精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高二下学期5月自主评估测试数学试卷

高二5月自主评估测试 数学试卷 一、单选题 1. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（ ） A. B. C. D. 2. 在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 3. 一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ） A. 二项分布，且 B. 两点分布，且 C. 超几何分布，且 D. 超几何分布，且 4. 已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ） A. 在上单调递增 B. 有极大值 C. 有3个极值点 D. 在处取得最大值 5. 某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ） A. 60种 B. 54种 C. 48种 D. 36种 6. 已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，则下列说法正确的是（ ） A. 存在 B. 对任意 C. 存在 D. 对任意 7. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好 10. 已知，则（ ） A. 的值为 B. 的值为160 C. 的值为 D. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 三、填空题 12. 骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最大值为4”，事件“两次点数的最小值为1”，则________. 13. 设函数，若恒成立，则的最小值为______． 14. 已知正四棱锥的各棱长均为2，点E是棱SB的中点，动点P满足，则的最小值为_________． 四、解答题 15. 在二项展开式中， （1）若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； （2）若第5项系数是第3项系数10倍，求n的值. 16. 已知z，y之间的一组数据如下表： x 1 3 6 7 8 y 1 2 3 4 5 （1）从x ,y中各取一个数，求x+y≥10的概率； （2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，试利用“最小平方法（也称最小二乘法）”判断哪条直线拟合程度更好． 17. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）讨论函数的极值； （2）当时，若，（其中）满足，求证：. 18. 如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial  Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联? 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的概率分布列和数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二5月自主评估测试 数学试卷 一、单选题 1. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算求解. 【详解】, 故选：C. 2. 在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，求平面的法向量，再求向量在法向量上的投影向量的大小即可得结论. 【详解】设平面的法向量为， 则，又，， 所以， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 又， 所以向量在法向量上的投影向量的大小为， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 3. 一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ） A. 二项分布，且 B. 两点分布，且 C. 超几何分布，且 D. 超几何分布，且 【答案】C 【解析】 【分析】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解. 【详解】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以. 故选：C 4. 已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ） A. 在上单调递增 B. 有极大值 C. 有3个极值点 D. 在处取得最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定单调区间、极值情况，即可判断各项的正误. 【详解】由题图知，在上，则在上单调递减， 在上，则在上单调递增， 所以在上不单调，为极小值，且共有3个极值点，处不是最大值. 故选：C 5. 某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ） A. 60种 B. 54种 C. 48种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】分选派2名快递员和选派3名快递员两种情况讨论. 【详解】第一：选派2名快递员的时候： 首先，快递员的选法有种不同选法，其中一名快递员从四个区域中选2个区域，有种选法，剩余快递员的选法只有1种， 所以不同安排方案有：种； 第二：选派3名快递员的时候： 先从四个区域中选2个区域，有种选法，将其看做一个区域，现在3个区域安排给三个人有种方法， 所以不同安排方案有：种. 综上，不同安排方案有：种. 故选：B 6. 已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，则下列说法正确的是（ ） A. 存在 B. 对任意 C. 存在 D. 对任意 【答案】D 【解析】 【分析】对于A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对于C：先求，利用作差法比较大小；对于D：换元令，结合二次函数求的取值范围. 【详解】由题意可得：，且，即， 对A、B：由题意可得：， ∵开口向下，对称轴，， 则，故，即， 不存在，，A错误； 例如，则，即存在，，，B错误； 对C：， 则， 故对任意，，则，C错误； 对D：令， 则图象开口向下，对称轴，且， 故，即， 对任意，，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据题意得到，， 7. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 8. 已知函数 恰有2个零点，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同构将函数进行化简，在利用单调性与交点个数转化成切线处理问题. 【详解】令f(x)=0，得 即 令 则 (1-e)t-1=0， 令 则 令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增； 令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1. 当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点. 令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意. 当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切. 如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为 则相应切线方程为 如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为 则 综上 故选：D. 二、多选题 9. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项分布的均值和方差公式列式计算判断A，根据方差的含义判断B，根据正态分布的对称性求解概率判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】A选项：，，，正确； B选项：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，错误； C选项：随机变量服从正态分布，则， 若，则，则，错误； D选项：对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好，正确. 故选：AD 10. 已知，则（ ） A. 的值为 B. 的值为160 C. 的值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，即可判断A；利用二项式展开得通项，结合乘法得分配律即可判断B；分别令和即可判断C；令即可判断D. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，令，则， 令，则， 则 ，故C正确； 对于D，令，则， 即，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 【答案】ABD 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，对于A，根据等体积转化，可证明体积为定值；对于B，取、中点、，连接、、、，证明平面平面，则点的轨迹为线段；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出、即可判断；对于D，利用线面角的向量公式，得到点的轨迹方程，即可判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为， 对于A选项，， 三棱锥的体积， 点到平面距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于B选项，取、中点，连接、、、， 由且，知是平行四边形，所以， 因为平面，平面，平面， 同理可得平面， 因为，、平面，所以平面平面， 又平面，则平面，而Q在平面上， 且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确； 对于C选项，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 若平面，则，即存在，使得，则， 解得，故不存在点使得平面，故C选项错误； 对于D选项，平面的一个法向量为，， 若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是， 所以，所以， 因为点为正方形内一动点（含边界）， 所以点是以为圆心，为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 三、填空题 12. 骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最大值为4”，事件“两次点数的最小值为1”，则________. 【答案】 【解析】 【分析】列举出事件包含的情况数，得到，，由条件概率求解公式得到答案. 【详解】事件包含，，，，，，，共7种情况，即， 在事件中只有和满足“两次点数的最小值为1”，故， 故. 故答案为： 13. 设函数，若恒成立，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由恒成立，得与同正或同负，从而得，所以，令，求的最小值即可. 【详解】令，则，令，则， 当时，恒成立，此时不符合恒成立； 当时，令，则，因为恒成立， 所以，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：2 14. 已知正四棱锥的各棱长均为2，点E是棱SB的中点，动点P满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别取的中点，可证平面，进而分析可知点关于平面的对称点为点，根据对称性结合几何性质运算求解. 【详解】分别取的中点，连接，设， 因为为等边三角形，则， 且，平面，则平面， 可知点平面， 又因为分别为的中点，则∥，且点为的中点， 可得平面，即点关于平面的对称点为点， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 在的二项展开式中， （1）若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； （2）若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得展开式的通项，根据题意列出方程，即可求解； （2）求得展开式的通项，根据题意，得到方程，结合组合数的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得展开式的通项， 令，可得，令，可得， 因为第3项与第6项相等，可得，解得. 【小问2详解】 解：由二项式展开式的通项， 可展开式中第5项的系数为，第3项的系数为， 因为第5项系数是第3项系数的10倍，可得， 即，即， 可得，解得或（舍去）， 所以的值为. 16. 已知z，y之间的一组数据如下表： x 1 3 6 7 8 y 1 2 3 4 5 （1）从x ,y中各取一个数，求x+y≥10的概率； （2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，试利用“最小平方法（也称最小二乘法）”判断哪条直线拟合程度更好． 【答案】（1） ；（2）用直线拟合程度更好． 【解析】 【详解】试题分析：（1）从x，y各取一个数组成数对（x ，y），共有25对， 其中满足的有，共9对，由古典概型概率的计算公式可得． （2）用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为 ． 用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为 ．由得出结论． 试题解析：（1）从x，y各取一个数组成数对（x ，y），共有25对， 其中满足的有，共9对 故所求概率为，所以使的概率为． （2）用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为 ． 用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为 ． 因为，故用直线拟合程度更好． 考点：1．古典概型；2．线性回归分析；3．变量的相关性． 17. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）讨论函数的极值； （2）当时，若，（其中）满足，求证：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得解； （2）分析得只需证明，构造函数（），利用导数即可得证. 【小问1详解】 求导得， 当时，恒成立，此时函数上单调递增， 此时函数无极值； 当时，，， 所以在单调递增，在单调递减， 此时极大值，无极小值. 综上所述，时，无极值，当时，极大值，无极小值. 【小问2详解】 当时， ， 在单调递增，在单调递减， 又且， ∴要证，即证， 即证，即证， 设（）， ， ∴在单调递增，又， ∴，又， ∴，∴. 18. 如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）在平面图形中，先证，则折叠后，，，利用线面垂直的判定定理判定线面垂直. （2）根据两两垂直，故可以以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的三角函数值. （3）先求平面的法向量，再求平面的法向量（用表示），根据二面角的正弦值求的值. 【小问1详解】 在图1中，连接，交于点，，. 因为，，，，且， 所以，，. 因为，所以. 所以图2中，，，平面，所以平面. 平面.所以. 【小问2详解】 又因为，由，即，所以. 所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为中点，所以. 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设直线与平面所成的角为， 则. 【小问3详解】 因为，所以 所以，即. 则，，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设平面的法向量为， 则, 取. 设二面角为，由得：. 即， 整理得：， 解得：或. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial  Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联? 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的概率分布列和数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，与性别有关联 （2）①分布列见解析，；② 【解析】 【分析】（1）根据题意列出列联表，计算卡方，然后对比临界值即可判断； （2）①的所有可能取值为，计算出对应的概率，然后由错位相减法即可求解；②计算出，时，则，构造等比数列求得，对分奇数、偶数讨论即可. 【小问1详解】 因为，所以报名参加答题活动人数为， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为， 报名参加答题活动女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50， 得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005； 【小问2详解】 ①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为， 其中，， 所以. ， 以上两式错位相减得 ， 所以 . ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得，， 当时，则， 因为，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 又且， 所以数列是各项均为1的常数列，则， 所以，解得 当为奇数时，，， 当n为偶数时，，， 所以的最大值在为偶数时产生， 又当为偶数时，随着的增大而减小， 所以当时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$