专题06 正方形的判定（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题06 正方形的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 ：正方形的判定 1.定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形； 2.先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）； 3.先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点02 ：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【题型1 正方形的判定定理理解】 例题：（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【知识点】正方形的判定定理理解、证明四边形是正方形 【分析】本题考查的是正方形的判定，据选项依次进行判断即可． 【详解】选项A条件： （邻边相等）且（对角线垂直）． 结论：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直也是菱形，因此无法确定为正方形。 选项B条件： （邻边垂直）且（对角线相等）． 结论：邻边垂直的平行四边形是矩形，对角线相等也是矩形，因此无法确定为正方形． 选项C条件： （对角线相等，即）且（邻边相等）． 结论：，平行四边形对角线互相平分，说明是矩形． ，邻边相等，说明是菱形． 既是菱形又是矩形，因此能推出正方形． 选项D条件： （对角线相等）且（重复对角线相等）． 结论：仅说明是矩形，无法确定邻边是否相等，因此不能推出正方形． 故选：C． 【变式训练】 1．（2025·内蒙古赤峰·二模）下列正确命题的个数是（   ） ①有一组邻边相等的四边形是菱形；②四条边相等的四边形是正方形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④对角线相等的平行四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了特殊的四边形的判定，解题关键是牢记几种特殊四边形的概念与判定方法，本题依次判断即可． 【详解】解：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故命题①错误； ②四条边相等的四边形是菱形，故命题②错误； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形；故命题③正确； ④对角线相等的平行四边形是矩形，故命题④正确； ⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故命题⑤正确； 综上所述：命题正确的有3个， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解、添一个条件使四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据矩形、菱形、正方形的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）下列命题中是真命题的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、判断命题真假 【分析】本题考查了命题与定理．根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据矩形的判定方法对D进行判断． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，所以本选项错误，不是真命题，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以本选项错误，不是真命题，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以本选项正确，是真命题，符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以本选项错误，不是真命题，不符合题意； 故选：C． 【题型2 添一个条件使四边形是正方形】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山西晋中·期中）在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是 （写出一个符合要求的条件）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用， 【详解】解：添加的条件可以是．理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、添一个条件使四边形是正方形 【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件． 【详解】解：点D，E，F分别是边的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【知识点】证明四边形是平行四边形、添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形、添一个条件使四边形是正方形 【分析】根据平行四边形平行四边形、菱形、矩形的判定，即可求解， 本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④错误； 所以正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 【题型3 证明四边形是正方形】 例题：（24-25八年级下·重庆綦江·期中）如图，在中， ，，D、E、F分别是边的中点．          (1)求的长． (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是正方形 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，正方形的判定与性质： （1）利用直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出，即可求解； （2）先根据三角形中位线的性质推出，，根据，易证四边形为菱形，结合，即可证明菱形为正方形． 【详解】（1）解：∵ ，E是中点， ∴， 又∵ ∴ ∴； （2）证明：∵D、E、F分别是边的中点． ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴菱形为正方形． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·青海·期中）如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于点，交和的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、利用矩形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】（）利用矩形的性质证明四边形和四边形是平行四边形，得，，进而即可求证； （）证明，得，进而即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在 中， 平分平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． (1)求证：； (2)当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，以及正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解答本题的关键． （1）证明四边形是矩形即可得出； （2）根据正方形的判定方法可知，当时，四边形为正方形． 【详解】（1）∵ 平分平分 的外角 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）当时，四边形为正方形，理由； ∵四边形是矩形，， ∴四边形为正方形． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作与的延长线相交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)①菱；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】（1）由，得到两对内错角相等，再由为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证；②添加条件为，由，根据①得到四边形为菱形，再由，利用等腰三角形的三线合一得到，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①当满足条件时，四边形是菱形， 理由如下： ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ∵是的中点， ∴ ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱； ②当满足条件时，四边形是正方形， 理由如下： 由①知当满足条件时，四边形是菱形， ∵，为中点， ∴为边上的中线， ∴，即， ∵四边形是菱形，， ∴四边形为正方形． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，涉及中点定义、平行线性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 【题型4 根据正方形的性质与判定求解】 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，再证明和全等得，，则矩形是正方形，，熟练掌握全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若点是的三等分点，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分两种情况：当点E在靠近点A的三等分点时和当点E在靠近点D的三等分点时，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：当点E在靠近点A的三等分点时， 过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点E在靠近点D的三等分点时， 同理可得出：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】过点作，由勾股定理求出．