假期作业19 余弦定理-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　　假期作业１９　余弦定理　　　　　　　　　 １．余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍,即a２＝b２＋c２－２bccosA,b２ ＝　　　　,c２＝　　　　． ２．余弦定理的推论 从余弦定理,可以得到它的推论 cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc , cosB＝　　　　　　　　; cosC＝　　　　　　　　． ３．余弦定理与勾股定理 从余弦定 理 和 余 弦 函 数 的 性 质 可 知,如 果一个三角形两边的平方和等于第三边 的平方,那 么 第 三 边 所 对 的 角 是 　 　 　 　 　;如 果 小 于 第 三 边 的 平 方,那 么 第 三边所对的角是　　　　 　;如果大于 第三边的 平 方,那 么 第 三 边 所 对 的 角 是 　　　 　 　．从 上 可 知,余 弦 定 理 可 以 看作是勾股定理的推广． ◆[考点一]　已知两边及一角解三角形 １．一个三角形的两边长分别为５和３,它们夹 角的余弦值是－３５ ,则三角形的第三边长为 (　　) A．５２ B．２１３ C．１６ D．４ ２．在△ABC中,cosC＝２３ ,AC＝４,BC＝３,则 cosB＝ (　　) A．１９ B． １ ３ C．１２ D． ２ ３ ３．设△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a, b,c．若a＝２,c＝２ ３,cosA＝ ３２ ,且b＜c, 则b＝ (　　 ) A．３ B．２ C．２ ２ D．３ ４．在△ABC中,BC＝３,AC＝５,π２＜B＜π ,则 边AB 的取值范围是 (　　) A．(２,８) B．(１,４) C．(４,＋∞) D．(２,４) ◆[考点二]　已知三边或三边的关系解三 角形 ５．如果等腰三角形的周长是底边长的５倍,那 么它的顶角的余弦值为 (　　) A．５１８ B． ３ ４ C．３２ D． ７ ８ ６．若△ABC的三边长分别为AB＝７,BC＝５, CA＝６,则AB →􀅰BC → 的值为 (　　) A．１９ B．１４ C．－１８ D．－１９ ７．边长为５,７,８的三角形的最大角与最小角 的和是 (　　) A．７５° B．９０° C．１３５° D．１２０° ８．(２０２３􀅰上海卷)△ABC 中,角A,B,C 所对 的边 分 别 为a＝４,b＝５,c＝６,则 sinA ＝　　　　． ◆[考点三]　余弦定理的综合应用 ９．△ABC的三边上的高分别为h１,h２,h３．若 h１∶h２∶h３＝ １ ６∶ １ ５∶ １ ４ ,则最大角的余弦 值为 (　　) A．１６ B． １ ７ C．１８ D． １ ９ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６４ １０．在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别 是a,b,c,已知c＝２b．若sinC＝３４ ,则sinB ＝　　　　;若b２＋bc＝２a２,则cosB＝ 　　　　． １１．(２０２３􀅰全国甲卷(理))记△ABC 的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知b ２＋c２－a２ cosA ＝２． (１)求bc; (２)若acosB－bcosAacosB＋bcosA－ b c ＝１ ,求△ABC 面积． １２．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,已知 cosA１＋sinA ＝ sin２B１＋cos２B． (１)若C＝２π３ ,求B; (２)求a ２＋b２ c２ 的最小值． １．三角形内角平分线定理:三角形的内角平分 线内分对边,所得的两条线段与这个角的两 边对 应 成 比 例．已 知 △ABC 中,AD 为 ∠BAC的角平分线,与BC交于点D,AB＝ ３,AC＝４,BC＝５,则AD＝ (　　) A．