专题07 有理数的乘方（3知识点+7大题型+3大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题07 有理数的乘方 （3知识点+7大题型+3大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练+3大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对乘积记法正确的是（       ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）表示的意义是(   ) A．2和5相乘的相反数 B．5个2相乘的相反数 C．2个-5相乘 D．2个5相乘的相反数 知识点2：有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【即时训练】 4．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习） ． 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度，则 ． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) (9)． 知识点3：科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 【即时训练】 7．（2025·浙江杭州·二模）据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得1.25亿用户．数据1.25亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江杭州·二模）2025年杭州市参加中考人数约为41000人，将41000用科学记数法表示为 ． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）语文教科书每页大约有500字.一套《辞海》大约有个字，如果每页字数与语文教科书的字数相等，那么《辞海》大约有 页．（结果用科学记数法表示） 【题型1 有理数幂的概念理解】 1．在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 4．杨老师在黑板上写下“”，读作： ，计算的结果是 ． 5．若4个相乘，写成乘方的形式是 ，计算结果为 ． 【题型2 有理数的乘方运算】 6．（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 7．已知与互为相反数，则 ． 8．计算： ．（用2的乘方表示） 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 10．计算： 【题型3 有理数乘方逆运算】 11．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 12．若有理数满足，，且，则的值为（　　） A．或1 B．7或1 C．7或 D．或 13．已知：，若，则的值为（　　） A．1或 B．9或 C．或 D．9或 14．平方等于121的数是 ． 15．若有理数x，y满足，，且，求的值． ，________． ，________． 又，________0． 当________时，________； 当________时，________． 【题型4 乘方运算的符号规律】 16．若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 17．若，则的值是（    ） A． B．1 C．2023 D． 18．当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 19．已知的最大值为 ． 20．计算： 【题型5 乘方的应用】 21．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 22．如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 23．我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 24．细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 25．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 【题型6 科学记数法表示大于1的数】 26．由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达2215万．下列说法正确的是（    ） A．2215万＝ B．2215万＝ C．2215万是一个七位数 D．2215万写成的个数为4 27．1月6日，从河南省推动2025年第一季度经济“开门红”政策措施新闻发布会上了解到，刚刚过去的2024年，河南全省接待游客量首次突破10亿人次，旅游综合收入首次突破1万亿元．数据“1万亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 28．2025年4月24日神舟二十号载人飞船成功发射．据报道，神舟二十号在发射准备阶段需要使用大量的特种电缆，其中由安徽某电缆企业生产的一种耐高温特种电缆就用了5200000米．将5200000用科学记数法表示为 ． 29．2025年4月24日17时17分，我国神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心准时点火升空，并于当日23时49分精准对接空间站天和核心舱，全程历时秒，展现了中国航天技术的卓越实力．数据用科学记数法表示为： ． 30．运河三千里，醉美是淮安．4月13日上午7时30分，2025淮安西游乐园马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）鸣枪开跑，来自世界各地的23000名马拉松职业跑者、爱好者齐聚淮安，在“春日最美赛道”上超越自我、争创佳绩．数据“23000”用科学记数法表示为 ． 【题型7 将用科学记数法变回原数】 31．截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 32．用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 33．减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 34．将下列用科学记数法表示的数还原． ； ； ． 35．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 【拓展训练一 乘方运算的应用】 36．计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 37．某校的课后延时服务开设了“趣味数学”的课程．某次课以“翻牌游戏中的数学道理”为主题开展活动，如图，老师在桌面上摆放了张反面（没有花色的一面）向上的扑克牌，每次翻动其中的若干张牌（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上．探究如何翻动扑克牌，使得所有扑克牌都正面向上．小颖和小楠分在同一组，她们决定按照以下思路展开研究．请根据她们的研究思路，回答相应问题． 活动一：动手操作 ①每次只翻动1张扑克牌，至少翻动几次可以使得所有扑克牌都正面向上？ ②每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得所有扑克牌都正面向上； ③每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次就可以使得所有扑克牌都正面向上，请你写出她们的翻牌方式．（翻动的牌用序号表示） 活动二：解释原理 她们想到可以用有理数的运算来解释活动一的现象：扑克牌正面向上的牌面状态记作，反面向上的牌面状态记作，则7张牌反面都向上的牌面状态记作，7张牌正面都向上的牌面状态记作．按这个规定，翻动一张牌会改变其中一个因数的符号．根据她们的做法，请你解释为什么每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：拓展延伸 若桌面上有a张反面向上的扑克牌，每次同时翻动b张，其中，翻动n次后，所有扑克牌都正面向上，请探究a，b，n需满足的条件． 38．综合与实践二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号； ③若将第一行至第五行代表的5个二进制的数字相加，直接写出用二进制数与四进制数分别表示这5个数字的和． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 若二维码的简易编码所对应的数值m小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“Ⅰ”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“LUCKY”的的二维码． 39．生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 40．如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【拓展训练二 乘方的规律运算】 41．阅读材料：求的值． 解：设， 将等式两边同时乘以2得：， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)． 42．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 43．小天在学完《进位制的认识与探究》后发现，二进制和八进制在计算机领域都比较常用，而且二进制与八进制之间可以互相转化．小天想把转化为八进制数，他想到了如下两种方法： (1)先把二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化为八进制数． 把转化为十进制数为______，再转化为八进制数为． (2)直接转化法：由于，即一位八进制数相当于三位二进制数．因此，将二进制数从右向左每三位分为一组，最左边一组不足三位的在前面补0，然后将每组二进制数转换为对应的八进制数． 例如，二进制数1011010110转换为八进制数的步骤如下： 分组：（最左一组在前面添0补足三位）， 转换：（补足的0不影响转换结果）， 组合：． 请仿照上面的过程，把转化为八进制数． 44．观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 45．阅读材料： 求值：． 解：设，将等式两边同时乘，得， 将下式减去上式，得， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)．（其中为正整数） 【拓展训练三 乘方运算的新定义问题】 46．定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 47．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 ． 48．定义运算：，则 ． 49．用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 50．定义☆运算，观察下列运算： ， ， ， ， ， ． (1)两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把它们的绝对值______．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的______． (2)计算：______；______． (3)若，，且，求的值． 1．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（   ） A．186 B．185 C．184 D．183 3．对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 4．在，，，，，各数中，负数的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 5．若，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D．2 6．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 7．齐齐哈尔市龙沙动植物园是东北地区最大的动植物园，国家级旅游景区，占地面积约平方米．将用科学记数法表示为 ． 8．计算： ．（用2的乘方表示） 9．比较大小： （填“”“”或“”）． 10．在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 11．利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为班学生，则图3是 班学生的识别图案． 12．在日常生活中，我们最熟悉最常用的是十进制，逢十进一，计算技术中广泛采用的是二进制，是用0和1两个数字计数是逢二进一，十进制和二进制可以相互转化，如将二进制1101换算成十进制数应为，按此方式，把二进制数转化为十进制数结果是 ． 13．计算：． 14．一颗人造地球卫星的速度是，一辆汽车的速度是，当汽车行驶了时，人造卫星运行了多少千米？ 15．观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 18．【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 有理数的乘方 （3知识点+7大题型+3大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练+3大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对乘积记法正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义：求几个相同因数积的运算，叫做乘方．根据乘方的意义，可知4个相乘，可记为． 【详解】解：． 故选：A． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握表示个相乘，进行判断即可． 【详解】解：表示3个5相乘的相反数； 故选B． 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）表示的意义是(   ) A．2和5相乘的相反数 B．5个2相乘的相反数 C．2个-5相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】B 【分析】此题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂．据此解答即可． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数． 故选B． 知识点2：有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【即时训练】 4．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，直接根据负数的奇次幂是负数求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度，则 ． 【答案】2或/或2 【分析】本题主要考查了相反数的定义，倒数的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数，以及数轴上两点之间距离的表示方法．根据题意得出，，或，将其代入求解即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∵c、d互为倒数， ∴， ∵数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度， ∴或， ∴， 或， 故答案为：2或． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) (9)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【分析】（）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘法运算，然后计算乘方即可； （）利用乘方逆运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算加法即可； 本题考查了乘方的运算，有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是，熟练掌握运算法则． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式； （8）原式； （9）原式 ． 知识点3：科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 【即时训练】 7．（2025·浙江杭州·二模）据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得1.25亿用户．数据1.25亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：1.25亿． 故选：B． 8．（2025·浙江杭州·二模）2025年杭州市参加中考人数约为41000人，将41000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）语文教科书每页大约有500字.一套《辞海》大约有个字，如果每页字数与语文教科书的字数相等，那么《辞海》大约有 页．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．根据科学记数法来进行求解． 【详解】解：根据题意得《辞海》的页数有： ． 故答案为：． 【题型1 有理数幂的概念理解】 1．在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念解答即可，熟练掌握有理数幂的概念是解此题的关键． 【详解】解：在中，底数是10， 故选：A． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法的运算法则进行计算． 【详解】解：． 故选：D． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，根据乘法和乘方的意义解答即可． 【详解】解：． 故选D． 4．杨老师在黑板上写下“”，读作： ，计算的结果是 ． 【答案】 3的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解,有理数的乘方运算，正确理解有理数的乘方运算法则是解题的关键．根据有理数幂的意义，即可正确解答，根据有理数的乘方运算法则即可计算结果． 【详解】解：“”，读作：3的平方的相反数； 故答案为：3的平方的相反数； ． 故答案为：． 5．若4个相乘，写成乘方的形式是 ，计算结果为 ． 【答案】 【分析】此题可根据有理数的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘方定义和运算法则直接解答即可． 【详解】解： 故答案为：，． 【题型2 有理数的乘方运算】 6．（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 【答案】 3 5 2 5的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．在中，a是底数，n是指数．利用乘方的意义即可得到结果． 【详解】解：（1）在中，底数是，指数是3； （2）在中，底数是，指数是2，意义是5的平方的相反数； 故答案为：，3；，2，5的平方的相反数． 7．已知与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是明确非负数的性质，求出相应的x、y的值． 根据相反数的意义和非负数的性质建立方程，可以得到x、y的值，从而可以求得． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ， 故答案为：． 8．计算： ．（用2的乘方表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)216 (2) (3) (4) (5)1000 (6)1000000 【分析】本题考查了乘方的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； （1）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可； （2）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （3）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （4）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （5）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可； （6）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 10．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握乘法的运算法则是解题的关键，按有理数的乘方运算法则运算即可． 【详解】原式 ． 【题型3 有理数乘方逆运算】 11．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 12．若有理数满足，，且，则的值为（　　） A．或1 B．7或1 C．7或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的性质，熟练掌握绝对值和平方的意义是解题的关键．由已知可得，或，，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或． 故选：D． 13．已知：，若，则的值为（　　） A．1或 B．9或 C．或 D．9或 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数的乘方的逆运算，绝对值计算，有理数的乘法计算，根据绝对值的定义和有理数乘方的逆运算得到，再由，得到或，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴x与y异号， ∴或， ∴或， 故选：B． 14．平方等于121的数是 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方进行求解即可． 【详解】解：， 故平方等于121的数是； 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟记常见数字的平方是解题的关键． 15．若有理数x，y满足，，且，求的值． ，________． ，________． 又，________0． 当________时，________； 当________时，________． 【答案】；；；；6；； 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数乘方的逆运算，有理数减法计算，根据绝对值的意义得到，根据乘方的逆运算法则得到，再由绝对值的非负性得到，则或，据此求解即可． 【详解】解：， ． ， ． 又， ． 当时，； 当时，． 故答案为：；；；；6；；． 【题型4 乘方运算的符号规律】 16．若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 17．若，则的值是（    ） A． B．1 C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性，偶次方的非负性的应用，求解代数式的值，本题由非负数的性质可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； 故选B 18．当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 19．已知的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 20．计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 【题型5 乘方的应用】 21．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 22．如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第6次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 23．我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 【答案】520 【分析】本题主要考查了乘方的运算， 仿照“十进制”的算法，可知总天数为右面第一个数字加上第二个数字乘以7，依次第三个数字乘以，第四个数字乘以，再相加得出答案. 【详解】解：孩子自出生后的天数是：（天）. 故答案为：520. 24．细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 【答案】 【分析】本题考查乘方的应用．先根据题意求出分裂的次数，再根据有理数的乘方进行计算即可． 【详解】解：分裂次数为：（次）， 1个这种细菌经过5个小时可以分裂成的细胞为：个， 故答案为：． 25．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：101110转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解：由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为， 孩子已经出生了42天． 【题型6 科学记数法表示大于1的数】 26．由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达2215万．下列说法正确的是（    ） A．2215万＝ B．2215万＝ C．2215万是一个七位数 D．2215万写成的个数为4 【答案】D 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，2215万， 故A、B选项不符合题意； 2215万，是一个八位数，2215万写成的个数为4， 故C选项不符合题意；故D选项符合题意； 故选：D 27．1月6日，从河南省推动2025年第一季度经济“开门红”政策措施新闻发布会上了解到，刚刚过去的2024年，河南全省接待游客量首次突破10亿人次，旅游综合收入首次突破1万亿元．数据“1万亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，1万亿， ∴数据“1万亿”用科学记数法表示为 故选：D 28．2025年4月24日神舟二十号载人飞船成功发射．据报道，神舟二十号在发射准备阶段需要使用大量的特种电缆，其中由安徽某电缆企业生产的一种耐高温特种电缆就用了5200000米．将5200000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 29．2025年4月24日17时17分，我国神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心准时点火升空，并于当日23时49分精准对接空间站天和核心舱，全程历时秒，展现了中国航天技术的卓越实力．数据用科学记数法表示为： ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 故答案为：． 30．运河三千里，醉美是淮安．4月13日上午7时30分，2025淮安西游乐园马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）鸣枪开跑，来自世界各地的23000名马拉松职业跑者、爱好者齐聚淮安，在“春日最美赛道”上超越自我、争创佳绩．数据“23000”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：23000用科学记数法表示为． 故答案为：． 【题型7 将用科学记数法变回原数】 31．截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大（或较小）的数，一般形式为，其中，n为整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 故选：B． 32．用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 33．减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 34．将下列用科学记数法表示的数还原． ； ； ． 【答案】 2000 35000 【分析】本题主要考查了科学记数法，还原时，将小数点向右移动n位即可． 【详解】解：，，， 故答案为：2000，35000，． 35．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)200000 (2)5180 (3)7040000 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉即可． （1）利用科学记数法的法则解答即可； （2）利用科学记数法的法则解答即可； （3）利用科学记数法的法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的原数为200000； （2）解：∵， ∴的原数为5180； （3）解：∵， ∴的原数为7040000． 【拓展训练一 乘方运算的应用】 36．计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【答案】(1)11 (2)采集到的野果数量为个 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是： （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． 【详解】（1）解：1011转化为十进制数是： ； （2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 37．某校的课后延时服务开设了“趣味数学”的课程．某次课以“翻牌游戏中的数学道理”为主题开展活动，如图，老师在桌面上摆放了张反面（没有花色的一面）向上的扑克牌，每次翻动其中的若干张牌（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上．探究如何翻动扑克牌，使得所有扑克牌都正面向上．小颖和小楠分在同一组，她们决定按照以下思路展开研究．请根据她们的研究思路，回答相应问题． 活动一：动手操作 ①每次只翻动1张扑克牌，至少翻动几次可以使得所有扑克牌都正面向上？ ②每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得所有扑克牌都正面向上； ③每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次就可以使得所有扑克牌都正面向上，请你写出她们的翻牌方式．（翻动的牌用序号表示） 活动二：解释原理 她们想到可以用有理数的运算来解释活动一的现象：扑克牌正面向上的牌面状态记作，反面向上的牌面状态记作，则7张牌反面都向上的牌面状态记作，7张牌正面都向上的牌面状态记作．按这个规定，翻动一张牌会改变其中一个因数的符号．根据她们的做法，请你解释为什么每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：拓展延伸 若桌面上有a张反面向上的扑克牌，每次同时翻动b张，其中，翻动n次后，所有扑克牌都正面向上，请探究a，b，n需满足的条件． 【答案】活动一：第一次翻动①②③，第二次翻动③④⑤，第三次翻动③⑥⑦ 活动二：理由见解析 活动三：与奇偶性相同，且． 【分析】本题考查有理数乘法及乘方运算的实际应用； （1）每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次共翻动次，说明有一张牌翻了三次，据此写出翻牌方式即可； （2）向下翻一次相当于乘以，利用有理数的乘法说明即可； （3）根据前面的数据找到规律，再探究a，b，n需满足的条件即可． 【详解】解：活动一：第一次翻动①②③，此时①②③正面朝上； 第二次翻动③④⑤，此时①②④⑤正面朝上； 第三次翻动③⑥⑦，此时全部张都正面朝上； 活动二：翻一次相当于乘以，则每次同时翻动2张扑克牌，翻动次，共翻动次，相当于乘以， 而，， ∴， 即每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：根据前面的活动规律，当为奇数时，必须也是奇数，且； 当为偶数时，必须也是偶数，且； 综上所述，与奇偶性相同，且． 38．综合与实践二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号； ③若将第一行至第五行代表的5个二进制的数字相加，直接写出用二进制数与四进制数分别表示这5个数字的和． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 若二维码的简易编码所对应的数值m小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“Ⅰ”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“LUCKY”的的二维码． 【答案】(1)①；或；②2410272108；③； (2)①E YOU．或E（空格）YOU．②见解析 【分析】本题考查了进制，解题关键是理解数位的进制，准确进行计算求解； （1）①根据题中的规则求解； ②根据题中的规则化二进制为十进制； ③根据进制进行二进制、四进制与十进制进行换算求解； （2）①根据代码进行换算； ②先把代码换算成二进制，再画二维码． 【详解】（1）解：根据黑色代表1，白色代表0 ①第一行代表的二进制的数字为，第二行代表的二进制数字为或； ②转换成十进制数为；同理，转换成十进制数为10；转换成十进制数为27；转换成十进制数为21；转换成十进制数为08；小辉同学的准考证号为：2410272108； ③将第一行至第五行代表的5个二进制的数字相加得： ， ，用二进制表示为； ，用四进制表示为 （2）（2）①转换成十进制数为22；转换成十进制数为29；转换成十进制数为2；转换成十进制数为12；转换成十进制数为6； 根据转换规则，图2中从左到右五列对应的明码分别是（空格）； ②L 的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为，同理其他字母表示的二进制分别为，，， 二维码如下图所示： ． 39．生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【答案】(1)21 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为10进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是2917021311，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； （3）计算该编号识别系统中班级、考场号、座位号的最大值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； （2）解：准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： （3）解：∵， ∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 【点睛】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键． 40．如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 【拓展训练二 乘方的规律运算】 41．阅读材料：求的值． 解：设， 将等式两边同时乘以2得：， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以2，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 两边乘以2得：， 两式相减得：， 则原式； （2）解：设， 两边乘以3得：， 两式相减得：，即， 则原式． 42．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了乘方的应用，根据所给图形发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题意，阴影部分的面积占正方形总面积的，于是得解； （2）的和，可以看成是部分的面积总和，它等于总面积减去阴影部分面积，于是得解； （3）阴影部分面积占总面积的，总面积减去阴影部分面积，就等于，于是得解． 【详解】（1）解：根据题意可得，阴影部分面积占总面积的比例为： ， 阴影部分的面积是：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ； （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 43．小天在学完《进位制的认识与探究》后发现，二进制和八进制在计算机领域都比较常用，而且二进制与八进制之间可以互相转化．小天想把转化为八进制数，他想到了如下两种方法： (1)先把二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化为八进制数． 把转化为十进制数为______，再转化为八进制数为． (2)直接转化法：由于，即一位八进制数相当于三位二进制数．因此，将二进制数从右向左每三位分为一组，最左边一组不足三位的在前面补0，然后将每组二进制数转换为对应的八进制数． 例如，二进制数1011010110转换为八进制数的步骤如下： 分组：（最左一组在前面添0补足三位）， 转换：（补足的0不影响转换结果）， 组合：． 请仿照上面的过程，把转化为八进制数． 【答案】(1)89， (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟悉各进制之间的相互转化，理解题目意思是解题的关键； （1）根据二进制转化为十进制的方法先化为十进制，再按照十进制化为八进制的方法化为八进制即可； （2）仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， 把转化为十进制数为， ， 转化为八进制数为， 故答案为：，； （2）解：分组：， 转换：， 组合：． 44．观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）观察已知等式即可求解； （）由等式规律写出即可； （）利用规律计算即可； 本题考查了有理数乘方的变形运算，根据已知等式找出有理数乘方运算的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律，第六个等式为， 故答案为：； （2）解：由规律可得，第个等式为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 45．阅读材料： 求值：． 解：设，将等式两边同时乘，得， 将下式减去上式，得， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘方，解决本题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法,运用类比的数学思想解答问题． （1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 【详解】（1）解：设， 则， ∴． ∴． ∴． （2）解：设， 则， ∴， 即，． ∴． 【拓展训练三 乘方运算的新定义问题】 46．定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【答案】B 【分析】本题是新定义运算，出现在乘方一节，能够类比乘方的运算，理解并运用除方的运算规则，准确的计算和推理是本题的关键． 根据新运算‘除方’的定义，即为个相除，进行计算．运算时注意指数运算、相反数的性质、倒数的概念的应用即可． 【详解】A.，即任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项不符合题意． B.当为偶数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）； 当为奇数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正奇数）． 故选项符合题意． C.设这两个互为相反数的数为与． 当为偶数时，，，此时结果相等； 当为奇数时，，，此时结果互为相反数，即互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故选项不符合题意． D.设互为倒数的两个数为与． 则，，即互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，故选项不符合题意． 故选：B． 47．