假期作业20 正弦定理-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

９．C　[△ABC的三边上的高满足h１∶h２∶h３＝ １ ６∶ １ ５∶ １ ４ , 故可得对应的边长之比为６∶５∶４,可设△ABC的三边分别 为６m,５m,４m(m＞０),则６m 所对的角最大,故由余弦定理 可得最大角的余弦值为２５m ２＋１６m２－３６m２ ２×５m×４m ＝ １ ８． 故选 C．] １０．解析:因为c＝２b,所以sinC＝２sinB＝ ３４ ,所以sinB＝ ３ ８． 因为c＝２b,所以b２＋bc＝３b２＝２a２,所以a＝ ６２b． 所以cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ ３ ２b ２＋４b２－b２ ２ ６b２ ＝３ ６８ ． 答案:３ ８　 ３ ６ ８ １１．解:(１)因为b ２＋c２－a２ cosA ＝ ２bccosA cosA ＝２bc＝２ ,所以bc＝１; (２)acosB－bcosAacosB＋bcosA－ b c ＝ sinAcosB－sinBcosA sinAcosB＋sinBcosA－ sinB sinC ＝１, 所以sin(A－B) sin(A＋B)－ sinB sinC＝ sin(A－B)－sinB sinC ＝１ , 所以sin(A－B)－sinB＝sinC＝sin(A＋B), 所以sinAcosB－sinBcosA－sinB ＝sinAcosB＋sinBcosA, 即cosA＝－１２ ,由A 为三角形内角得A＝２π３ , △ABC面积S＝１２bcsinA＝ １ ２×１× ３ ２＝ ３ ４． １２．解:(１)由已知条件得:sin２B＋sinAsin２B ＝cosA＋cosAcos２B, 所以sin２B＝cosA＋cosAcos２B－sinAsin２B ＝cosA＋cos(A＋２B) ＝cos[π－(B＋C)]＋cos[π－(B＋C)＋２B] ＝－cos(B＋C)＋cos[π＋(B－C)] ＝－２cosBcosC, 所以２sinBcosB＝－２cosBcosC, 即(sinB＋cosC)cosB＝０, 由已知条件得１＋cos２B≠０,则B≠π２ ,可得cosB≠０, 所以sinB＝－cosC＝１２ ,又０＜B＜π３ ,所以B＝π６． (２)由(１)知sinB＝－cosC＞０,则 π２ ＜C＜π ,０＜B＜ π２ , sinB＝sin C－π２( )＝－cosC, sinA＝sin(B＋C)＝sin ２C－π２( )＝－cos２C, 由正弦定理a ２＋b２ c２ ＝sin ２A＋sin２B sin２C ＝cos ２２C＋cos２C sin２C ＝ (１－２sin２C)２＋(１－sin２C) sin２C ＝２＋４sin ４C－５sin２C sin２C ＝ ２ sin２C ＋４sin２C－５ ≥２ ２ sin２C 􀅰４sin２C－５＝４ ２－５, 当且仅当sin２C＝ ２２ 时,等号成立, 所以a ２＋b２ c２ 的最小值为４ ２－５． 新题快递 １．D　[∵AB＝３,AC＝４,BC＝５,满足３２＋４２＝５２,∴∠BAC ＝９０°,故cos∠ABC＝３５ , ∵AD 是∠BAC的角平分线,∴BDDC＝ AB AC＝ ３ ４ ,∴BD＝ ３７ ×５＝１５７ , 在△ABD 中,由余弦定理AD２＝AB２＋BD２－２AB􀅰BD􀅰 cos∠ABD, 得AD２＝３２＋ １５７( ) ２ －２×３×１５７× ３ ５＝ ２８８ ４９ , 解得AD＝１２ ２７ 或者AD＝－１２ ２７ (舍去)．] ２．解析:由余弦定理可得a２＝b２＋c２－２bccosA,即６４＝b２＋４９ －２×b×７×１７＝b ２－２b＋４９, 故b２－２b－１５＝０,解得b＝－３(舍)或b＝５, 因为cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ,所以cosC＝６４＋２５－４９２×８×５ ＝ １ ２ ,又 C∈(０,π),故C＝π３． 答案:５　π３ 假期作业２０ 思维整合室 １．asinA＝ b sinB＝ c sinC　２． 元素　解三角形 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．B　[由正弦定理可得 b＝asinBsinA ＝ ２×１２ ２ ２ ＝ ２． 设△ABC外接圆的半径为R, 则２R＝ asinA＝ ２ ２ ２ ＝２ ２,所以R＝ ２,故选B．] ３．B　[因为B＝２π３ ,C＝π６ ,所以A＝π６ ,则B 对的边最大,由 a sinA＝ b sinB ,可得b＝asinBsinA ＝ ５× ３２ １ ２ ＝５ ３,故选B．] ４．解析:因为cosA＝２ ２３ ,０＜A＜π,所以sinA＝ １－cos２A ＝１３ ,所以由正弦定理得a＝bsinAsinB ＝ ５ ２ ３ ． 答案:５ ２ ３ ５．D　　６．B　　７．C ８．解析:由 asinA＝ b sinB ,得sinB＝basinA＝ ２１ ７ , 又a２＝b２＋c２－２bccosA,∴c２－２c－３＝０,解得c＝３． 答案: ２１ ７ 　３ ９．BD　[将a＝２RsinA,b＝２RsinB(R 为△ABC 外接圆的半 径)代入已知条件,得sin２AtanB＝sin２BtanA,则sin ２AsinB cosB ＝sinAsin ２B cosA ． 因为sinAsinB≠０,所以sinAcosB＝ sinB cosA , 所以sin２A＝sin２B,所以２A＝２B 或２A＝π－２B, 所以A＝B 或A＋B＝π２ ,故△ABC为等腰三角形或直角三 角形．] １０．解析:如图所示:记AB＝c,AC＝b, BC＝a, ２２＋b２－２×２×b×cos６０°＝６, 因为b＞０,解得:b＝１＋ ３, 由S△ABC＝S△ABD ＋S△ACD 可得, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８９ １ ２×２×b×sin６０°＝ １ ２×２×AD×sin３０°＋ １ ２×AD×b×sin３０° , 解得:AD＝ ３b １＋b２ ＝２ ３ (１＋ ３) ３＋ ３ ＝２． 答案:２ １１．解:(１)因为A＋B＝３C,所以A＋B＝３(π－A－B),所以A ＋B＝３π４ ,所以C＝π４ , 另外,由题意得:２sin(A－C)＝sin(A＋C), 即２sinAcosC－２cosAsinC ＝sinAcosC＋cosAsinC, 所以sinA＝３cosA,变形得sin２A＝９(１－sin２A)．故sinA ＝３ １０１０ ． (２)由sinA＝３cosA, 得cosA＝１３sinA＝ １０ １０ , 所以sinB＝sin(A＋C)＝３ １０１０ × ２ ２＋ １０ １０ × ２ ２＝ ２ ５ ５ , 由 AC sinB＝ AB sinC ,解得AC＝２ １０, 所以S△ABC＝ １ ２×５×２ １０× ３ １０ １０ ＝１５ , 设AB 边上的高为h,则 １２AB 􀅰h＝１５,解得h＝６．故 AB 边上的高为６． １２．解:(１)因为S△ABC ＝２S△ADC ＝２× １ ２ × a ２ ×１×sin６０°＝ ３ ４a＝ ３ ,解得a＝４, 在△ADC中由余弦定理得b２＝１２＋２２－２×１×２×cos π３ ＝３, 在△ABD中,c２＝１２＋２２－２×１×２×cos２π３＝７ , 在△ABC中,cosB＝c ２＋a２－b２ ２ca ＝ ７＋１６－３ ２ ７×４ ＝ ５ ２ ７ ,sinB ＝ １－cos２B＝ ３ ２ ７ ,因此tanB＝sinBcosB＝ ３ ５． (２)在 △ABC 中,由 中 线 长 公 式 可 得 (２AD)２ ＋BC２ ＝ ２(AB２＋AC２),即２２＋a２＝２(b２＋c２)＝１６,所以a２＝１２,又 S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ ３ ,因而bcsinA＝２ ３,又由余弦定理 得a２＝b２＋c２－２bccosA,即１２＝８－２bccosA,所以bccosA＝ －２,故tanA＝－ ３⇒cosA＝－ １２ ,所以bc＝４,又b２＋ c２＋２bc＝８＋８＝１６＝(b＋c)２,b２＋c２－２bc＝８－８＝０＝ (b－c)２,故可得b＝c＝２． 新题快递 １．D　[在△ABC 中,由已知可得,sinA＝ １－cos２A＝３５． 又cosA＝４５＞０ ,所以 A为锐角． 由正弦定理可得,BC sinA＝ AB sinC , 所以,sinC＝ABsinABC ＝ ３ ５x ２ ＝ ３ １０x． 要使命题p是真命题,则C有唯一满足条件的解． 