精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高二下学期5月自主评估测试数学试卷

高二5月自主评估测试 数学试卷 一、单选题 1. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算求解. 【详解】, 故选：C. 2. 在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，求平面的法向量，再求向量在法向量上的投影向量的大小即可得结论. 【详解】设平面的法向量为， 则，又，， 所以， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 又， 所以向量在法向量上的投影向量的大小为， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 3. 一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ） A. 二项分布，且 B. 两点分布，且 C. 超几何分布，且 D. 超几何分布，且 【答案】C 【解析】 【分析】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解. 【详解】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以. 故选：C 4. 已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ） A. 在上单调递增 B. 有极大值 C. 有3个极值点 D. 在处取得最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定单调区间、极值情况，即可判断各项的正误. 【详解】由题图知，在上，则在上单调递减， 在上，则在上单调递增， 所以在上不单调，为极小值，且共有3个极值点，处不是最大值. 故选：C 5. 某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ） A. 60种 B. 54种 C. 48种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】分选派2名快递员和选派3名快递员两种情况讨论. 【详解】第一：选派2名快递员的时候： 首先，快递员的选法有种不同选法，其中一名快递员从四个区域中选2个区域，有种选法，剩余快递员的选法只有1种， 所以不同安排方案有：种； 第二：选派3名快递员的时候： 先从四个区域中选2个区域，有种选法，将其看做一个区域，现在3个区域安排给三个人有种方法， 所以不同安排方案有：种. 综上，不同安排方案有：种. 故选：B 6. 已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，则下列说法正确的是（ ） A. 存在 B. 对任意 C. 存在 D. 对任意 【答案】D 【解析】 【分析】对于A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对于C：先求，利用作差法比较大小；对于D：换元令，结合二次函数求的取值范围. 【详解】由题意可得：，且，即， 对A、B：由题意可得：， ∵开口向下，对称轴，， 则，故，即， 不存在，，A错误； 例如，则，即存在，，，B错误； 对C：， 则， 故对任意，，则，C错误； 对D：令， 则图象开口向下，对称轴，且， 故，即， 对任意，，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据题意得到，， 7. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 8. 已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同构将函数进行化简，在利用单调性与交点个数转化成切线处理问题. 【详解】令f(x)=0，得 即 令 则 (1-e)t-1=0， 令 则 令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增； 令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1. 当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点. 令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意. 当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切. 如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为 则相应切线方程为 如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为 则 综上 故选：D. 二、多选题 9. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项分布的均值和方差公式列式计算判断A，根据方差的含义判断B，根据正态分布的对称性求解概率判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】A选项：，，，正确； B选项：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，错误； C选项：随机变量服从正态分布，则， 若，则，则，错误； D选项：对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好，正确. 故选：AD 10. 已知，则（ ） A. 的值为 B. 的值为160 C. 的值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，即可判断A；利用二项式展开得通项，结合乘法得分配律即可判断B；分别令和即可判断C；令即可判断D. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，令，则， 令，则， 则 ，故C正确； 对于D，令，则， 即，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 【答案】ABD 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，对于A，根据等体积转化，可证明体积为定值；对于B，取、中点、，连接、、、，证明平面平面，则点的轨迹为线段；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出、即可判断；对于D，利用线面角的向量公式，得到点的轨迹方程，即可判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为， 对于A选项，， 三棱锥的体积， 点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于B选项，取、中点，连接、、、， 由且，知是平行四边形，所以， 因为平面，平面，平面， 同理可得平面， 因为，、平面，所以平面平面， 又平面，则平面，而Q在平面上， 且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确； 对于C选项，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 若平面，则，即存在，使得，则， 解得，故不存在点使得平面，故C选项错误； 对于D选项，平面的一个法向量为，， 若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是， 所以，所以， 因为点为正方形内一动点（含边界）， 所以点是以为圆心，为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 三、填空题 12. 骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最大值为4”，事件“两次点数的最小值为1”，则________. 【答案】 【解析】 【分析】列举出事件包含的情况数，得到，，由条件概率求解公式得到答案. 【详解】事件包含，，，，，，，共7种情况，即， 在事件中只有和满足“两次点数的最小值为1”，故， 故. 故答案为： 13. 设函数，若恒成立，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由恒成立，得与同正或同负，从而得，所以，令，求的最小值即可. 【详解】令，则，令，则， 当时，恒成立，此时不符合恒成立； 当时，令，则，因为恒成立， 所以，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：2 14. 已知正四棱锥的各棱长均为2，点E是棱SB的中点，动点P满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别取的中点，可证平面，进而分析可知点关于平面的对称点为点，根据对称性结合几何性质运算求解. 【详解】分别取的中点，连接，设， 因为为等边三角形，则， 且，平面，则平面， 可知点平面， 又因为分别为的中点，则∥，且点为的中点， 可得平面，即点关于平面的对称点为点， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 在的二项展开式中， （1）若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； （2）若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得展开式的通项，根据题意列出方程，即可求解； （2）求得展开式的通项，根据题意，得到方程，结合组合数的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得展开式的通项， 令，可得，令，可得， 因为第3项与第6项相等，可得，解得. 