1.2一定是直角三角形吗（分层作业）数学北师大版2024八年级上册

1.2 一定是直角三角形吗 2大知识点（基础）+能力提升练（7道）+拓展培优练（3道） 一、勾股数问题 1．能够成为直角三角形三条边长的正整数，我们称为“勾股数”，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．9，40，41 2．下列几组数是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．1，， 3．下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．5，12，13 B．20，21，29 C．7，24，25 D．8，11，15 4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 6．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 二、利用勾股定理逆定理求解 1．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 2．如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 3．如图，在四边形中，时，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 4．如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 1．五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，，将沿直线向右平移3个单位长度得到，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是27；④点A到直线的距离是．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 3．如图，在中，，，，是边上的一点．连接，作，则的最小值是 ． 4．如图，已知，，，，．求图中阴影部分的面积． 5．将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 6．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵，∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴ ① ．（填“>”或“<”） ∵， ∴． ∵= ② = ③ ，= ④ ， ∴， ∴，，为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，为勾股数，且，求的值． 7．观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ； 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 1．年是“全运年”，第十五届全运会将于年月日日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 2．如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41，⑤11， ， ； 当a为偶数时，如①16，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37，⑤14， ， ； (2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数n，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数，请你补充完整的猜想并验证这一猜想是否正确． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 一定是直角三角形吗 2大知识点（基础）+能力提升练（7道）+拓展培优练（3道） 一、勾股数问题 1．能够成为直角三角形三条边长的正整数，我们称为“勾股数”，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握掌握勾股数的判断方法． 先找出最大的数，若较小的两个数的平方和等于最大的数的平方，则这组数为“勾股数”，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，是“勾股数”， ∴选项符合题意； 故选：D． 2．下列几组数是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．1，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、，错误，不是勾股数，不符合题意； B、，正确，是勾股数，符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； D、，不是正整数，错误，不是勾股数，不符合题意 故选：B． 3．下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．5，12，13 B．20，21，29 C．7，24，25 D．8，11，15 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理的应用． 利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项三边长能构成直角三角形，故不符合题意； B. ，该选项三边长能构成直角三角形，故不符合题意； C. ，该选项三边长能构成直角三角形，故不符合题意； D. ，该选项三边长不能构成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 5．勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股数，分、、三种情况，根据勾股数的概念判断即可，熟练掌握勾股数的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，， 则， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，，则， ∴， 此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述：对应的数为或， 故答案为：（答案不唯一）． 6．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)，或，． 【分析】本题考查了勾股数及其应用． （1）根据解题过程，结合上下文即可完成； （2）分三种情况：；；，分别求出n，由（1）中结论即可求出余下两个数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴为勾股数． ①；②；③；④． （2）解：分三种情况： ①若，则， ， ； ②若，则， ， ； ③若，则不是有理数，故舍去． 综上所述，，或，． 二、利用勾股定理逆定理求解 1．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，连接，由勾股定理可得，再证明得到，再由，列式计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， 为直角三角形， ，， ∴根据勾股定理得：， 又，， ，， ． 为直角三角形， ， ∴． 2．如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的长为 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），根据勾股定理计算即可； 对于（2），先说明是直角三角形，再根据阴影部分的面积等于计算即可. 【详解】（1）解：，，，．即的长为； （2）解：，，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为． 3．如图，在四边形中，时，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)33 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，三角形面积，利用勾股定理的逆定理证明是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出，得到，再结合勾股定理逆定理，推出，即可解题； （2）根据三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：连接，在Rt中，， 根据勾股定理，得， ， ， 为直角三角形， 即， 则； （2）解：根据题意，得． 4．如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 【答案】7200元 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此得四边形由和构成，即可求解． 【详解】解：连接， 在 中，， 在中，，且， 即， ， ， ， 所以需费用（元）． 1．五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【详解】解：，，，，， ，， 以，，三根木棒能摆成直角三角形，以，，三根木棒能摆成直角三角形， 故选：C 2．如图，在中，，，，，将沿直线向右平移3个单位长度得到，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是27；④点A到直线的距离是．