：， 配方得：，即； 所以选：A． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程可以通过配方法转化为的形式，则配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握解答的方法是解答本题的关键．根据配方法的步骤解答，即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， 故选：A． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A．4 B．21 C．25 D．46 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 配方得：，即， 则的值为4． 故选：A． 【题型5 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 例题：（2025·安徽合肥·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 则， 故， ∴， 即，． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 或 ∴，． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配成完全平方式（）的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：两边都加，得： ， 即， 两边开平方，得：， 即或 解得：，． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用配方法解方程： 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 【题型6 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用配方法解方程时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解； ， 故选：A． 【变式训练】 1.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案． 【详解】解：， ， 配方得，即， 故选：A． 2.（23-24八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 3.（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程，应把它先变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，涉及完全平方差公式、等式性质等知识，由配方法，利用完全平方差公式恒等变形即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 二次项系数化为1得， 移常数项得， 配方得， ，即， 故选：A． 【题型7 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 例题：（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）解一元二次方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解． 【详解】解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得，， 解得：，． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项，得， 方程两边再时除以2，得， 配方，得， ∴， 开方，得， ∴，． 2．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用配方法解答即可． 【详解】解： 解得： 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程−−配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．方程整理后，利用配方法求出解即可． 【详解】解∶方程整理，得， 配方，得，即， 开方，得， 解得，． 【题型8 用配方法解一元二次方程错解复原问题】 例题：（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习一元二次方程解法时，解方程的过程如下： 解：     …第一步     …第二步    …第三步 ．   …第四步 ∴原方程没有实数根． 根据小明的解题过程，解答下列问题： (1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误． (2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法）， 【答案】(1)一 (2)，，过程见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可； （2）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可． 【详解】（1）解：根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误． 故答案为：一． （2）解：正确解答过程如下： ， ∴， ∴， ∴． ∴，． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 2．（24-25九年级上·广东清远·期末）下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质，完全平方公式 (2)二，解题过程见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 对于（1），根据等式的基本性质和完全平方公式解答即可； 对于（2），先移项，再配方，然后求出解即可． 【详解】（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式． 故答案为：等式的基本性质，完全平方公式； （2）解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， 可得， ∴． 故答案为：二． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得……第一步 配方，得，    第二步 ，    ……第三步 ．    ……第四步 由此可得．    ……第五步 解得．    ……第六步 任务一：填空：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______，依据的数学公式是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【答案】任务一：①配方法；②完全平方公式；任务二：见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； 任务一：①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案； 任务二：先把方程化为可得，再解方程即可． 【详解】解：任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； ②第二步开始出现错误，错误的原因是加上，没有减去． 任务二：正确求解过程如下： 二次项系数化为1，得， 配方，得， ∴， ∴． 由此可得． 解得． 【题型9 配方法的应用】 例题：（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． (1)用“配方法”分解因式． (2)用“配方法”求代数式的最小值． (3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 【答案】(1) (2)4 (3)等腰三角形的底边长为1 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、配方法的应用、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据“配方法”，将变形为，后用完全平方公式，平方差公式分解因式即可． （2）用“配方法”构造完全平方式，利用非负性求代数式的最小值即可． （3）先将转化为，求得a、b，后分类求等腰三角形的底边长． 【详解】（1）解： ． （2）解： 的最小值是4． （3）∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当三边为2，2，1时，能构成三角形， ∴底边长为1； ②当三边为2，1，1时，不能构成三角形， 综上可知：等腰三角形的底边长为1． 【点睛】本题考查了配方法分解因式，求代数式的最值，实数的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系定理应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、配方法的应用 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 2．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)20 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； (3)图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)代数式的最小值为 (2) (3)，理由见解析 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）配方得出，结合，即可得解； （2）配方得出，结合题意得出，求解即可； （3）由题意表示出，，计算出即可得解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：， ∵， ∴时，代数式的值最小，为， ∵代数式的最小值为2， ∴， 解得：； （3）解：，理由如下： 由题意可得：，， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题利用直接开平方法求解． 【详解】解： 直接开平方得：， 故选：C． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．方程，可化为 B．方程，可化为 C．方程，可化为 D．方程，可化为 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A、方程，可化为，故此选项配方不正确，不符合题意； B、方程，可化为，故此选项配方不正确，不符合题意； C、方程，可化为，故此选项配方不正确，不符合题意； D、方程，可化为，故此选项配方正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 4．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如：，若，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．3或 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查新定义运算，解一元二次方程，解不等式等，注意分情况讨论是解题的关键．分和两种情况，分别计算即可． 【详解】解：当，即时， ， 解得， 当，即时， ， 解得， 综上，的值为或， 故选：A． 5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】C 【知识点】配方法的应用、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定的范围判断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故不存在实数x，使得值为0， 当时，有最小值为4，不存在最大值， 当时，解得：； 故（1）（2）（4）正确，（3）错误； 故选C． 二、填空题 6．（2025·山西吕梁·二模）方程的根是 ． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】此题考查了解一元二次方程的方法：直接利用开平法求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）代数式的最小值是 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法，理解非负数的性质是解答此题的关键．首先利用配方法将代数式转化为，然后根据非负数的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴的最小值为， 即代数式的最小值为． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．根据配方法的步骤进行配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·河北唐山·二模）对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的应用，根据题意列方程，即可解答，熟知题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）用适当的方法解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程．先把方程的左边利用完全平方公式变形为，再直接开平方得到两个一元一次方程，进而求解． 【详解】解：原方程可变形为：， 直接开平方得：或， 解得：，． 12．（24-25九年级上·河南新乡·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用直接开平方法求解即可； （2）方程移项后运用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 两边开平方，得， ，． （2）解：， 移项，得， 配方，得， ， 两边开平方，得， ，． 13．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）解下列方程： (1)；（开平方法） (2)． 【答案】(1) (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）题目要求用开平方的方法，所有需要把等号左右两边都变成是完全平方的形式，再开平方即可求解； （2）一元二次方程的一次项系数是偶数，所以运用配方法解一元二次方程，根据步骤一步一步解答即可． 【详解】（1）解：． ， 或， 或 （2）解：， 移项得，， 配方得， 即， 或， 解得，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法——直接开平方和配方法，解决此题的关键是要熟练掌握解一元二次方程的各种方法，进而选择最优的方法解决问题． 14．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，直接开平方法是解题的关键； （1）根据直接开平方法求解即可； （2）先把常数项移到等式的右边，再对等式的左边配方，再根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ，． 15．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）解一元二次方程： (1)用直接开平方法：； (2)用配方法：． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先移项，然后利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， ． 解得：，． 16．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，； 【知识点】解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键： （1）先移项，再配方，最后两边开平方即可得到答案； （2）移项，系数化为1，再两边开平方即可得到答案； 【详解】（1）解：移项、配方得， ， 即， 两边开平方得， ， ∴，； （2）解：移项、系数化为1得， ， 两边开平方得， ， ∴，． 17．（24-25九年级上·河南南阳·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得 ……………………第一步 移项，得．……………………第二步 配方，得，即．……………………第三步 由此，可得．……………………第四步 所以，……………………第五步 任务一、填空： ①“第二步”变形的数学依据是 ；（用文字语言填空） ②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 ；（用数学符号语言填空） ③小明同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：． 【答案】任务一：①等式的基本性质；②；③四；没有正确运用平方根的意义 任务二：， 【知识点】解一元二次方程——配方法、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查等式的性质，完全平方公式，平方根意义，配方法解一元二次方程等． 任务一：①利用等式的基本性质作答即可；②利用完全平方公式作答即可；③利用平方根意义作答即可； 任务二：配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：任务一：①等式的基本性质；或填 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式 ②， ③ 四，没有正确运用平方根的意义； 任务二：解：原方程可化为：， 配方得：， 即 ， ∴， ∴ 或． 18．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)9 (2)当为4时，多项式有最小值，最小值是 (3)当时，多项式有最小值，最小值是2 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、配方法的应用、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方式的定义，添加常数项，把原式配成完全平方式即可； （2）仿照示例，把变形为，从而得到结果； （3）根据题意，把原式变形为，可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ∴当时，代数式有最小值， 答：当为4时，多项式有最小值，最小值是； （3）解： ， ， ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是2． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 用配方法求解一元二次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点02 配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点03 配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【题型1 直接开平方法解一元二次方程】 例题：（24-25八年级上·广东佛山·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 2．（2025·江苏南京·一模）解方程． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程：． 【题型2 直接开平方法解一元二次方程的条件】 例题：（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【变式训练】 1.（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 3.（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【题型3 直接开平方法解一元二次方程的复合型】 例题：（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林·期中）解方程: ． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）解方程：． 【题型4 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】 例题：（2025·广东梅州·二模）用配方法解方程 时，原方程应变形为（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025年上海市杨浦区九年级下学期质量调研（二）数学试题）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程可以通过配方法转化为的形式，则配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A．4 B．21 C．25 D．46 【题型5 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 例题：（2025·安徽合肥·模拟预测）解方程：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程：． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）用配方法解方程：． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用配方法解方程： 【题型6 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用配方法解方程时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程，应把它先变形为（    ） A． B． C． D． 【题型7 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 例题：（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）解一元二次方程：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）解方程：． 2．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）解方程：． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程方程：． 【题型8 用配方法解一元二次方程错解复原问题】 例题：（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习一元二次方程解法时，解方程的过程如下： 解：     …第一步     …第二步    …第三步 ．   …第四步 ∴原方程没有实数根． 根据小明的解题过程，解答下列问题： (1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误． (2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法）， 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 2．（24-25九年级上·广东清远·期末）下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得……第一步 配方，得，    第二步 ，    ……第三步 ．    ……第四步 由此可得．    ……第五步 解得．    ……第六步 任务一：填空：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______，依据的数学公式是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【题型9 配方法的应用】 例题：（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． (1)用“配方法”分解因式． (2)用“配方法”求代数式的最小值． (3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 【变式训练】 1．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 2．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； (3)图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．方程，可化为 B．方程，可化为 C．方程，可化为 D．方程，可化为 3．（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如：，若，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．3或 5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 二、填空题 6．（2025·山西吕梁·二模）方程的根是 ． 7．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）代数式的最小值是 ． 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为 ． 9．（2025·河北唐山·二模）对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则 ． 10．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）用适当的方法解方程：． 12．（24-25九年级上·河南新乡·期末）解方程： (1)． (2)． 13．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）解下列方程： (1)；（开平方法） (2)． 14．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）解下列方程： (1) (2) 15．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）解一元二次方程： (1)用直接开平方法：； (2)用配方法：． 16．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）解下列方程 (1) (2) 17．（24-25九年级上·河南南阳·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得 ……………………第一步 移项，得．……………………第二步 配方，得，即．……………………第三步 由此，可得．……………………第四步 所以，……………………第五步 任务一、填空： ①“第二步”变形的数学依据是 ；（用文字语言填空） ②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 ；（用数学符号语言填空） ③小明同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：． 18．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null