【小问2详解】 解：由二项式展开式的通项， 可展开式中第5项的系数为，第3项的系数为， 因为第5项系数是第3项系数的10倍，可得， 即，即， 可得，解得或（舍去）， 所以的值为. 16. 已知z，y之间的一组数据如下表： x 1 3 6 7 8 y 1 2 3 4 5 （1）从x ,y中各取一个数，求x+y≥10的概率； （2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，试利用“最小平方法（也称最小二乘法）”判断哪条直线拟合程度更好． 【答案】（1） ；（2）用直线拟合程度更好． 【解析】 【详解】试题分析：（1）从x，y各取一个数组成数对（x ，y），共有25对， 其中满足的有，共9对，由古典概型概率的计算公式可得． （2）用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为 ． 用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为 ．由得出结论． 试题解析：（1）从x，y各取一个数组成数对（x ，y），共有25对， 其中满足的有，共9对 故所求概率为，所以使的概率为． （2）用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为 ． 用作为拟合直线时，所得值与的实际值的差的平方和为 ． 因为，故用直线拟合程度更好． 考点：1．古典概型；2．线性回归分析；3．变量的相关性． 17. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）讨论函数的极值； （2）当时，若，（其中）满足，求证：. 【答案】（1）时，无极值，当时，极大值，无极小值. （2） 证明：当时， ， 在单调递增，在单调递减， 又且， ∴要证，即证， 即证，即证， 设（）， ， ∴在单调递增，又， ∴，又， ∴，∴. 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得解； （2）分析得只需证明，构造函数（），利用导数即可得证. 【小问1详解】 求导得， 当时，恒成立，此时函数在上单调递增， 此时函数无极值； 当时，，， 所以在单调递增，在单调递减， 此时极大值，无极小值. 综上所述，时，无极值，当时，极大值，无极小值. 【小问2详解】 当时， ， 在单调递增，在单调递减， 又且， ∴要证，即证， 即证，即证， 设（）， ， ∴在单调递增，又， ∴，又， ∴，∴. 18. 如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 【答案】（1）证明如下： 在图1中，连接，交于点，，. 因为，，，，且， 所以，，. 因为，所以. 所以图2中，，，平面，所以平面. 平面.所以. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）在平面图形中，先证，则折叠后，，，利用线面垂直的判定定理判定线面垂直. （2）根据两两垂直，故可以以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的三角函数值. （3）先求平面的法向量，再求平面的法向量（用表示），根据二面角的正弦值求的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 又因为，由，即，所以. 所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为中点，所以. 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设直线与平面所成的角为， 则. 【小问3详解】 因为，所以 所以，即. 则，，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设平面的法向量为， 则, 取. 设二面角为，由得：. 即， 整理得：， 解得：或. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial  Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联? 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的概率分布列和数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，与性别有关联 （2）①分布列见解析，；② 【解析】 【分析】（1）根据题意列出列联表，计算卡方，然后对比临界值即可判断； （2）①的所有可能取值为，计算出对应的概率，然后由错位相减法即可求解；②计算出，时，则，构造等比数列求得，对分奇数、偶数讨论即可. 【小问1详解】 因为，所以报名参加答题活动人数为， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为， 报名参加答题活动的女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50， 得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005； 【小问2详解】 ①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为， 其中，， 所以. ， 以上两式错位相减得 ， 所以 . ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得，， 当时，则， 因为，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 又且， 所以数列是各项均为1的常数列，则， 所以，解得. 当为奇数时，，， 当n为偶数时，，， 所以的最大值在为偶数时产生， 又当为偶数时，随着的增大而减小， 所以当时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二5月自主评估测试 数学试卷 一、单选题 1. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（ ） A. B. C. D. 2. 在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 3. 一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ） A. 二项分布，且 B. 两点分布，且 C. 超几何分布，且 D. 超几何分布，且 4. 已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ） A. 在上单调递增 B. 有极大值 C. 有3个极值点 D. 在处取得最大值 5. 某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ） A. 60种 B. 54种 C. 48种 D. 36种 6. 已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，则下列说法正确的是（ ） A. 存在 B. 对任意 C. 存在 D. 对任意 7. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好 10. 已知，则（ ） A. 的值为 B. 的值为160 C. 的值为 D. 11. 如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 存在点，使得平面 D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 三、填空题 12. 骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最大值为4”，事件“两次点数的最小值为1”，则________. 13. 设函数，若恒成立，则的最小值为______． 14. 已知正四棱锥的各棱长均为2，点E是棱SB的中点，动点P满足，则的最小值为_________． 四、解答题 15. 在的二项展开式中， （1）若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； （2）若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值. 16. 已知z，y之间的一组数据如下表： x 1 3 6 7 8 y 1 2 3 4 5 （1）从x ,y中各取一个数，求x+y≥10的概率； （2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为与，试利用“最小平方法（也称最小二乘法）”判断哪条直线拟合程度更好． 17. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）讨论函数的极值； （2）当时，若，（其中）满足，求证：. 18. 如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial  Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联? 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的概率分布列和数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $