预习08 点到直线的距离（2知识点+8题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习08 点到直线的距离 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 知识点 2 ：两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 【题型1 点到直线的距离】 1．点到直线的距离为 ． 2．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为 ． 3．平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为 ． 4．点 到直线的距离的最大值是 5．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【题型2 直线围成图形的面积】 6．已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 7．已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知的顶点坐标为． (1)在中，求边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 9．已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 10．已知直线过定点 (1)若到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【题型3 两条平行线之间的距离】 11．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 12．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 13．若直线：与直线：间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 14．已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为 . 15．已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 点关于直线的对称问题】 16．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 17．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 18．点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 19．若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 20．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【题型5 直线关于点的对称问题】 21．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 22．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 23．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 24．与直线关于点对称的直线方程是 ． 【题型6 直线关于直线的对称问题】 25．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 26．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 28．若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 【题型7 反射光线问题】 29．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 30．已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则 ， ． 33．一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 34．已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于 . 【题型8 将军饮马问题】 35．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 36．（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 37．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 38．已知点在直线上，则的最小值为 一、单选题 1．点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 3．已知，，动点在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．10 4．点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线，，则下列说法错误的是（ ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 6．实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 7．已知点，过点引直线l与曲线相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 9．已知两条直线，的方程分别为与，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．过点 10．已知直线，点，，，，下列说法正确的是（    ） A．点P到直线的距离为 B．若P与Q点位于直线的两侧则 C．点P与点Q之间距离的最小值为 D．的最小值为2 三、填空题 11．已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为 . 12．已知两点到直线的距离相等，则符合条件的a的一个值为 ． 13．平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 四、解答题 14．已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 15．在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 16．已知在中，边上的高所在的直线方程为边上的高所在的直线方程为，点的坐标为.求： (1)边所在的直线方程； (2)的面积. 17．已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 18．如图，A、B是射线OM、ON上的两点，点Q是线段AB上一点，点Q到OM、ON的距离分别为2，．测得，．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，点Q在第一象限． (1)求点Q的坐标； (2)设点P在平面xOy内，，且，线段AB上一动点C离点P最近时的坐标． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习08 点到直线的距离 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 知识点 2 ：两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 【题型1 点到直线的距离】 1．点到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】点到直线的距离为， 故答案为： 2．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设为曲线上一点，则， 则到直线的距离为， 当且仅当令，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 3．平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】已知直线方程为，点， 根据点到直线的距离公式，代入得到： 因此，点到直线的最短距离即|AP|的最小值为. 故答案为：. 4．点 到直线的距离的最大值是 【答案】3 【详解】因为点 到直线的距离为， 又， ，， 因此当时，取最大值，且， 故答案为：3. 5．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】为直线上的点到原点距离的平方， 所以的最小值为原点到直线的距离的平方， 又原点到直线的距离， 所以的最小值为1． 故选：D. 【题型2 直线围成图形的面积】 6．已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，，， 易知，故直线所在方程为，即， 点到该直线的距离为， 故 ， ， 当时，有最大值，此时． 故选：B． 7．已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：    如上图，当时，则直线过定点， ∵与轴、轴分别交于、两点， ∴直线的斜率存在且不为， 且∵直线方程为， ∴当时，当时， ∴直线与轴交于点，直线与轴交于点， ∴，， ∵，则是直角三角形， ∴， （i）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. （ii）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. 综上知，使的面积为的直线共有3条. 故选：C. 8．已知的顶点坐标为． (1)在中，求边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)． (2)4. 【详解】（1）直线AB的斜率，边上的高线所在直线的斜率为 故中，边上的高线所在直线的方程为，即为． （2），， 直线的方程为，即为， 点C到直线的距离为， ． 的面积为4. 9．已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得，即点. 因为所求直线与直线平行，所以，所求直线斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）直线与轴交点的坐标为，直线与轴交点的坐标为， 则，点到的距离， 所以，的面积. 10．已知直线过定点 (1)若到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)或 (2)最小值为，直线l的方程为. 【详解】（1）当直线斜率不存在时， 由过得，满足到的距离为3， 当直线斜率存在时，设直线方程为即， 点到直线的距离为，解得. 此时直线的方程为即， 综上所述，所求的直线方程为或. （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点， 则设直线为，，则， . ，当且仅当时取等号， 故面积的最小值为12，此时直线l的方程为. 【题型3 两条平行线之间的距离】 11．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 12．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 13．