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 ． 【答案】56 【分析】设，根据新运算可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 48．定义运算：，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算法则，是解题的关键． 49．用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【答案】(1) (2)①；；②乘法交换 【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键． （1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案； （2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律． 【详解】（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律， 故答案为：②乘法交换． 50．定义☆运算，观察下列运算： ， ， ， ， ， ． (1)两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把它们的绝对值______．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的______． (2)计算：______；______． (3)若，，且，求的值． 【答案】(1)得正，得负，相加，绝对值 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算以及化简绝对值，乘方运算，有理数的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据新定义的内容，即可作答． （2）结合新定义的运算法则，即可作答． （3）先由，，得，因为，所以或，再代入，然后结合新定义运算法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的绝对值； 故答案为：得正，得负，相加，绝对值； （2）解：依题意，：， ； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴或， 则或． 1．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将3370万用科学记数法表示为． 故选：A． 2．“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（   ） A．186 B．185 C．184 D．183 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，读懂题意，理解古代记数规则，再转化为现代的十进制数是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，绳子上按照古代记数规则是，由于满四进一，将其转化为现在的十进制数为， 故选：D． 3．对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 4．在，，，，，各数中，负数的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查负数的判断，根据相反数的概念、绝对值的性质、负数的奇数次幂等相关知识点正确判断是解题关键． 根据负数的相反数为正、绝对值的意义、幂的运算等相关原则，进行计算分析即可． 【详解】解：，为正数； ，为负数； ，既不是正数，也不是负数； ，为负数； ，为负数； ，为负数； 所以负数个数为4个， 故选：C． 5．若，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方和加法运算，掌握平方和绝对值的非负性是解题关键．根据非负数的性质，得出，，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：A． 6．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 7．齐齐哈尔市龙沙动植物园是东北地区最大的动植物园，国家级旅游景区，占地面积约平方米．将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表现形式是，其中，为整数，用科学记数法表示数需要确定和，确定时要看小数点移动的位数，当原数的绝对值，为正整数；当原数的绝对值，为负整数；熟练掌握科学记数法的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．计算： ．（用2的乘方表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、乘方运算、有理数的大小比较，先计算，再比较大小即可，正确计算、比较大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， 故答案为：． 10．在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：13；． 11．利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为，序号为，表示该生为班学生，则图3是 班学生的识别图案． 【答案】5 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据题意，得到图3第一行数字从左到右依次为，运用题目中的计算方法计算即可求解． 【详解】解：黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0， ∴图3第一行数字从左到右依次为， ∴， ∴是5班学生的识别图案， 故答案为：5 ． 12．在日常生活中，我们最熟悉最常用的是十进制，逢十进一，计算技术中广泛采用的是二进制，是用0和1两个数字计数是逢二进一，十进制和二进制可以相互转化，如将二进制1101换算成十进制数应为，按此方式，把二进制数转化为十进制数结果是 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，由题意知可表示为，然后根据含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 即转化为十进制数结果是19， 故答案为：19． 13．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 14．一颗人造地球卫星的速度是，一辆汽车的速度是，当汽车行驶了时，人造卫星运行了多少千米？ 【答案】千米 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 首先得到，然后列式计算，用科学记数法表示即可． 【详解】 ∴ ∴当汽车行驶了时，人造卫星运行了千米． 15．观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等； (2)； (3)1 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据运算法则进行计算后，判断即可； （2）利用（1）中规律即可得出结论； （3）利用规律得到，计算即可． 【详解】（1）解：相等： ， ∴； ，， ∴； （2）由（1）可得： （3）． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． （1）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （2）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （3）根据乘方的定义将展开算乘法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 17．善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【详解】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 18．【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$