第03讲 等式与不等式的性质（复习课件）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 讲师：xxx 等式与不等式的性质 等式与不等式的性质 1 01 考情解码·命题预警 智能导览·极速定位 02 体系构建·思维可视 03 核心突破·靶向攻坚 知能解码 知识点1 两个实数大小的比较 知识点2 不等式的性质 题型破译 题型1 作差法、作商法比较两数（式）的 大小 题型2 利用不等式的性质判断命题真假 题型3 利用不等式的性质证明不等式 题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 题型5 不等式的综合 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考情透视·目标导航 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）理解用作差法比较两个实数大小的理论依据 （2）理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 单选题 多选题 填空题 解答题 全国2卷T2，5分 上海卷T2，4分 上海卷T19，14分 全国甲卷T23，10分上海卷T3，4分 上海卷T13，4分 全国甲卷T23，10分全国乙卷T23，10分上海卷T1，4分 4 考情透视·目标导航 考情分析 近三年考情显示，高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具。其重要性体现在：作为数学逻辑的基础支撑，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据；同时，其应用能力直接影响考生对复杂问题的转化与分析能力，成为高考数学考查逻辑思维与运算素养的关键载体。因此，掌握不等式性质不仅是应对单一题型的需要，更是提升整体数学能力的必备基础。 复习目标 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系 3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围 5 02 体系构建·思维可视 知识导图·思维引航 03 核心突破·靶向攻坚 ——知能解码 作差法： 如果a-b是正数,那么_______;如果a-b等于零,那么_______;如果a-b是负数,那么_______.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:a>ba-b>0,a=b a-b=0,a<b a-b<0. 作商法： 任意两个值为_______的代数式a、b，可以作商a÷b后比较与_______的关系，进一步比较a与b的大小 则有>1 ;<1 _______;=1 a>b a=b a<b a>b a<b a=b 正 1 题型破译 知能解码 知识点1 两个实数大小的比较 【自主检测】 题型破译 知能解码 知识点1 两个实数大小的比较 题型破译 知能解码 知识点2 不等式的性质 【自主检测】 题型破译 知能解码 知识点2 不等式的性质 03 核心突破·靶向攻坚 ——题型破译 题型破译 知能解码 题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小 AB 题型破译 知能解码 题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小 题型破译 知能解码 题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小 > 题型破译 知能解码 题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小 D 题型破译 知能解码 题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小 题型破译 知能解码 题型2 利用不等式的性质判断命题真假 题型破译 知能解码 题型2 利用不等式的性质判断命题真假 D 题型破译 知能解码 利用不等式判断正误的方法 方法技巧 一 直接法： 二 特殊值法： 注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件：二是取值要简单，便于验证计算：三是所取的值要有代表性. 对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明：对于说法错误的只需举出一个反例即可. 方法技巧 题型破译 知能解码 题型2 利用不等式的性质判断命题真假 D 题型破译 知能解码 题型2 利用不等式的性质判断命题真假 ACD 题型破译 知能解码 题型2 利用不等式的性质判断命题真假 B 题型破译 知能解码 题型3 利用不等式的性质证明不等式 题型破译 知能解码 题型3 利用不等式的性质证明不等式 题型破译 知能解码 题型3 利用不等式的性质证明不等式 题型破译 知能解码 题型3 利用不等式的性质证明不等式 题型破译 知能解码 题型3 利用不等式的性质证明不等式 题型破译 知能解码 题型3 利用不等式的性质证明不等式 题型破译 知能解码 题型3 利用不等式的性质证明不等式 题型破译 知能解码 题型3 利用不等式的性质证明不等式 题型破译 知能解码 题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【详解】 题型破译 知能解码 题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意： 易错分析 利用同向相加求范围出错 ①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同； ②尽可能多的使用等式 D 题型破译 知能解码 题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 题型破译 知能解码 题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 题型破译 知能解码 题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 题型破译 知能解码 题型4 不等式综合 A 题型破译 知能解码 题型5 不等式综合 C 题型破译 知能解码 题型5 不等式综合 题型破译 知能解码 题型5 不等式综合 题型破译 知能解码 题型5 不等式综合 题型破译 知能解码 题型5 不等式综合 04 真题溯源·考向感知 真题溯源·考向感知 45 真题溯源·考向感知 C 46 真题溯源·考向感知 BC 47 05 课本典例·高考素材 课本典例·高考素材 B 49 课本典例·高考素材 > < < < 50 课本典例·高考素材 51 课本典例·高考素材 52 讲师：xxx 感谢观看 THANK YOU 53 【详解】 因为,所以 ,,, 所以 ,所以 . 