精品解析：江苏省常州市武进区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024~2025学年度第二学期阶段性质量调研 八年级数学试题 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 拔苗助长 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 旭日东升 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、“拔苗助长“是不可能事件，不符合题意； B、“守株待兔“是随机事件，不符合题意； C、“水中捞月”是不可能事件，不符合题意； D、“旭日东升“是必然事件，符合题意； 故选：D． 2. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了频数与频率，根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率． 【详解】解：根据题意得第5组的频数为：， 则第5组的频率为， 故选：B． 3. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定和矩形的性质依次判断可求解． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意； B、矩形的对角线相等，故B选项不符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，故C选项符合题意； D、两组对边平行的四边形是平行四边形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握这些判定和性质是本题的关键． 5. 如图，在平行四边形中，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：平行四边形， ，， ， ，即， ， ． 故选：D． 6. 如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分即可求解． 【详解】解：矩形， ，， ， ． 故选：C． 7. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A 8. 如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得5．在中，由勾股定理得，，则，即可解答． 【详解】解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， ∴． 故选A． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 为了解某市八年级学生的身高情况，在该市名八年级学生中随机抽取名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了样本容量，样本容量是指从总体中随机抽取的样本所包含的个体数量， 根据样本容量的定义进行解答即可． 【详解】解：在该市名八年级学生中随机抽取名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是. 故答案为： ． 10. 为保证神舟十九号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，适宜采用_______调查．（选填“全面”或“抽样”） 【答案】全面 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此解答即可． 【详解】解：为保证载人飞船成功发射，对各零部件进行检查，适宜采用全面调查． 故答案为：全面． 11. 在中，的度数比大，则的大小为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，得到菱形的周长． 【详解】解：菱形， ，，， ， ， 菱形的周长． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，平分交边于，则长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，角平分线的定义，得出，再求出，进而根据和差即可得出答案． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 14. 如图，菱形中，于点H，且与交于G，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质，结合勾股定理求出的值，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 15. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，为边中点，已知，则的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，进而得出 是三角形的中位线，即可得出答案． 【详解】在平行四边形 中，， 点 是 的中点， 是三角形的中位线， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键． 16. 如图，在直角中，，，将点A绕点C顺时针旋转至D点，连接，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，旋转的性质，掌握证明三角形全等，得出边的长度是解题的关键．根据题意，过点作交延长线于，证明，则有，由此即可求解． 【详解】解：将点A绕点C顺时针旋转至D点， ∴，， 过点作交延长线于，如图所示， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质、垂线段最短的性质，判断出时，线段的值最小，是解题的关键． 利用勾股定理得出，由矩形的判定可得四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， ， ， ， ． 三、作图题（8分） 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都是格点． （1）将绕点逆时针旋转得到； （2）作关于点成中心对称的； （3）四边形的面积为________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2） 如图所示，即为所求： （3）8 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形、画中心对称图形、平行四边形的性质与判定，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）根据中心对称的性质证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 由中心对称的性质可得，，， 四边形是平行四边形， 平行四边形的面积为． 故答案为：8． 四、解答题（共56分） 19. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出DE=BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决问题的关键． 20. 如图，在菱形中，，分别是边，上的点，且，连接、相交于点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：菱形， ， ， ，即， 在和中 ， ， ． （2） 证明：由（1）得，， ， 菱形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用菱形的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，再利用菱形的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵点M是AD边的中点， ∴AM=DM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥CD， 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SSS）， ∴∠A=∠D， ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D=180°， ∴∠A=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形； （2） AD与AB之间的数量关系：AD=2AB，理由如下： ∵△BCM是直角三角形，BM=CM， ∴△BCM是等腰直角三角形， ∴∠MBC=45°， 由（1）得：四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A=90°， ∴∠AMB=∠MBC=45°， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴AB=AM， ∵点M是AD边的中点， ∴AD=2AM， ∴AD=2AB． 【解析】 【分析】（1）由SSS证明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行线的性质得出∠A+∠D=180°，证出∠A=90°，即可得出结论； （2）先证明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=45°，再证明△ABM是等腰直角三角形，得出AB=AM，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM≌△DCM是解题的关键． 22. 如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． （1）求证：． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质等； （1）根据等腰三角形的“三线合一”可知，结合已知可推出为的中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点， 为的中位线， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是边上的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴． 23. 如图，在矩形中，，． （1）请用尺规在图上作菱形，使得点在边上，点在边上（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）求出（1）中所作的菱形的边长． 【答案】（1） 四边形即为所求： （2）菱形的边长为4.1 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解答本题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线交边于E，交边于F，连接，即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理关键方程求出x的值即可． 【小问1详解】 解：理由：由作图知：垂直平分， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在矩形中，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴菱形的边长为． 24. 如图，是正方形对角线上的一点，且，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2） 证明：连接 在和中 ∴    ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由正方形得到，，然后根据互余关系以及等腰三角形的判定与性质即可求证； （2）连接，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形．如图①，已知四边形，，规定像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是________． 【性质探究】 （2）性质1：请猜想两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想； 【问题解决】 （3）如图②，分别以直角的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，已知，，求． 【答案】（1）菱形、正方形 （2） 解：，证明如下： ， ， ，，，， ，， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定，理解“垂美四边形”的定义是解题的关键． （1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出答案； （2）由题意得，再利用勾股定理即可证明； （3）连接和交于点，设和交于点，利用勾股定理求出，利用正方形的性质得到，，，，，通过证明得到，进而推出，结合（2）中的结论可得，代入数据即可求出． 【小问1详解】 解：菱形、正方形的两条对角线互相垂直，平行四边形、矩形的两条对角线不一定互相垂直， 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是菱形、正方形． 故答案为：菱形、正方形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接和交于点，设和交于点， ，，， ， 正方形和正方形， ，，，，， ，即， ， ， ，， ， ，即， 四边形是“垂美四边形” 由（2）中的结论得，， ， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期阶段性质量调研 八年级数学试题 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 拔苗助长 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 旭日东升 2. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 5. 如图，在平行四边形中，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 8. 如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 为了解某市八年级学生的身高情况，在该市名八年级学生中随机抽取名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是________． 10. 为保证神舟十九号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，适宜采用_______调查．（选填“全面”或“抽样”） 11. 在中，的度数比大，则的大小为________°． 12. 如图，在菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是________． 13. 如图，在中，，，平分交边于，则长为________． 14. 如图，菱形中，于点H，且与交于G，则______． 15. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，为边中点，已知，则的长为_________． 16. 如图，在直角中，，，将点A绕点C顺时针旋转至D点，连接，则的面积为________． 17. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为________． 三、作图题（8分） 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都是格点． （1）将绕点逆时针旋转得到； （2）作关于点成中心对称的； （3）四边形的面积为________． 四、解答题（共56分） 19. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 20. 如图，在菱形中，，分别是边，上的点，且，连接、相交于点．求证： （1）； （2）． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系． 22. 如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． （1）求证：． （2）若，，求的面积． 23. 如图，在矩形中，，． （1）请用尺规在图上作菱形，使得点在边上，点在边上（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）求出（1）中所作的菱形的边长． 24. 如图，是正方形对角线上的一点，且，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 25. 小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形．如图①，已知四边形，，规定像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是________． 【性质探究】 （2）性质1：请猜想两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想； 【问题解决】 （3）如图②，分别以直角的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，已知，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $