假期作业22 三角恒等变换-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　　假期作业２２　三角恒等变换　　　　　　　　　 １．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝　　　　　　; cos(α∓β)＝　　　　　　　　; tan(α±β)＝　　　　　　 α±β,α,β均不为kπ＋ π ２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ２．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin２α＝　　　　　　　　; cos２α＝　　　　＝　　　　＝　　　　; tan２α＝ ２tanα １－tan２α α,２α均不为kπ＋π２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ３．三角函数公式的变形 (１)tanα±tanβ＝tan(α±β)(１∓tanαtanβ); (２)cos２α＝１＋cos２α２ ,sin２α＝１－cos２α２ ; (３)１＋sin２α＝(sinα＋cosα)２,１－sin２α＝(sinα －cosα)２,sinα±cosα＝２sinα±π４ æ è ç ö ø ÷． ◆[考点一]　给角求值 １．３sin５π１２－cos ５π １２ 的值是 (　　) A．２　　　　　　　B．２２ C．－ ２ D．sin７π１２ ２．(多选)下列式子的运算结果为 ３的是 (　　) A．tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５° B．２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°) C．１＋tan１５°１－tan１５° D． tanπ６ １－tan２ π６ ３．１－tan ２１５° ２tan１５° ＝ (　　) A．３ B．３３ C．１ D．－１ ４．化简: cos ３２π－α æ è ç ö ø ÷－tanα２ (１＋cosα) １－cosα (０＜α ＜π)＝　　　　． ◆[考点二]　给值求值 ５．已知α∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,２sin２α＝cos２α＋１,则 sinα＝ (　　) A．１５ B． ５ ５ C． ３ ３ D． ２ ５ ５ ６．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则cos(２α＋２β)＝ (　　) A．７９ B． １ ９ C．－ １ ９ D．－ ７ ９ ７．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cosα＝ １＋ ５ ４ ,则sinα２＝ (　　) A．３－ ５８ B． －１＋ ５ ８ C．３－ ５４ D． －１＋ ５ ４ ８．若tanα－π４ æ è ç ö ø ÷＝１６ ,则tanα＝　　　　． ◆[考点三]　三角变换的简单应用 ９．函数f(x)＝３sinx２cos x ２＋４cos ２x ２ (x∈R) 的最大值等于 (　　) A．５ B．９２ C． ５ ２ D．２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３５ １０．若函数f(x)＝２sinx２cos x ２－ ２sin ２x ２ ,则函 数f(x)的最小正周期为　　　　;函数f(x) 在区间[－π,０]上的最小值是　　　　． １１．已知OA → ＝(１,sinx－１),OB → ＝(sinx＋ sinxcosx,sinx),f(x)＝OA →􀅰OB →(x∈ R)．求: (１)函数f(x)的最大值和最小正周期; (２)函数f(x)的单调递增区间． １２．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴 的 非 负 半 轴 重 合,它 的 终 边 过 点 P －３５ ,－４５ æ è ç ö ø ÷． (１)求sin(α＋π)的值; (２)若角β满足sin(α＋β)＝ ５ １３ ,求cosβ 的值． １．将 函 数 f (x)＝ ３２ sin ２x＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ ＋ cos２ x＋π６ æ è ç ö ø ÷的图象向右平移φ(φ＞０)个单 位长度,得到函数g(x)的图象关于x＝π６ 对称,则φ的最小值为 (　　) A．π６ B． π ４ C． π ３ D． ５π ６ ２．若tanα＝－２３ ,则sin２α＋π４ æ è ç ö ø ÷＝　　　　　． 前进步伐,永不停歇 　　六点起床很困难,背单词很困难,静下心 很困难􀆺􀆺但是总有一些人,五点可以起床, 一天背六课单词,耐心读完一本书．谁也没有 超能力,但是自己可以决定一天去做什么事 情．你以为没有路,事实上路可能就在前方一 点点．那些比自己强大的人都在拼命,我们还 有什么理由停下脚步． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４５ ５．D　[在△ABC 中,BC＝６０× １２ ＝３０ (km),∠ABC＝７０°－ ４０°＝３０°,∠ACB＝４０°＋６５°＝１０５°,则∠A＝１８０°－(３０°＋ １０５°)＝４５°,由正弦定理,可得AC＝１５ ２(km)．故选 D．] ６．A　[如 图 所 示,易 知,在△ABC 中,AB＝ ２０,∠CAB＝３０°,∠ACB＝４５°, 根据正弦定理得 BC sin３０°＝ AB sin４５° ,解得BC ＝１０ ２(海里)．] ７．B 　 [连 接 AC,由 题 意, ∠ABC＝４５°,∠ACD＝７５° －１５°＝６０°,∠BCD＝７５°＋ ４５°＝１２０°, ∠ACB＝６０°,AB＝１０ ３, CD＝４ ２, 在△ABC 中,由 正 弦 定 理 得, ABsin∠ACB＝ AC sin∠ABC ,即 １０ ３ ３ ２ ＝AC ２ ２ ,则AC＝１０ ２, 在△ACD 中,由 余 弦 定 理 得,AD２＝AC２＋CD２－２AC􀅰 CDcos∠ACD＝１５２, 则AD＝２ ３８km．] ８．解析:在 Rt△BCP１ 中,∠BP１C＝α,在 Rt△P２BC中, ∠P２＝ α ２． ∵∠BP１C＝∠P１BP２＋∠P２,∴∠P１BP２＝ α ２ , 即△P１BP２ 为等腰三角形,BP１＝P１P２＝l,∴BC＝lsinα． 在 Rt△ACP１ 中, AC CP１ ＝ AClcosα＝tan (９０°－α), ∴AC＝lcos ２α sinα ,则BA＝AC－BC＝lcos ２α sinα－lsinα ＝l (cos２α－sin２α) sinα ＝ lcos２α sinα ． 答案:lsinα　lcos２αsinα ９．C　[由余弦定理可得(２ ３)２＝AB２＋４２－２×４􀅰AB􀅰cos６０°, 整理得AB２－４AB＋４＝０,解得AB＝２,∴△ABC 的面积S＝ １ ２AC 􀅰AB􀅰sinA＝１２×４×２× ３ ２＝２ ３． 故选 C．] １０．C　[由余弦定理可得a２＝b２＋c２－２bccosA,而三角形面 积为１ ２bcsinA , 故 ３(b ２＋c２－２bccosA－b２－c２) ４ ＝ １ ２bcsinA , 整理得到tanA＝－ ３,又A∈(０,π),故A＝２π３． 故选 C．] １１．解:(１)２sinC＝３sinA,∴２c＝３a,又∵c＝a＋２, ∴a＝４,b＝５,c＝６． cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ３ ４ ,在△ABC中得sinA＝ ７４ , S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １５ ７ ４ ． (２)由△ABC 为钝角三角形,b＝a＋１,c＝a＋２,得c边最 大,所以C角最大 cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ a２＋(a＋１)２－(a＋２)２ ２a(a＋１) ＜０ , 得a２－２a－３＜０, 所以－１＜a＜３,因为a为正整数,所以a＝１或a＝２, 当a＝１时,b＝２,c＝３,此时a＋b＝c,与题不符 ∴存在正整数a＝２,使得△ABC为钝角三角形． １２．解:(１)在△OBC 中,BC＝４(３－１),OB＝OC＝４ ２,所以 由余弦 定 理 得 cos∠BOC＝OB ２＋OC２－BC２ ２OB􀅰OC ＝ ３ ２ ,所 以 ∠BOC＝π６ ,于是BC︵ 的长为 π６􀅰４ ２＝ ２ ２ ３ π． (２)设∠AOC＝θ,θ∈ ０,２π３( ) ,则∠BOC＝ ２π ３－θ , S四边形OACB＝S△AOC ＋S△BOC ＝ １ ２ ×４ ２×４ ２sinθ＋ １ ２ × ４ ２×４ ２􀅰sin ２π３－θ( )＝２４sinθ＋８ ３cosθ ＝１６ ３sinθ＋π６( ) ,由于θ∈ ０, ２π ３( ) , 所以θ＋π６∈ π ６ ,５π ６( )．所以１６ ３sinθ＋ π ６( ) ∈ (８ ３,１６ ３],所以四边形OACB面积的最大值为１６ ３． 新题快递 １．ABC　[由正弦定理可得a∶b∶c＝２∶３∶ ７．