若０＜x＜２,则sinC＜３５ ,显然C有唯一满足条件的解; 若x＝２,则C＝A,满足; 若x＞２,且sinC＜１,即３１０x＜１ , 即２＜x＜１０３ ,此 时 C 有 两 解 满 足 条 件,此 时 命 题 p 是 假 命题; 当x＝１０３ 时,此时有sinC＝１,C＝π２ 有唯一解,满足; 当x＞１０３ 时,此时有sinC＞１,显然C无解,不满足． 综上所述,当０＜x≤２或x＝１０３ 时,命题p是真命题．] ２．AD　[对于 A,由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶ c,所以sinA,sinB,sinC 作为三条线段的长一定能构成三 角形,A正确,对于B,由正弦定理得 １sinA∶ １ sinB∶ １ sinC＝ １ a∶ １ b∶ １ c ,例如a＝５,b＝１２,c＝１３,则 １a ＝ １ ５ ,１ b ＝ １ １２ , １ c＝ １ １３ ,由于１ a＝ １ ５＝ ２５ １２５ ,１ c ＋ １ b ＝ １ １２＋ １ １３＝ ２５ １５６ ,１ c ＋ １ b＜ １ a ,故不能构成三角形的三条边长,故B错误, 对于 C,由正弦定理得sin２A∶sin２B∶sin２C＝a２∶b２∶c２, 例如:a＝３、b＝４、c＝５,则a２＝９、b２＝１６、c２＝２５, 则a２＋b２＝２５＝c２,sin２A,sin２B,sin２C作为三条线段的长不 能构成三角形,C不正确; 对于 D,由正弦定理可得 sinA∶ sinB∶ sinC＝ a∶ b∶c,不妨设a＜b＜c,则a＋b＞c,故 a＜b＜c,且(a＋ b)２－(c)２＝a＋b－c＋２ ab＞２ ab＞０,所以(a＋ b) ＞c,故 D正确．] 假期作业２１ 思维整合室 １．解三角形　３．(２)１２bcsinA　 １ ２casinB 技能提升台　素养提升 １．C　２．B　 ３．B　[如图所示建立平面直角坐标系,假设|OE|＝|OG|＝ ４４１,OF⊥EG, 由题 意 易 知|OF|＝ ２２ ×５８８＝２９４ ２ ,则|GF|＝ |OG|２－|OF|２＝ ２１６０９＝１４７, 所以该基 地 受 热 带 风 暴 中 心 影 响 的 时 长|EG| ２１ ＝ １４７×２ ２１ ＝１４．] ４．解析:在△ABC中,AB＝４０,AC＝２０,∠BAC＝１２０°, 由余弦定理得BC２＝AB２＋AC２－２AB􀅰AC􀅰cos１２０° ＝２８００⇒BC＝２０ ７． 由正弦定理,得 AB sin∠ACB＝ BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB＝ABBC 􀅰sin∠BAC＝ ２１７ ． 由∠BAC＝１２０°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB＝２ ７７ ． 由θ＝∠ACB＋３０°,得cosθ＝cos(∠ACB＋３０°) ＝cos∠ACBcos３０°－sin∠ACBsin３０°＝ ２１１４ ． 答案: ２１ １４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９９ 　　　　　 假期作业２０　正弦定理　　　　　　　 １．正弦定理 在△ABC中,若角A,B,C 对应的三边分别 是a,b,c,则各边和它所对角的正弦的比相 等,即　　　　　．正弦定理对任意三角形 都成立． ２．解三角形 一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们 的对边a,b,c叫做三角形的　　　　　　． 已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫做　　　　　　． ３．正弦定理的常见变形 (１)a＝２RsinA,b＝２RsinB,c＝２RsinC,其中 R 为△ABC外接圆的半径． (２)sinA＝a２R ,sinB＝ b２R ,sinC＝ c２R (R 为 △ABC外接圆的半径)． (３)三角形的边长之比等于对应角的正弦比, 即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (４) a＋b＋csinA＋sinB＋sinC ＝ a sinA ＝ b sinB ＝ csinC． (５)asinB＝bsinA,asinC＝csinA,bsinC＝ csinB． ◆[考点一]　已知两角及一边解三角形 １．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,已知A∶B∶C＝１∶２∶３,则a∶b∶c＝ (　　) A．１∶２∶３　　　　　　B．１∶２∶ ３ C．１∶ ３∶２ D．２∶ ３∶１ ２．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a, b,c．若a＝２,A＝４５°,B＝３０°,则b的值及 △ABC外接圆的半径分别为 (　　) A．２,２ ２　　　　　　B．２,２ C．２ ２,２ D．２ ２,２ ２ ３．在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c．若B＝２π３ ,C＝π６ ,a＝５,则此三角形 的最大边长为 (　　) A．３ ３ B．５ ３ C．５ ５２ D．２１ ４．在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c．若b＝５,B＝π４ ,cosA＝２ ２３ ,则a＝ 　　　　． ◆[考点二]　已知两边及一边的对角解三 角形 ５．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,a＝８ ３,b＝６,A＝６０°,则sinB＝ (　　) A．２３ B． ６ ３ C． ２ ２ D． ３ ８ ６．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,若a＝ ２,B＝４５°,b＝２则A＝ (　　) A．３０°或１５０° B．３０° C．１５０° D．４５° ７．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,a＝１５,b＝１８,A＝３０°,则此三角形解的个 数为 (　　) A．０ B．１ C．２ D．不能确定 ８．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a, b,c．若a＝ ７,b＝２,A＝６０°,则sinB＝ 　　　　,c＝　　　　． ◆[考点三]　正弦定理的综合应用 ９．(多选)在△ABC中,已知a２tanB＝b２tanA,则 △ABC的形状可能是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 １０．(２０２３􀅰全国甲卷(理))已知△ABC 中, ∠BAC＝６０°,AB＝２,BC＝ ６,∠BAC的角平 分线交BC于点D,则AD＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８４ １１．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)已知在△ABC 中,A ＋B＝３C,２sin(A－C)＝sinB． (１)求sinA; (２)设AB＝５,求AB 边上的高． １２．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)记△ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的 面积为 ３,D 为BC 的中点,且AD＝１． (１)若∠ADC＝π３ ,求tanB; (２)若b２＋c２＝８,求b,c． １．命题p:“若△ABC 与△DEF 满足:AB＝ DE＝x,BC＝EF＝２,cosA＝cosD＝４５ ,则 △ABC≌△DEF”．已知命题p是真命题, 则x的值不可以是 (　　) A．１　　　B．２　　　C．１０３　　　D． ７ ３ ２．(多选)若△ABC 的三个内角A,B,C 的正 弦值为sinA,sinB,sinC,则 (　　) A．sinA,sinB,sinC 一定能构成三角形的 三条边 B． １sinA , １ sinB , １ sinC 一定能构成三角形的 三条边 Csin２A,sin２B,sin２C．一定能构成三角形的 三条边 D．sinA,sinB,sinC一定能构成三角形 的三条边 数学魔术家 １９８１年,印度的一位名叫沙贡塔娜的３７ 岁妇女,凭借心算与一台先进的电子计算机展 开竞赛．题目是求一个２０１位数的２３次方根． 但令人惊奇的是,沙贡塔娜只用了５０秒钟就 报出了正确的答案．而计算机得出同样的结 果,花费的时间要多得多．这一奇闻,在国际上 引起了轰动,沙贡塔娜被称为“数学魔术家”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９４