再证明四边形是正方形，可得，再证明，可得，再求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ，， ， ，， 四边形是矩形， 平分，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质和证明三角形全等是解题的关键． 过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解． 【详解】如图，过D作,交于M，，交延长线于N， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【题型5 正方形的性质与判定的综合问题】 例题：（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是正方形 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）解：先根据正方形性质和勾股定理求出，进而可得是等腰三角形，求，再根据，得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形的正方形． （2）解：∵四边形的正方形． ∴，， 又∵ ． ∵， ∴ ∴， ∵在矩形中，， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、根据等边对等角证明、证明四边形是正方形 【分析】（1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得到四边形是正方形； （2）先判定，得出，再根据正方形中，，即可得到，即． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于E，交于F， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵正方形中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质的综合应用，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识．解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、证明四边形是正方形 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质、勾股定理、三角形全等的判断和性质等知识点，是正确做出辅助线、构成全等三角形是解题的关键． （1）如图：过点E作于点Q，作于点P，证明得到，可说明为菱形，根据，即可证明结论； （2）根据正方形性质得出，，，根据勾股定理求出，再证明可得、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图：过点E作于点Q，作于点P，则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为菱形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）解：如图：连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）由（1）可知四边形是正方形，得，再由（2）可知，得，即可得，再推出得即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵平分， ∴， ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【题型6 与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）】 例题：（24-25九年级上·河南·期末）如图，在中，，是边上的中线． (1)尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)当为等腰直角三角形，即时，四边形为正方形，理由见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是正方形 【分析】本题考查作图—复杂作图、直角三角形斜边上的中线、正方形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． （2）当是等腰直角三角形时，四边形为正方形．结合直角三角形斜边上的中线的性质、正方形的判定、等腰直角三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接， 则射线、线段即为所求． （2）解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形． 理由：，， 四边形为平行四边形． ，是边上的中线， ， 四边形为菱形． 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为正方形． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·天津·期中）如图，已知矩形， (1)尺规作图：①作的平分线，交边于点E． ②过E做，垂足为F （两个画图都保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是正方形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、利用矩形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了尺规作图---角平分线，垂线，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，正方形的判定等，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法即可作图； （2）先根据平行线加角平分线得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：∵平分， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点． (1)尺规作图：请在右侧作出点，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，请解决以下问题： ①当时，求菱形的周长； ②当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①20；②四边形为正方形，理由见解析 【知识点】利用矩形的性质证明、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查尺规作复杂图形，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，菱形的性质与判定是解题的关键． （1）分别以点B、C为圆心为半径画弧，两弧相交于E，连接，即可； （2）①根据矩形的性质及勾股定理确定，，再由菱形的性质即可求解； ②根据题意得出，再由菱形的性质确定，利用正方形的判定即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求作的菱形． （2）①∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴周长为：； ②∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴四边形为正方形． 3．（2025·浙江金华·二模）已知是菱形的对角线． (1)如图1，以为圆心，适当长度为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形． (2)尺规作图：在图2中作正方形，其中在上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的判定，尺规作图，解题的关键是熟练掌握正方形和菱形的判定． （1）连接，根据菱形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形即可； （2）连接，交于点O，以点O为圆心，为半径画弧，交于点M、N，连接、、、，则四边形即为所求． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， 根据作图可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：连接，交于点O，以点O为圆心，为半径画弧，交于点M、N，连接、、、，则四边形即为所求作的正方形． ∵四边形为菱形， ∴，， 根据作图可知：， ∴， ∴、互相垂直平分，且相等， ∴四边形为正方形． 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 【答案】B 【知识点】正方形性质理解、正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，根据正方形的判定和性质逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意； B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，说法正确，不符合题意； D. 正方形的对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴平行四边形为矩形， ∵， ∴平行四边形为正方形；故选项A不符合题意； ∵平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴；不能判断平行四边形是正方形，故选项B符合题意； ∵∵平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∵ ∴平行四边形为正方形；故选项C不符合题意； ∵平行四边形，， ∴平行四边形为矩形， ∵， ∴平行四边形为正方形；故选项D不符合题意； 故选B． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，，由尺规作图得射线与边交于点，过分别作于点．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、角平分线的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．先根据角平分线的性质以及已知条件证明四边形是正方形可得，再说明，然后根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理得到，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， 由作图可知：为的角平分线， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容． 如图，四边形是平行四边形， ①当※时，平行四边形是矩形．    ②当时，平行四边形是矩形． ③当▲时，平行四边形是菱形．    ④当时，平行四边形是正方形． 则回答不正确的是（    ） A．※可以代表 B．◎可以代表 C．▲可以代表 D．可以代表 【答案】D 【知识点】正方形的判定定理理解、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形的判定定理，熟知矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键. 【详解】解：①∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故①回答正确，不符合题意； ②∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故②回答正确，不符合题意； ③∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故③回答正确，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不一定是正方形，故④回答错误，符合题意； 故选：D。 5．（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使得该菱形为正方形，添加条件是 ．（只添一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定方法，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形解答即可． 【详解】添加条件（答案不唯一），那么该菱形是正方形． 理由：∵四边形是菱形， 又∵， ∴根据正方形判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形，可知菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是 ． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【知识点】矩形与折叠问题、证明四边形是正方形 【分析】此题考查正方形的判定，折叠的性质，根据折叠得到，即可判定正方形，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键 【详解】解：由折叠得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形 8．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质与判定求角度、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四边形中，，过点A作的垂线交于点E，，，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】如图所示，点作于，过点作交延长线于， 连接， 则四边形是矩形，可证明，推出四边形是正方形，则， ， 如图所示， 在上取一点， 使得， 连接， 可证明，推出， 则，； 设， 导角可证明， 则， 设， 由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】如图所示，过点作于，过点作交延长线于， 连接，∵， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ， 如图所示，在上取一点，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 设， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 设， 则，， 在中， 由勾股定理得，即， 解得 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（2025·河北廊坊·二模）在中，；，，将边绕点A逆时针旋转，旋转角为，点的对应点是点，连接，，若旋转角，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】由旋转的性质可知，，过D点作的延长线于M，则可证四边形是正方形，进而可得，，根据勾股定理即可求出的长． 本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图， 由旋转的性质可知，， 延长，过D点作的延长线于M， 则， 又， ， ∴四边形是正方形， ， 又， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点E为正方形内一点，将绕点B按顺时针方向旋转，得到，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，写出四条与相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而证明； （2）由旋转的性质可得，由正方形的判定可证四边形是正方形，过点作于，由等腰三角形的性质可得，证明，可得，由旋转的性质可得，从而可得，即可解答． 【详解】（1）证明：设交于，如图： ∵四边形是正方形， ， ， ∵将绕点按顺时针方向旋转，得到， ， ， ， ， ∴； （2）解：∵将绕点按顺时针方向旋转， ， ， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， 如图，过点作于， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， ， ∵将绕点按顺时针方向旋转， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 12．（23-24八年级下·广东韶关·期末）如图， 已知四边形中，， (1)尺规作图∶ 过点D作， 交于点 E(保留作图痕迹， 不要求写作法)； (2)若， 当满足什么条件时，（1）中作出的四边形为正方形？ 并证明你的结论． 【答案】(1)作图见解析； (2)当时，四边形为正方形，证明见解析． 【知识点】作垂线(尺规作图)、证明四边形是正方形、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了作图-基本作图，正方形的判定，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，过点作直线的垂线即可； （2）先证明四边形为矩形，再证明，即可证得四边形为正方形． 【详解】（1）解：在的下方任取一点，以为圆心，的长度为半径画圆，交于点，再分别以为圆心，的长度为半径画圆，交于点，连接，交于点，则，即为所求，如图： （2）解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 13．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得即可解决问题． 【详解】（1）如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ， ∵于，于， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 14．（2024·甘肃兰州·一模）如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若． (1)求证：矩形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由翻折得，，，则，所以，而，即可证明，而四边形是矩形，所以四边形是正方形； （2）由翻折和正方形的性质得出，根据，得出，，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：由翻折得，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形，且， 四边形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是8． 【点睛】此题重点考查正方形的判定、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断； （3）过作于点，过作于点，勾股定理求得，根据已知条件得出，进而求得，勾股定理求得，进而根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 即， 又点是正方形对角线上的一点，平分， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：，理由如下： 矩形为正方形， ，． 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ． 在中， ． （3）解：如图所示，过作于点，过作于点， ∵正方形的面积为， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ 在中， ∴正方形的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等． 16．