２２７　　B． １５ ７　　C． １５ ２ ７ 　　D． １２ ２ ７ ２．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a, b,c．若a＝８,c＝７,cosA＝１７ ,则b＝　　　, C＝　　　． 一哥们家里着火了 他报 警 说:１１９ 吗? 我 家 发生火灾了􀆺􀆺 １１９问:在哪里? 他说:在我家 １１９问:具体点 他说:在我家的厨房里 １１９问:我说你现在的位置 他说:我趴在桌子底下 １１９:我们怎样才能到你家? 他说:你们不是有消防车吗 １１９说:烧死你个二百五算了􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７４ ５．ABC　[|a＋b|＝|a－b|⇔|a＋b|２＝|a－b|２⇔a２＋２a􀅰b ＋b２＝a２－２a􀅰b＋b２⇔a􀅰b＝０,a２＋b２＝(a－b)２⇔a２＋b２ ＝a２－２a􀅰b＋b２⇔a􀅰b＝０．] ６．B　[向量a,b满足a＋b＝(２,３), a－b＝(－２,１), 所以|a|２－|b|２＝(a＋b)􀅰(a－b)＝２×(－２)＋３×１＝ －１．] ７．D　[(a＋λb)􀅰(a＋μb)＝a ２＋(λ＋μ)(a􀅰b)＋λμb ２ ＝２(１＋λμ)＝０,所以λμ＝－１．] ８．解析:c＝a＋kb＝(３,１)＋k(１,０)＝(k＋３,１),由a⊥c得a􀅰 c＝０,所以３(k＋３)＋１＝０,解得k＝－１０３． 答案:－１０３ ９．D　[由a＋b＋c＝０得a＋b＝－c,所以(a＋b)２＝(－c)２, 即a２＋２a􀅰b＋b２＝c２,又|a|＝|b|＝１,|c|＝ ２, 所以a􀅰b＝０,所以a⊥b． 如图所示:a－c＝CA →,b－c＝CB→,由 余弦定理得|CA|＝|CB|＝ ５,所 以 cos∠ACB＝５＋５－２ ２ ５× ５ ＝４５ , 即cos‹a－c,b－c›＝４５． ] １０．解析:由向量a,b的夹角为 π３ ,且(a－b)⊥b, 得(a－b)􀅰b＝a􀅰b－b２＝１２|a||b|－|b| ２＝０, 所以|a|＝２|b|,|a||b|＝２． 因为|a＋b|＝ (a＋b)２＝ a２＋２a􀅰b＋b２ ＝ ４|b|２＋２|b|２＋|b|２＝ ７|b|, |a－b|＝ (a－b)２＝ a２－２a􀅰b＋b２ ＝ ４|b|２－２|b|２＋|b|２＝ ３|b|, 所以|a＋b| |a－b|＝ ２１ ３ ． 答案:２　 ２１３ １１．解:如图所示,建立直角坐标系,显然EF 是AM 的中垂线,设 AM 与EF 交 于 点 N,则 N 是AM 的中点,又正方形边长为 ８,所以 M(８,４),N(４,２)． 设点E(e,０),则AM→＝(８,４),AN→＝(４, ２),AE→＝(e,０),EN→＝(４－e,２), 由AM→⊥EN→,得AM→􀅰EN→＝０,即(８,４)􀅰(４－e,２)＝０,解 得e＝５,即|AE→|＝５． 所以S△AEM ＝ １ ２|AE →||BM→|＝１２×５×４＝１０． １２．解:(１)∵AB→􀅰AC→＝０,∴AB→⊥AC→． 又|AB→|＝１２,|BC→|＝１５,∴|AC→|＝９． 由已知可得AD→＝１２(AB →＋AC→),CB→＝AB→－AC→, ∴AD→􀅰CB→＝１２(AB →＋AC→)􀅰(AB→－AC→) ＝１２ (AB２→－AC２→)＝１２(１４４－８１)＝ ６３ ２． (２)AE→􀅰CB→ 的值为一个常数． 理由:∵l为线段BC 的垂直平分线,l与BC 交于点D,E 为l上异于D 的任意一点,∴DE→􀅰CB→＝０． 故AE→􀅰CB→＝(AD→＋DE→)􀅰CB→＝AD→􀅰CB→＋DE→􀅰CB→＝ AD→􀅰CB→＝６３２(常数)． 新题快递 １．解析:由|a＋b|＝|２a－b|,得a２＝２a􀅰b; 由|a－b|＝ ３,得a２－２a􀅰b＋b２＝３,即b２＝３, |b|＝ ３． 答案:３ ２．A　[设正方形的边长为２,如图 建立平面直角坐标系． 