专题05 正方形的性质（2知识点+7大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题05 正方形的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 ：正方形的定义 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点02 ：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【题型1 正方形性质的理解】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（   ）． A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 【答案】C 【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质，属于基础题型，熟练掌握矩形和菱形的性质是关键．根据菱形和矩形的性质依次判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； B、对角线相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； C、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，所以本选项符合题意； D、对角线互相平分且相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（2025·江苏无锡·一模）下列结论中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．邻边相等 C．对角线相等 D．面积等于对角线乘积的一半 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求线段长、正方形性质理解 【分析】本题考查了菱形的性质及正方形的性质，熟练掌握正方形的性质与菱形的性质是解题的关键． 根据正方形与菱形的性质结合选项即可得出答案． 【详解】解：A、菱形、正方形的对边都平行且相等，故本选项错误； B、邻边相等，菱形、正方形都具有，故本选项错误； C、对角线相等菱形不具有，而正方形具有，故本选项正确； D、面积等于对角线乘积的一半，菱形、正方形都具有，故本选项错误； 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（   ） A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分 C．是中心对称图形 D．有条对称轴 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明、正方形性质理解 【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正方形和菱形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、菱形和正方形的对边都互相平行，故A选项不符合题意； B、正方形的对角线是相等平分且垂直，菱形的对角线是垂直且互相平分，故B选项不符合题意； C、正方形和菱形都是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、正方形有条对称轴，菱形有条对称轴，故D选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）下列性质中正方形具有而菱形没有的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质证明、正方形性质理解 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质解题即可． 【详解】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意； B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意； C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意； D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意； 故选：B． 【题型2 根据正方形的性质求角度】 例题：（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为 ． 【答案】/45度 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，根据正方形的性质和等边三角形的性质可证明，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】此题考查了正方形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据正方形的性质，可得，又由，根据等边对等角和三角形外角的性质，可得，进一步即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，以正方形的对角线为边作菱形，则 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形的性质，根据正方形的性质得出，，根据菱形的性质得出，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是菱形， ． 故答案为：． 3．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接、、，交于点，则的度数为 ． 【答案】45 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，先由正方形的性质得，，再证明得，，进而可得，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45． 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 例题：（2025·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线，分别在轴和轴上，点的坐标为．则线段的长是 ． 【答案】4 【知识点】根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，正方形的对角线相等且互相垂直平分，据此可得． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵正方形的对角线，分别在轴和轴上， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于E，于F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，MC取得最小值， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：， 2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．延长交于点M，证明，则，得到，设，则，，在中，由勾股定理得到，进一步得到，即可得到的最小值． 【详解】解：延长交于点M， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵四边形都是正方形，E是延长线上一个动点， ∴，， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）以正方形中为斜边，构造等腰，，，连接，，则线段的长度为 ． 【答案】或 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查等腰直角三角形性质和正方形的性质，勾股定理等相关知识，解题的关键是学会用转化的思想和分类讨论思考问题． 当在正方形外时，在中可证． 当在正方形内时，在中可证． 【详解】解：如图1，当在正方形外时，过点作垂直延长线交于点， ∵正方形中为斜边，构造等腰， ∴ ， ∴ 等腰直角三角形， ∵ ， ∴在中，根据勾股定理可得： ∵为等腰直角三角形， ∴ ， ∴， 在中， ， ∴ ； 如图2，当在正方形内时，过点作垂直交于点， ∵正方形中为斜边，构造等腰， ∴ ， ∴ 等腰直角三角形， ∵ ， ∴在中，根据勾股定理可得： ∵为等腰直角三角形， ∴ ， ∴， 在中， ， ∴ ； 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 【题型4 根据正方形的性质求面积】 例题：（2025·北京朝阳·二模）如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ． 