已知 ,，设 ,，则与 的大小关系为______. 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 对于A选项，若，，则； 对于C选项，若且，则 ，即； 对于D选项，若，取，，， 则，，此时. 对于B选项，若，， 则，； （多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 【详解】,故； ,因,,故,即. 【例1-1】（多选）设,,,则,,的大小关系是( ) A. B. C. D. 【例1-2】比较与的大小并证明. 【详解】, 理由如下: 当 时等号成立, 所以 . 【变式1-1】设,,则___(填“>”或“<”). 【详解】,故. 【变式1-2】已知克糖水中含克糖(),再添克糖(),糖水变甜,用不等式表示为( ) A. B. C. D. 证明：,因,. 【变式1-3】若,,则与的大小关系是_______. 作商法：； 作差法：. 【详解】 因为 ，则 ，故 【详解】 若 ，则 ，由不等式的性质可得 若 ，由不等式的性质可得 【例2-1】下列说法正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【详解】举例：,时,但； ,时,但. 【例2-2】“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 因为，则，则，B正确； 因为，则，，则，C正确； 取，，，所以，D错误； 因为，则，则，A正确； 【变式2-1】变式若,下列不等式错误的是( ) A. B. C. D. 对于A，由，得，A正确； 对于B，取，满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，，则，C正确； 对于D， ，D正确. 【变式2-2】(多选)下列选项正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 A项,若,,此时,但不满足,故A项错误; B项,可由推导出,故是的必要条件,故B项正确; C项,若,,此时,但不满足,故C项错误; D项,若,,此时,但是不满足,故D项错误. 【变式2-3】下列说法中正确的是( ) A.“”是“”的充分条件 B.“”是“”的必要条件 C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的必要条件 【例3-1】若,,求证：. 【详解】 由,得,又,故, 因此,即, 又,故. 【例3-2】 已知 ,. (1) 求证：; 【详解】 (1) 由 ,则 ,故 , 由 ,则 ,故 , 所以 ,得证. (2) 由,而 , 所以 ,即 ,得证. (2) 求证：. 【变式 3-1 】已知 ,,求证 . 【详解】 因为 ,所以 ,又因为 ,所以 , 所以 ,所以 ,所以 , 所以 . 【变式 3-2 】设, 求证 【详解】 由 因为 , 可得 ,, , 所以 , 即 , 所以 . 【变式 3-3 】 (1) 设 ,求证：, 【详解】 (1) 方法一：, , , . 【变式 3-3 】 (1) 设 ,求证：, 方法二：, , , . (2) 设 ,求证： (2) , , , , , . 【例4-1】已知,,则的取值范围是______； 若,,则的取值范围是______. 若,则,而,所以有. 设,则解得若,,则有,, 所以,即. 易错警示：题中的第二空易错误的 利用如下解法：先由条件得出, 的范围,再由此得出的范围, 即得出∈(-,)的错误 结果(其取值范围扩大了). 【例4-2】已知,,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【详解】 , , 两式相减得,故. 【变式4-1】若,,则的取值范围是______. 【详解】,,相加得. 【变式4-2】已知 ,,,则的取值范围是________. 【详解】令,则,即P=+3×=. 由,即,可得,则. 【变式4-3】已知,. (1)求,的取值范围； (2)求,的取值范围. 【详解】(1)因为, 所以,,所以. 又因为,所以, (2)由题意得,则,得, 又因为,则,得. 【例5-1】(2025.云南昆明.一模)已知,,,则( ) A. B. C. D. 【详解】由,且可得,即. 则.又,即,化简可得,即, 【例5-2】已知,,若,,则( ) A. B. C. D. 【详解】因 .若,且,,,可得,即.若,且,则,,可得,即.若,则,即.综上可知,对于,,都有. 【变式5-1】设,为实数,满足.,,则的最大值是______. 【详解】由题设,,则,所以的最大值是. 【变式5-2】(2024-河北邯郸.模拟预测)已知正数,,满足或,记(为,,中最大者),则的最小值为____. 【答案】 【详解】若,由,可得,所以,即. 若,则有,所以,即. 【变式5-3】(1)已知,且,请证明：. 【详解】(1)证明：若,则,,不合题意,. 要证,只需证,因为,两边同时除以负数需变号,只需证,即,只需证,只需证,显然成立,原式成立. (2)已知,,且,请证明：与至少有一个大于. (2)假设,则,两式相加得,即,,与矛盾,假设不成立,与至少有一个大于. 【答案】,, 【详解】,,矛盾,所以-1,-2,-3可验证该命题是假命题. 【1】(2017.北京.高考真题)能够说明“设,,是任意实数,若,则”是假命题的一组整数,,的值依次为. A. B. C. D. 【详解】取,,满足,,知A错,排除A；因为,知B错,排除B；取,,满足,,知D错,排除D；因为幂函数是增函数,,所以,故选C. 【2】(2019.全国II卷.高考真题)若,则( ) .,当,时满足,但是不成立,D错误. 【详解】因为,由可变形为,,解得,当且仅当时,,当且仅当时,,所以A错误,B正确； 由可变形为,解得,当且仅当时取等号,所以C正确；因为变形可得,设,,所以,,因此 A. B. C. D. 【3】(2022.新高考全国Ⅱ卷.高考真题)(多选)若,满足,则( ) 【详解】 对于A.当时,显然不成立,故A错误； 对于B,由,利用不等式的性质易得,故B正确； 对于C,当时,取,,则,故C错误； 对于D,当时,,由不等式的性质,可得,故D错误. 【1】下列命题为真命题的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 (1)如果,,那么______； (2)如果,,那么______； (3)如果,那么______； (4)如果,那么______. (1),,,. (2),,,,. (3),,,,,. (4),所以,,于是,,即,. 【2】用不等号“>”或“<”填空： (1)与； (2)与； 【详解】 (1)因为,所以. (2)因为,所以. 【3】比较下列各组中两个代数式的大小： (3)因为,所以当时,. (4)因为,所以. (3)当时,与； (4)与. 【3】比较下列各组中两个代数式的大小： 【详解】 $$