则A(－１,０),B(１,０),C(１,２), D(－１,２),P(cosθ,sinθ)(其中０ ＜θ＜π), PA→＋PB→ ＋PC→ ＋PD→ ＝(－１－ cosθ,－sinθ)＋(１－cosθ,－sinθ) ＋(１－cosθ,２－sinθ)＋(－１－ cosθ,２－sinθ)＝(－４cosθ,４－ ４sinθ) 所以|PA→＋PB→＋PC→＋PD→|＝ (－４cosθ)２＋(４－４sinθ)２ ＝ ３２－３２sinθ, 因为θ∈(０,π),所以sinθ∈(０,１],所以|PA→＋PB→＋PC→＋ PD→|∈[０,４ ２), 故|PA→＋PB→＋PC→＋PD→|有最小值为０,无最大值．] 假期作业１９ 思维整合室 １．a２＋c２ －２accosB　a２ ＋b２ －２abcosC　２．c ２＋a２－b２ ２ca 　 a２＋b２－c２ ２ab 　３． 直角　钝角　锐角 技能提升台　素养提升 １．B　 ２．A　[如图,由余弦定理可知: cosC＝２３＝ BC２＋AC２－AB２ ２BC􀅰AC ＝３ ２＋４２－AB２ ２×３×４ , 可得AB＝３,又由余弦定理可知: cosB＝AB ２＋BC２－AC２ ２AB􀅰BC ＝ ３２＋３２－４２ ２×３×３ ＝ １ ９． 故选 A．] ３．B　 ４．D　[依题意,５－３＜c＜５＋３,即２＜c＜８, 由于B 为钝角,所以cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＜０ ,a２＋c２－b２＝９ ＋c２－２５＝c２－１６＜０ 解得２＜c＜４, 所以c的取值范围,也即AB 的取值范围是(２,４)．] ５．D　 ６．D　[设三角形的三边分别为a,b,c,依题意,得a＝５,b＝６, c＝７． ∴AB→􀅰BC→＝|AB→|􀅰|BC→|􀅰cos(π－B)＝－ac􀅰cosB． 由余弦定理得b２＝a２＋c２－２ac􀅰cosB, ∴－ac􀅰cosB＝１２ (b２－a２－c２)＝１２ (６２－５２－７２)＝－１９, ∴AB→􀅰BC→＝－１９．] ７．D　[边长为７的边所对的角α满足cosα＝５ ２＋８２－７２ ２×５×８ ＝ １ ２ ,∵０°＜α＜１８０°,∴α＝６０°,∴边长为５,７,８的三角形的最 大角与最小角的和是１８０°－６０°＝１２０°．故选 D．] ８．解析:cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ２５＋３６－１６ ２×５×６ ＝ ３ ４ , ∴sinA＝ １－cos２A＝ ７４． 答案:７ ４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７９ ９．C　[△ABC的三边上的高满足h１∶h２∶h３＝ １ ６∶ １ ５∶ １ ４ , 故可得对应的边长之比为６∶５∶４,可设△ABC的三边分别 为６m,５m,４m(m＞０),则６m 所对的角最大,故由余弦定理 可得最大角的余弦值为２５m ２＋１６m２－３６m２ ２×５m×４m ＝ １ ８． 故选 C．] １０．解析:因为c＝２b,所以sinC＝２sinB＝ ３４ ,所以sinB＝ ３ ８． 因为c＝２b,所以b２＋bc＝３b２＝２a２,所以a＝ ６２b． 所以cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ ３ ２b ２＋４b２－b２ ２ ６b２ ＝３ ６８ ． 答案:３ ８　 ３ ６ ８ １１．解:(１)因为b ２＋c２－a２ cosA ＝ ２bccosA cosA ＝２bc＝２ ,所以bc＝１; (２)acosB－bcosAacosB＋bcosA－ b c ＝ sinAcosB－sinBcosA sinAcosB＋sinBcosA－ sinB sinC ＝１, 所以sin(A－B) sin(A＋B)－ sinB sinC＝ sin(A－B)－sinB sinC ＝１ , 所以sin(A－B)－sinB＝sinC＝sin(A＋B), 所以sinAcosB－sinBcosA－sinB ＝sinAcosB＋sinBcosA, 即cosA＝－１２ ,由A 为三角形内角得A＝２π３ , △ABC面积S＝１２bcsinA＝ １ ２×１× ３ ２＝ ３ ４． １２．