【答案】4 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据正方形的性质求面积 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理可得， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·湖北·二模）如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是和，则的值是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查正方形性质，等腰直角三角形性质及应用等．根据题意设大正方形边长为，则大正方形对角线为，得到，，均是等腰直角三角形，继而得到，，即可得到本题答案． 【详解】解：设大正方形边长为，则大正方形对角线为， 将图中进行命名如下： ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，均是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求面积、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解． 【详解】解：过点作于点， 四边形是正方形， ， 由题意可得， 四边形为菱形， ， 设， ， ， ， 而， ， 变形后四边形的面积与原正方形面积之比为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【知识点】二次根式的应用、根据正方形的性质求面积 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．根据正方形的面积公式求得边长；再求出直角三角形、的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，即可得解． 【详解】解：正方形的边长为，正方形的边长为， ， ， 又， ， 故答案为：． 【题型5 求正方形重叠部分面积】 例题：（2024九年级上·山东·专题练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求正方形重叠部分面积 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的． 根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【详解】解：如图， 正方形和正方形的边长都是， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是， 故答案为：1． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、求正方形重叠部分面积 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键． 【详解】∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】16 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的面积，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．证明，得到，计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 3．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 （用n的代数式表示）． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过点A1分别作正方形两边的垂线与，根据正方形的性质可得，四边形是正方形，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于正方形面积的，同理可求所有阴影部分的面积都是正方形的面积的，然后根据正方形的面积列式计算即可． 【详解】解：如图，过点分别作正方形两边的垂线与， ∵点是正方形的中心， ∴，四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积正方形的面积， 同理可求，每一个阴影部分的面积都是正方形面积的，为， ∴重叠部分的面积和． 故答案为：． 【题型6 正方形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则的长为 ． 【答案】 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，连接交于点，由勾股定理可得，由翻折的性质易得，进而可证，可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接交于点， 由题意可知，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 又∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·河南·一模）如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则 ． 【答案】112.5 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形、折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的运用，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质是关键． 根据正方形、折叠的性质得到，，则，由此得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，将沿对折至，延长交边于点G，连接．若，则正方形的边长是 ． 【答案】12 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】根据折叠及正方形的性质证明，设正方形的边长为，则在中由勾股定理建立方程，再求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由折叠的性质可知，，， ， . 又， . ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，， ， 解得或（舍）， ∴正方形的边长为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，证明出时解题的关键． 3．（2025·河南南阳·二模）如图，正方形中，点P为射线上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，射线交直线于点M，若，当时，的长为 ． 【答案】或6 【知识点】折叠问题、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了正方形与折叠，勾股定理等知识，分M在线段延长线上和线段上讨论，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ， ∵， ∴， 当M在线段延长线上时，如图，连接， ∵折叠， ∴，，， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 当M在线段延长线上和线段上，如图，连接， 同理可求出， 在中，， ∴， 解得， 综上，的长为或6． 故答案为：或6． 【题型7 根据正方形的性质证明】 例题：（2025·江苏苏州·二模）如图，点是正方形的边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边的延长线上． (1)求证：； (2)连接、交于点，若，则的度数为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，根据旋转的性质得，，再利用全等三角形判定即可证明； （2）根据全等三角形和正方形的性质得到，，推出，，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：正方形， ，， 由旋转的性质得，， 在和中， ， ． （2）解：如图， 由（1）得，， ， ，即， 正方形， ，， ，， 又， 是等腰直角三角形，， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·江苏苏州·二模）已知：如图，四边形为正方形，点在的延长线上，连接， (1)求证：； (2)若，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到.，可证明； （2）由（1）知，得到，求出，得到，推出． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， .， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期中）已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的长度； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】根据正方形的性质证明、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）证明即可； （2）连接，过点作于点H，由垂直平分，则，，可得四边形为矩形，证明，则，同理可证明四边形为矩形，设，则，，则，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可得出答案； （3）由折叠可得：，同（1），，，则，，由勾股定理得，由面积法得到，再由即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的不变性是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期中）在正方形中，是所在直线上一动点，射线与相交于点，与直线相交于点． (1)如图1，当点在边上时，如果点是的中点，连接． 求证：①； ②． (2)如图2，当点在BC的延长线上时，连接CM，作，交AE于点．求证：点是EF的中点； (3)若是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)见解析； (3)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】（1）先根据正方形的性质证，根据证即可；②根据全等三角形的性质和直角三角形的性质，证即可； （2）根据，证得，由证得， 通过证，得到，，再根据等角的余角相等证得，最后证得问题得证； （3）分情况讨论：当点在上或点在的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：①四边形是正方形 ， 又， ； ②， ， 是EF的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在正方形中，, , , ， ， ， . ， ， ， ， 在中， ， ， 点是EF的中点； （3）解：如图①，当点在BC边上时， ，要使是等腰三角形，必须， ， ， ， ， ， ； 如图②，当点在BC的延长线上时，同法可知， ． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确理解图形的性质及分类讨论思想是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【知识点】正方形性质理解、矩形性质理解 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质和矩形对角线平分相等性质的比较就可以判断． 【详解】解：根据题意得：正方形对角线相互垂直平分相等，矩形对角线平分相等性质， ∴正方形具有而矩形没有的性质是对角线互相垂直． 故选：D． 2．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，以正方形的边为一边，在正方形内部作等边，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，先证明为等腰三角形，等边对等角求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∵在正方形的内部， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）正方形和正方形如图摆放，边长分别为．若两个正方形的面积和为65，，则图中阴影部分面积和为（    ） A．15.5 B．16.6 C．31 D．33 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，数形结合是解题的关键． 结合图形可得，，结合，可得， ，最后根据利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】∵四边形，为正方形，且边长分别为． ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴， ∵，， ∴． 故选：B 4．（2025·广东中山·二模）如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、用HL证全等（HL）、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理得到，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质定理可判定①；根据直角三角形内角和定理可判定②；根据线段大小关系可判定③；运用勾股定理可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 如图所示，过点作于点， 平分交于点， ，且， ， ， ， ∴垂直平分， ，故①正确； ， ， ， ， 平分，故②正确； ， 与不垂直，故③不正确； 设则， ， ， 解得， ， ，故④正确； 综上，正确个数为3个， 选择：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 5．（2025·河北唐山·二模）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】正方形折叠问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质、折叠的性质等知识点，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解题的关键． 如图：连接，设直线与边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得且正方形的面积正方形的面积，从而用a分别表示出线段和线段的长即可求解． 【详解】解：如图：连接，设直线与边的交点为P， 由折叠可知点P、E、G、N四点共线，且， 设正方形的边长为，则，正方形的面积为， ∵若正方形与五边形的面积相等 ∴由折叠可知正方形的面积正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴． 故选A． 二、填空题 6．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数为 ． 【答案】67.5 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由正方形的性质得出，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质出，最后再由计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是一个正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·陕西西安·三模）七巧板是我国一款传统的益智玩具，历史超三千年，能够启迪智慧，陶冶情操．如图所示，七巧板是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．若正方形的边长为4，则5号小正方形的面积为 ． 【答案】2 【知识点】根据正方形的性质求面积、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，求得，再求得，即可解答，熟知正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，正方形的边长为， ，，， 为等腰直角三角形， 四边形为正方形， ， ，即5号小正方形的面积为2， 故答案为：2． 8．（2025·贵州黔东南·一模）边长为2的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了对折叠性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握对折的性质是解题的关键； 根据翻折的性质，及正方形的性质得，在证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是边长为2的正方形， ，， 以为折痕将翻折得， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，， M是的中点， ， ， 在中， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，两个边长均为的正方形、正方形有一部分堆叠在一起，恰为中点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积．连接，证明，得阴影部分的面积等于的面积，再由的面积与正方形的面积的关系求得结果． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形是正方形， ，，，， 为中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（辽宁省大连市金普新区2024-2025年八年级下学期期中数学试题　）如图，在边长为7的正方形中，连接，点E，F分别在，上，，垂足为点F，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】连接，过点F作于点H，由正方形的性质得，，则，证明和全等，设，进而利用三角形内角和定理及外角性质证明，则是等腰三角形，继而得，则，再证明是等腰直角三角形得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，过点F作于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为7，点F是的对角线的点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴设， 在中，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形的内部作等边，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （）根据等边三角形的性质得到，，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； （）根据正方形的性质得到，由（）得，，，则，然后由得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵是正方形的对角线， ∴， 由（）得，，， ∴， ∴． 12．（2025年安徽省滁州市九年级5月中考三模联考数学试题）如图，四边形是边长2的正方形，是等腰直角三角形，，E是边上一点，连接． （1）若时，则 （用含的式子表示） （2）当和的面积相等时， ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质等； （1）由等腰三角形的性质及正方形的性质得，即可求解； （2）过点F作交延长线于点G，由三角形面积，由可判定，由全等三角形的性质，，即可求解； 掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：（1）是等腰直角三角形， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ； 故答案为： （2）如图，过点F作交延长线于点G， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， 整理得：， 解得或（舍去）． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，，，根据旋转性质得到，，再根据勾股定理即可求解； （2）运用旋转变换，将绕点逆时针旋转，得到，再判定，进而得到，再根据，得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转后与重合，， ∴，， ∴， 在中，； （2）证明：如图，将绕A点逆时针旋转，得到， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”，如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（点不与点，重合），交于点 ，过点 作交于点． (1)试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由． (2)如图，连接，，求出的周长（用含的字母表示）． (3)当时，求证：点是的中点． 【答案】(1)四边形是“等补四边形”，理由见解析； (2)的周长为； (3)证明见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． （）连接，证明，则有，，由，则，所以，由，从而有，则，根据等边对等角和全等三角形的性质即可得出，从而判断； （）过作，交延长线于点，则，证明，，根据性质得出，则有的周长； （）过作，交延长线于点，则，证明，，则，设，则，，然后由勾股定理得，求出即可． 【详解】（1）解：四边形是“等补四边形”，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“等补四边形”； （2）解：过作，交延长线于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长； （3）解：如图，过作，交延长线于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点是的中点． 15．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为）． 操作发现： (1)如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为______． 类比探究： (2)若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点，．如图，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)是等边三角形．理由见解析． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积正方形的面积；当与垂直时，，重叠部分的面积正方形的面积；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为．利用全等三角形的性质证明即可； （2）结论：是等边三角形．证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，连接，，由题意得、、三点共线，、、三点共线， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴此时重叠部分的面积的面积正方形的面积， 如图，当与垂直时，，连接、， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可得， ∴ ∴重叠部分的面积正方形的面积； 一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为． 理由：如图，设交于点，交于点，过点作于点，于点．则， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 同上可得， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，． （2）解：如图中，结论：是等边三角形．理由： 过点作，连接、， ∵是正方形的中心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 16．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）【问题背景】正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质，已知正方形的边长是4，点是对角线上一点． و   （1）如图1，求证：； 【数学思考】 （2）①如图2，，，垂足分别为、，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②如图3，点是的中点，连接，，求的最小值为______； 【类比探究】 （3）如图4，已知菱形的边长为4，，对角线，相交于点，点是上的动点，点是上的动点，连接，，求的最小值． 【答案】（1）见解析（2）①，证明见解析②（3）3 【知识点】利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得证； （2）①由（1）可知：，证明四边形为矩形，得到，等量代换即可得出结论； ②根据，得到的最小值为的长，勾股定理求出的长即可； （3）作点关于的对称点，连接，过点作，得到，进而得到，推出当三点共线时，的值最小为的长，根据垂线段最短，得到当时，最小，即点与点重合，利用菱形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）①，证明如下： 连接，由（1）知：，    ∵正方形， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； ②连接，    ∵， ∴， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； （3）作点关于的对称点，连接，过点作，      则：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 又∵为上的动点， ∴当时，最小，即点与点重合， ∵菱形的边长为4，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，利用轴对称解决线段最短问题，菱形的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握相关性质，利用将军饮马模型和垂线段最短解决线段和最小问题，是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 正方形的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 ：正方形的定义 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点02 ：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【题型1 正方形性质的理解】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（   ）． A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 【变式训练】 1．（2025·江苏无锡·一模）下列结论中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．邻边相等 C．对角线相等 D．面积等于对角线乘积的一半 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（   ） A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分 C．是中心对称图形 D．有条对称轴 3．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）下列性质中正方形具有而菱形没有的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角 【题型2 根据正方形的性质求角度】 例题：（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，以正方形的对角线为边作菱形，则 ． 3．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接、、，交于点，则的度数为 ． 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 例题：（2025·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线，分别在轴和轴上，点的坐标为．则线段的长是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，连接，则的最小值为 ． 2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）以正方形中为斜边，构造等腰，，，连接，，则线段的长度为 ． 【题型4 根据正方形的性质求面积】 例题：（2025·北京朝阳·二模）如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ． 【变式训练】 1．（2025·湖北·二模）如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是和，则的值是 ． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为 ． 3．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为 ． 【题型5 求正方形重叠部分面积】 例题：（2024九年级上·山东·专题练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ． 3．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 （用n的代数式表示）． 【题型6 正方形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2025·河南·一模）如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则 ． 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，将沿对折至，延长交边于点G，连接．若，则正方形的边长是 ． 3．（2025·河南南阳·二模）如图，正方形中，点P为射线上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，射线交直线于点M，若，当时，的长为 ． 【题型7 根据正方形的性质证明】 例题：（2025·江苏苏州·二模）如图，点是正方形的边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边的延长线上． (1)求证：； (2)连接、交于点，若，则的度数为___________． 【变式训练】 1．（2025·江苏苏州·二模）已知：如图，四边形为正方形，点在的延长线上，连接， (1)求证：； (2)若，若，求． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期中）已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的长度； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，请直接写出的长度． 3．（24-25八年级下·山东聊城·期中）在正方形中，是所在直线上一动点，射线与相交于点，与直线相交于点． (1)如图1，当点在边上时，如果点是的中点，连接． 求证：①； ②． (2)如图2，当点在BC的延长线上时，连接CM，作，交AE于点．求证：点是EF的中点； (3)若是等腰三角形，求的度数． 一、单选题 1．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，以正方形的边为一边，在正方形内部作等边，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）正方形和正方形如图摆放，边长分别为．若两个正方形的面积和为65，，则图中阴影部分面积和为（    ） A．15.5 B．16.6 C．31 D．33 4．（2025·广东中山·二模）如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 5．（2025·河北唐山·二模）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数为 ． 7．（2025·陕西西安·三模）七巧板是我国一款传统的益智玩具，历史超三千年，能够启迪智慧，陶冶情操．如图所示，七巧板是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．若正方形的边长为4，则5号小正方形的面积为 ． 8．（2025·贵州黔东南·一模）边长为2的正方形中，是的中点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于，则的长是 ． 9．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，两个边长均为的正方形、正方形有一部分堆叠在一起，恰为中点，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（辽宁省大连市金普新区2024-2025年八年级下学期期中数学试题　）如图，在边长为7的正方形中，连接，点E，F分别在，上，，垂足为点F，，则的长为 ． 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形的内部作等边，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 12．（2025年安徽省滁州市九年级5月中考三模联考数学试题）如图，四边形是边长2的正方形，是等腰直角三角形，，E是边上一点，连接． （1）若时，则 （用含的式子表示） （2）当和的面积相等时， ． 13．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 14．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”，如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（点不与点，重合），交于点 ，过点 作交于点． (1)试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由． (2)如图，连接，，求出的周长（用含的字母表示）． (3)当时，求证：点是的中点． 15．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为）． 操作发现： (1)如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为______． 类比探究： (2)若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点，．如图，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由． 16．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）【问题背景】正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质，已知正方形的边长是4，点是对角线上一点． و   （1）如图1，求证：； 【数学思考】 （2）①如图2，，，垂足分别为、，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②如图3，点是的中点，连接，，求的最小值为______； 【类比探究】 （3）如图4，已知菱形的边长为4，，对角线，相交于点，点是上的动点，点是上的动点，连接，，求的最小值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$