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【答案】①② 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟记平移的性质（对应边相等且平行，对应角相等）是解题的关键． 由平移的性质①②正确；由平移得到，，求出四边形周长可判断③；延长，交于点G，过点B作于点H，利用面积公式求出，得出的长度，由此可判断④． 【详解】解：∵将沿直线向右平移3个单位长度得到， ∴，，，故①正确； ∴，故②正确； ∵将沿直线向右平移3个单位长度得到， ∴，， ∵，，， ∴四边形的周长，故③错误； 如图：延长，交于点G，过点B作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A到直线的距离是，故④错误； 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 3．如图，在中，，，，是边上的一点．连接，作，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查的是轴对称，熟练掌握轴对称性质，面积法求三角形高，作出轴对称图形，是解答此题的关键． 作点A关于直线的对称点F，连接， ，A、C、F三点共线，根据，当E、D、F三点共线时，的最小值为，根据，即得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴, 作点A关于直线的对称点F，连接， 则， ∴， ∴A、C、F三点共线， ∵， ∴当E、D、F三点共线时， 的值最小， 最小值为， ∵， ∴． 故答案为：9.6． 4．如图，已知，，，，．求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，再根据即可得出结论． 【详解】解：在中， ∵， ∴． 在中， ∵． ∴为直角三角形． ∴． 5．将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 【答案】(1) (2)不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由见解析 (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股数问题，勾股定理的逆定理，正确理解题意是解题的关键。 （1）观察表格可知，（，且为整数），据此根据b的值求出m的值，进而求出a的值即可； （2）分别令的值等于71，看m是否有大于等于2的正整数解即可； （3）根据可知若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形，据此可得结论． 【详解】（1）解：观察表格可知，（，且为整数）， ∴当时，则， ∴， ∴； （2）解：不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由如下： 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 综上所述，不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71； （3）解：以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下： 对于一组数：，，（，且为整数）．       ∵ ∴若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形． ∵当，且为整数时，表示任意一个大于2的偶数，，均为正整数， ∴以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数． 6．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵，∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴ ① ．（填“>”或“<”） ∵， ∴． ∵= ② = ③ ，= ④ ， ∴， ∴，，为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，为勾股数，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题主要考查了勾股数，完全平方公式，不等式的性质，一元二次方程等知识点，解题的关键是读懂题意掌握勾股数公式的推导过程． （1）利用不等式的性质和完全平方公式逐步进行计算即可； （2）根据三个数的大小关系分三种情况进行讨论，然后利用勾股数公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴①处填； ∵ ∴②处填，③处填； ∵， ∴④处填， 故答案为：，，，． （2）解：根据勾股数的定义可得， 当时，， 解得， 则； 当时，， 解得，（负值舍去） 则； 当时，， 解得，不符合题意，该种情况不成立； 所以，或． 7．观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ； 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查找规律，涉及勾股数，根据题中所给等式的结构特征找准规律即可，熟练掌握寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）由题中所给等式的结构特征即可得到答案； （2）根据题中所给等式的结构特征即可得到答案； （3）由（2）中找到的规律，结合题意可得这个直角三角形的直角边，从而结合规律得到直角三角形的另一条直角边，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）补充上述表格，， 故答案为：； （2）用含（ 为正整数，且 ）的等式表示上述规律：， 故答案为：； （3）由（2）中规律， 则存在以、为直角边，为斜边的直角三角形， 当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得，解得， 直角三角形的另一个直角边是， 则这个直角三角形的面积为． 1．年是“全运年”，第十五届全运会将于年月日日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】(1)，见解析； (2)小亮跑的路线更短． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解； （2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解； 【详解】（1）解：． 理由如下： 由题意可知，，点在点的正东方处， 即． ， 是直角三角形，． ； （2）解：由题意可知，． 在中，由勾股定理，得 ．BD=130（m） ． 而． ， ． 小亮跑的路线更短． 2．如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时， 是直角三角形，理由见解析； (3)当或时，是以为腰的等腰三角形 【分析】（1）由题意得，，根据中线的定义即可求解； （2）由勾股定理求出的值，根据勾股定理逆定理即可证得结论； （3）分类讨论：①当，②，根据题意和勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是的中线 ∴ 解得 即时，是的中线； （2）解：当时，是直角三角形， 理由如下： 当时，， ∴ 在中，， 在中，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （3）解：存在， ①当时 ∵， ∴， 由知； ②时， 在中，， ∵ ∴ 解得： ， 综上所述： 或． 当或时，是以为腰的等腰三角形 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，中线定义，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41，⑤11， ， ； 当a为偶数时，如①16，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37，⑤14， ， ； (2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数n，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数，请你补充完整的猜想并验证这一猜想是否正确． 【答案】(1)60，61；48，50 (2) 【分析】本题考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据所提供的几组勾股数找出规律，难度不大． （1）根据所提供的几组勾股数的规律即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第（5）组勾股数： 当为奇数时，如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；（5）11，60，61； 当为偶数时，如17，8，10；（2）8，15，17；（3）10，24，26；（4）12，35，37；（5）14，48，50； 故答案为：60，61；48，50； （2）猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为，则这三个数为勾股数． 证明： 又∵n为奇数， ∴为整数， ∴这三个数为勾股数． 故答案为：． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$