设a＝２m,b＝ ３m,c＝ ７m(m＞０), ∴S＝ １４ ７m ２􀅰４m２－ ７m ２＋４m２－９m２ ２( ) ２ [ ] ＝３ ３２ m ２＝６ ３,解得m＝２, ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝４＋６＋２ ７＝１０＋２ ７,故 A 正确;由余弦定理得cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ １６＋３６－２８ ２×４×６ ＝ １ ２ , ∵C∈(０,π),∴C＝π３ ,∵A＋B＋C＝π,∴A＋B＝２π３ ,∴２C ＝A＋B,故 B 正 确;由 正 弦 定 理 知,△ABC 外 接 圆 的 直 径 ２R＝ csinC＝ ２ ７ sin π３ ＝４ ２１３ ,故 C正确;由中线定理得a２＋ b２＝１２c ２＋２CD２,即CD２＝ １２ × １６＋３６－ １ ２×２８( ) ＝１９, ∴CD＝ １９,故 D错误．故选 ABC．] ２．解析:设四门通天铜雕PQ 的高度h m, 由∠PAQ＝ π６ ,∠PBQ＝ π４ ,∠PCQ＝ π３ ,可 得AQ＝ ３h,BQ＝h,CQ＝ ３３h , 在△ABC中,因为∠ABQ＋∠QBC＝π, 所以cos∠ABQ＝－cos∠QBC, 可得AB ２＋BQ２－AQ２ ２AB􀅰BQ ＝－ BC２＋BQ２－CQ２ ２BC􀅰BQ , 即４００＋h ２－(３h)２ ２×２０×h ＝－ ４００＋h２－ ３ ３h æ è ç ö ø ÷ ２ ２×２０×h ,解得h＝１０ ６, 所以四门通天铜雕的高度为１０ ６m． 答案:１０ ６m 假期作业２２ 思维整合室 １．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ±sinαsinβ　 tanα±tanβ １∓tanαtanβ 　２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　１－２sin２α 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．ABC　 [对 于 A,tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ tan(２５°＋３５°)(１－tan２５°tan３５°)＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３－ ３tan２５°tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３; 对于B,２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°)＝２(sin３５°cos２５°＋ cos３５°sin２５°)＝２sin６０°＝ ３; 对于 C,１＋tan１５°１－tan１５°＝ tan４５°＋tan１５° １－tan４５°tan１５°＝tan６０°＝ ３ ; 对于D, tanπ６ １－tan２ π６ ＝１２× ２tanπ６ １－tan２ π６ ＝１２×tan π ３＝ ３ ２． 综上,式子的运算结果为 ３的选项为 ABC．故选 ABC．] ３．A　[原式＝ １２tan１５° １－tan２１５° ＝ １tan３０°＝ ３． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ００１ ４．解析:∵０＜α＜π, ∴tanα２＝ １－cosα １＋cosα＝ sinα １＋cosα , ∴(１＋cosα)tanα２＝sinα． 又∵cos ３π２－α( )＝－sinα,且１－cosα＝２sin ２α ２ , ∴原式＝－sinα－sinα ２sin２α２ ＝ －２sinα ２ sinα２ ＝－ ２ ２sinα２ cos α ２ sinα２ ∵０＜α＜π,∴０＜α２＜ π ２ ,∴sinα２ ＞０． ∴原式＝－２ ２cosα２． 答案:－２ ２cosα２ ５．B　 ６．B　[因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin ２(α＋β)＝１－２× ２ ３( ) ２ ＝１９． ] ７．D　 [由 半 角 公 式 可 知 sin２ α２ ＝ １－cosα ２ ,解 得 sin α２ ＝ ５－１４ ． ] ８．解析:tanα＝tan α－π４( )＋ π ４[ ] ＝ tanα－π４( )＋tan π ４ １－tanα－π４( ) 􀅰tan π ４ ＝ １ ６＋１ １－１６ ＝７５． 答案:７ ５ ９．B　[由题意知f(x)＝ ３２sinx＋４× １＋cosx ２ ＝ ３ ２sinx＋ ２cosx＋２＝５２sin (x＋φ)＋２ 其中tanφ＝ ４ ３( ) ,又因为x∈ R,所以f(x)的最大值为９２． ] １０．解析:因为f(x)＝ ２sinx２cos x ２－ ２sin ２ x ２ ＝ ２ ２ (sinx ＋cosx－１)＝sin x＋π４( ) － ２ ２ ,所以函数f(x)的最小正 周期为２π;因为x∈ －π,０[ ] ,所以x＋ π４ ∈ － ３π ４ ,π ４[ ] , 则当x＋π４＝－ π ２ ,即x＝－３π４ 时,函数f(x)在区间[－π,０] 上取最小值－１－ ２２． 答案:２π　－１－ ２２ １１．解:(１)∵f(x)＝OA→􀅰OB→＝sinx＋sinxcosx＋sin２x－sinx ＝ ２２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ ,∴当２x－ π４＝２kπ＋ π ２ (k∈Z), 即x＝kπ＋３π８ (k∈Z)时,f(x)取得最大值１＋ ２２ ,f(x)的最 小正周期为π． (２)∵f(x)＝ ２２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ , ∴当２kπ－π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 即kπ－π８≤x≤kπ＋ ３π ８ ,k∈Z时,函数f(x)为增函数． ∴f(x)的单调递增区间为 kπ－π８ ,kπ＋３π８[ ](k∈Z)． １２．解:(１)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) , 得sinα＝－４５ ,所以sin(α＋π)＝－sinα＝４５． (２)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) ,得cosα＝－ ３ ５ , 由sin(α＋β)＝ ５ １３ ,得cos(α＋β)＝± １２ １３． 由β＝(α＋β)－α,得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα, 所以cosβ＝－ ５６ ６５ 或cosβ＝ １６ ６５． 新题快递 １．A 　 [f (x)＝ ３２ sin ２x＋ π ３( ) ＋cos ２ x＋π６( ) ＝ ３ ２ sin ２x＋π３( ) ＋ １ ２ １＋cos２x＋ π ３( )[ ] ＝ ３ ２sin ２x＋ π ３( ) ＋ １ ２ cos ２x＋ π ３( ) ＋ １ ２ ＝ sin ２x＋ π ３＋ π ６( ) ＋ １ ２ ＝ sin ２x＋π３＋ π ６( )＋ １ ２＝cos２x＋ １ ２ , 所以g(x)＝cos２(x－φ)＋ １ ２＝cos (２x－２φ)＋ １ ２ , 因为函数g(x)的图象关于x＝π６ 对称,所以２×π６－２φ＝kπ (k ∈Z), 所以φ＝ π ６－ kπ ２ (k∈Z),因为φ＞０,所以k＝０时,φ＝ π ６ 最小．] ２．解析:sin ２α＋π４( )＝ ２ ２ (sin２α＋cos２α) ＝ ２２ ２sinαcosα＋cos２α－sin２α sin２α＋cos２α ＝ ２２ ２tanα＋１－tan２α tan２α＋１ ＝ ２２× －４３＋１－ ４ ９ ４ ９＋１ ＝－７ ２２６ , 答案:－７ ２２６ 假期作业２３ 思维整合室 １．(１)a　b　(２)＝　≠　＝　≠　(３)a＝c且b＝d　(４)a＝c且b ＝－d　(５)|z|　|a＋bi| ３．(１)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋(ad ＋bc)i　④ac＋bd c２＋d２ ＋bc－ad c２＋d２ i　(２)z２＋z１　z１＋(z２＋z３) 技能提升台　素养提升 １．B　[由题意,z＝１－i,则z２＝(１－i)２＝－２i;z＋ii ＝ １－i＋i i ＝ １ i ＝ －i －i２ ＝－i,是纯虚数;|z|＝ ２;i(z＋i)＝i(１－i＋i)＝i,是纯虚 数．故选B．] ２．BD　[∵z＝ ２１－i＝ ２(１＋i) (１－i)(１＋i)＝１＋i , ∴|z|＝ ２,z２＝２i,z的共轭复数为１－i,z的虚部为１．故 A,C 错,B,D正确． ３．B　[由a＋３i＝(b＋i)i,得a＋３i＝bi－１,复数相等定义,知a＝ －１,b＝３,故选B．] ４．D　[z在复平面对应的点是(－１,３),根据复数的几何意义,z ＝－１＋ ３i,由共轭复数的定义可知,z＝－１－ ３i．] ５．A　[由题知(１＋３i)(３－i)＝３－i＋９i－３i２＝６＋８i,所以该复数 在复平面内对应的点为(６,８),位于第一象限．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １０１