解:(１)由已知条件得:sin２B＋sinAsin２B ＝cosA＋cosAcos２B, 所以sin２B＝cosA＋cosAcos２B－sinAsin２B ＝cosA＋cos(A＋２B) ＝cos[π－(B＋C)]＋cos[π－(B＋C)＋２B] ＝－cos(B＋C)＋cos[π＋(B－C)] ＝－２cosBcosC, 所以２sinBcosB＝－２cosBcosC, 即(sinB＋cosC)cosB＝０, 由已知条件得１＋cos２B≠０,则B≠π２ ,可得cosB≠０, 所以sinB＝－cosC＝１２ ,又０＜B＜π３ ,所以B＝π６． (２)由(１)知sinB＝－cosC＞０,则 π２ ＜C＜π ,０＜B＜ π２ , sinB＝sin C－π２( )＝－cosC, sinA＝sin(B＋C)＝sin ２C－π２( )＝－cos２C, 由正弦定理a ２＋b２ c２ ＝sin ２A＋sin２B sin２C ＝cos ２２C＋cos２C sin２C ＝ (１－２sin２C)２＋(１－sin２C) sin２C ＝２＋４sin ４C－５sin２C sin２C ＝ ２ sin２C ＋４sin２C－５ ≥２ ２ sin２C 􀅰４sin２C－５＝４ ２－５, 当且仅当sin２C＝ ２２ 时,等号成立, 所以a ２＋b２ c２ 的最小值为４ ２－５． 新题快递 １．D　[∵AB＝３,AC＝４,BC＝５,满足３２＋４２＝５２,∴∠BAC ＝９０°,故cos∠ABC＝３５ , ∵AD 是∠BAC的角平分线,∴BDDC＝ AB AC＝ ３ ４ ,∴BD＝ ３７ ×５＝１５７ , 在△ABD 中,由余弦定理AD２＝AB２＋BD２－２AB􀅰BD􀅰 cos∠ABD, 得AD２＝３２＋ １５７( ) ２ －２×３×１５７× ３ ５＝ ２８８ ４９ , 解得AD＝１２ ２７ 或者AD＝－１２ ２７ (舍去)．] ２．解析:由余弦定理可得a２＝b２＋c２－２bccosA,即６４＝b２＋４９ －２×b×７×１７＝b ２－２b＋４９, 故b２－２b－１５＝０,解得b＝－３(舍)或b＝５, 因为cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ,所以cosC＝６４＋２５－４９２×８×５ ＝ １ ２ ,又 C∈(０,π),故C＝π３． 答案:５　π３ 假期作业２０ 思维整合室 １．asinA＝ b sinB＝ c sinC　２． 元素　解三角形 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．B　[由正弦定理可得 b＝asinBsinA ＝ ２×１２ ２ ２ ＝ ２． 设△ABC外接圆的半径为R, 则２R＝ asinA＝ ２ ２ ２ ＝２ ２,所以R＝ ２,故选B．] ３．B　[因为B＝２π３ ,C＝π６ ,所以A＝π６ ,则B 对的边最大,由 a sinA＝ b sinB ,可得b＝asinBsinA ＝ ５× ３２ １ ２ ＝５ ３,故选B．] ４．解析:因为cosA＝２ ２３ ,０＜A＜π,所以sinA＝ １－cos２A ＝１３ ,所以由正弦定理得a＝bsinAsinB ＝ ５ ２ ３ ． 答案:５ ２ ３ ５．D　　６．B　　７．C ８．解析:由 asinA＝ b sinB ,得sinB＝basinA＝ ２１ ７ , 又a２＝b２＋c２－２bccosA,∴c２－２c－３＝０,解得c＝３． 答案: ２１ ７ 　３ ９．BD　[将a＝２RsinA,b＝２RsinB(R 为△ABC 外接圆的半 径)代入已知条件,得sin２AtanB＝sin２BtanA,则sin ２AsinB cosB ＝sinAsin ２B cosA ． 因为sinAsinB≠０,所以sinAcosB＝ sinB cosA , 所以sin２A＝sin２B,所以２A＝２B 或２A＝π－２B, 所以A＝B 或A＋B＝π２ ,故△ABC为等腰三角形或直角三 角形．] １０．解析:如图所示:记AB＝c,AC＝b, BC＝a, ２２＋b２－２×２×b×cos６０°＝６, 因为b＞０,解得:b＝１＋ ３, 由S△ABC＝S△ABD ＋S△ACD 可得, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８９