若直线：与直线：间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 【答案】D 【详解】因为，所以直线与直线间的距离为， 解得或， 因为，所以. 故选：D. 14．已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 所以 解得或. 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 15．已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 【题型4 点关于直线的对称问题】 16．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 17．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 18．点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 19．若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 20．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 【题型5 直线关于点的对称问题】 21．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 22．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 23．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 24．与直线关于点对称的直线方程是 ． 【答案】 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即， 故答案为：. 【题型6 直线关于直线的对称问题】 25．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 26．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 27．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 28．若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 【答案】 【详解】由题意可得直线l与直线关于直线对称， 由于直线上的任意一点关于直线的对称点为， 因为已知直线，则的方程是，即， 故答案为：. 【题型7 反射光线问题】 29．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 30．已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得（*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，涉及光线入射及反射问题，设关键的入射点坐标，利用直线方程的对称性、入射点及反射点的坐标关系，从而建立不等关系求解参数范围. 31．已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，，， 则直线方程为，直线方程为 如图，作关于的对称点，，解得，故， 再作关于的对称点，则，得， 连接，连接交与点，则直线方程为，得， 连接、分别交为点、， 则直线方程为，得， 直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得， 连接，，则，之间即为点的变动范围． 直线方程为，斜率为0， 直线的斜率为， 所以斜率的范围为， 故选：D． 32．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则 ， ． 【答案】 【详解】由题意，直线与直线关于直线对称， 所以直线上的点关于直线的对称点在直线上， 所以，所以， 所以直线上的点关于直线的对称点在直线上，所以，所以． 故答案为：； 33．一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】点关于直线的对称点为， 由题知，入射光线所在的直线经过点和点， 且． 故答案为：． 34．已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于 . 【答案】 【详解】解：作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点， 则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线， 得，易得，， 直线的方程是， 设，则得，即， . 故答案为：    【题型8 将军饮马问题】 35．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 36．（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 37．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：    38．已知点在直线上，则的最小值为 【答案】4 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和，如图， 点关于的对称点为，， 当点三点重合时，最小，最小值为4. 故答案为：4 一、单选题 1．点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点到直线的距离. 故选： 2．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】可理解为动点到定点的距离， 而动点在直线上， 故当且仅当时，取得最小值， 即，故的最小值是. 故选：D. 3．已知，，动点在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．10 【答案】B 【详解】如图所示，易知点关于直线的对称点， 由对称性即三角形三边关系可得： . 故选：B. 4．点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 5．已知直线，，则下列说法错误的是（ ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 【答案】B 【详解】对A，变形为 令，则，因此直线过定点，故A正确； 对于B，当时，，由于，，故两直线不平行，故B错误； 对于C，当时，， 由于，故两直线平行，故C正确； 对于D，当时，则满足，解得， 此时，则两直线距离为， 故D正确； 故选：B. 6．实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 7．已知点，过点引直线l与曲线相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】曲线，得，则， 所以曲线表示圆心为，半径为的半圆（x轴及以上部分）． 由于， 故当时的面积取得最大值， 此时圆心到直线l：的距离为， 即，如图，只有才可能满足题意，得． 故选：D. 8．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9．已知两条直线，的方程分别为与，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．过点 【答案】AD 【详解】对于A，由可得，解得，经检验两直线不重合，所以A正确； 对于B，由A可知时，此时的方程为， 此时两条平行直线之间的距离为，可知B错误； 对于C，若，可得，解得，即C错误； 对于D，将整理可得， 所以恒过定点，即D正确. 故选：AD 10．已知直线，点，，，，下列说法正确的是（    ） A．点P到直线的距离为 B．若P与Q点位于直线的两侧则 C．点P与点Q之间距离的最小值为 D．的最小值为2 【答案】ABD 【详解】点P到直线的距离，A选项正确； ∵将点代入直线方程得，要想P与Q点位于直线的两侧，则将代入直线方程得，即，B选项正确； ，C选项错误； ∵，∴点在直线上，斜率，过点作直线于点， 则，联立方程组解得，即， ∴点关于直线的对称点，连接与的交点为， 此时最小，的最小值：，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为 . 【答案】 【详解】由直线方程的两点式得直线的方程为， 即，由两点间距离公式得， 设点A到的距离为d，即为边上的高，， 则的面积为. 故答案为：. 12．已知两点到直线的距离相等，则符合条件的a的一个值为 ． 【答案】或4 【详解】两点到直线的距离相等，则， 解得或4． 故答案为：或4 13．平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/0.08 【详解】设整点，则， ，，， ，是5的倍数， ，，． 故答案为： 四、解答题 14．已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. （2）直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 15．在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 16．已知在中，边上的高所在的直线方程为边上的高所在的直线方程为，点的坐标为.求： (1)边所在的直线方程； (2)的面积. 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）由题意得设边上的高的斜率为1，边上的高的斜率为，所以直线的斜率分别为. 因为，所以直线的方程分别为. 由解得即； 由解得即. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即得. （2）由（1）知，，直线的方程为， 所以. 因为，所以点到直线的距离. 所以的面积. 17．已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)； 【详解】（1）因为直线， 即， 所以直线恒过定点. （2）由题知，直线方程为， 设直线关于直线对称的直线为，如图， 联立，解得， 即直线过， 在直线上取，设其关于的对称点为， 则，解得， 即直线过， 所以直线方程为， 即直线方程为. （3）由题知，， 则， 且，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为， 即， 综上，的最小值为， 且此时直线的方程为. 18．如图，A、B是射线OM、ON上的两点，点Q是线段AB上一点，点Q到OM、ON的距离分别为2，．测得，．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，点Q在第一象限． (1)求点Q的坐标； (2)设点P在平面xOy内，，且，线段AB上一动点C离点P最近时的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得射线所在直线的斜率， 直线的方程为，一般式为， 由点到的距离为，且为轴，则设，， 由点到的距离为，则，整理可得， 解得或（舍去），所以点的坐标为. （2）由，且，则，由题意易知时，距离最近， 设，直线的斜率， 由题意可得，且在上，直线的斜率， 由，则，可得，即， 直线的方程为，整理可得， 点到的距离， 由，则到的距离为，可得， 所以，，解得或， 因为在线段上，所以，则，解得， 所以点的坐标为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$