（24-25九年级上·全国·假期作业）问题情境：如图1，点E为正方形内一点，，将绕点B顺时针旋转，得到，延长交于点F，连接． 猜想证明： (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： (3)如图1，若，，直接写出的长 ．（结果可含根式） 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)结论：，见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，再由正方形的判定即可得证； （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，证明，可得，由旋转的性质可得，可得出结论； （3）求得、，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，，， 又， 四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）结论：； 理由：如图2，过点D作于H， ，， ， ∴， ∵四边形是正方形， ，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∴， ∴； （3）如图1，过点D作于H， ∵四边形是正方形， ， ， ， 由（2）可知：，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 正方形的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 ：正方形的判定 1.定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形； 2.先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）； 3.先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点02 ：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【题型1 正方形的判定定理理解】 例题：（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式训练】 1．（2025·内蒙古赤峰·二模）下列正确命题的个数是（   ） ①有一组邻边相等的四边形是菱形；②四条边相等的四边形是正方形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④对角线相等的平行四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 3．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）下列命题中是真命题的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 【题型2 添一个条件使四边形是正方形】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山西晋中·期中）在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是 （写出一个符合要求的条件）． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有 ．（只填序号） 【题型3 证明四边形是正方形】 例题：（24-25八年级下·重庆綦江·期中）如图，在中， ，，D、E、F分别是边的中点．          (1)求的长． (2)求证：四边形是正方形． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·青海·期中）如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于点，交和的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是正方形． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在 中， 平分平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． (1)求证：； (2)当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作与的延长线相交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 【题型4 根据正方形的性质与判定求解】 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 【变式训练】 1．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若点是的三等分点，，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的长为 ． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期中）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ． 【题型5 正方形的性质与判定的综合问题】 例题：（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，，求的长． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【题型6 与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）】 例题：（24-25九年级上·河南·期末）如图，在中，，是边上的中线． (1)尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·天津·期中）如图，已知矩形， (1)尺规作图：①作的平分线，交边于点E． ②过E做，垂足为F （两个画图都保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是正方形 2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点． (1)尺规作图：请在右侧作出点，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，请解决以下问题： ①当时，求菱形的周长； ②当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 3．（2025·浙江金华·二模）已知是菱形的对角线． (1)如图1，以为圆心，适当长度为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形． (2)尺规作图：在图2中作正方形，其中在上（保留作图痕迹，不写作法）． 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 2．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，，由尺规作图得射线与边交于点，过分别作于点．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 4．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容． 如图，四边形是平行四边形， ①当※时，平行四边形是矩形．    ②当时，平行四边形是矩形． ③当▲时，平行四边形是菱形．    ④当时，平行四边形是正方形． 则回答不正确的是（    ） A．※可以代表 B．◎可以代表 C．▲可以代表 D．可以代表 5．（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使得该菱形为正方形，添加条件是 ．（只添一个条件即可） 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是 ． 8．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四边形中，，过点A作的垂线交于点E，，，，，则的长为 ． 10．（2025·河北廊坊·二模）在中，；，，将边绕点A逆时针旋转，旋转角为，点的对应点是点，连接，，若旋转角，则的长为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点E为正方形内一点，将绕点B按顺时针方向旋转，得到，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，写出四条与相等的线段． 12．（23-24八年级下·广东韶关·期末）如图， 已知四边形中，， (1)尺规作图∶ 过点D作， 交于点 E(保留作图痕迹， 不要求写作法)； (2)若， 当满足什么条件时，（1）中作出的四边形为正方形？ 并证明你的结论． 13．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 14．（2024·甘肃兰州·一模）如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若． (1)求证：矩形为正方形； (2)若，求的长． 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是对角线上不与端点重合的一动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)试用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为，且，求正方形的面积． 16．（24-25九年级上·全国·假期作业）问题情境：如图1，点E为正方形内一点，，将绕点B顺时针旋转，得到，延长交于点F，连接． 猜想证明： (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： (3)如图1，若，，直接写出的长 ．（结果可含根式） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$