假期作业18 平面向量的数量积-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

SE 5 12.解：(1)由题意得(3,2)=m(一1,2)十n(4,1), 4.解析：由条件可知十红=？，解得 5 (A-4=3 一m十4n=3·得 m= 9 所以 2 2十n=2, 8 答案：2 =9 (2)a+kc=(3十4k,2+k),2b-a=(-5,2), 5.A[建立平面直角坐标系， 由题意得2×(3十4k)一（一5）×(2十k)=0. 用三角形法则画出向量2a十b, 如图，由图可知2a十b在平面直 k=-16 13 角坐标系中的坐标为(3,4).故 新题快递 选A.] 1.ACD[设D(x+y),若AB=CD,则(1，-1)=(x-3,y-2), 6.B[由题意可知b=专[(2a+ 即仁1，解得仁1即D4,0诺应-元.则1. 1y=1. 3b)-2a]=3[6,-3)-（-4 )3-2-》,即仁8二·解科{二：即D2 {y-2=1, 3)门=(3，-2).故选B.] 7.B[设P(xy),则由AP=AB+aAC 3):若AD=CB,则(，y-1)=（-2,-2),即 得(x-2,y-3)=(2.2)十(5,7)=(2+5,2+7) 仁12.解释-：即D-2.-1.故法AD y=-1. 所以x=5入+4，y=7入+5. 2.解析：建立如下国的平面直角坐 y 又点P在直线x-2y=0上， 标系， 故5试+4-278+5)=0：解得=一号] 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3, 8.解析：设O为坐标原点， 4),EB=(3,-4), C.:0C-0-(0-0B). 由序=3F得E成= 0M) .0C=20A-OB=(3,-6). -(骨- 点C的坐标为(3，一6)， 又：C它=E可，且E在DC的延长线上， 设F,则-3y-)-(号-3 ∴C花=-E成 可部释所F(得小正 21 (y-4=-3 y=1 方法一：向量相等法 设E(xy).则(x-3,y十6)= 4--3-0 =(學小 又图为A正=AAB+uAD=6,0)+(0,4)=(6,4), -3=-4-. 8 解得=· 所以 9 y+6=- 4-3- 1 y=-7, “点E的垒标为（管-7小 答案：号 假期作业18 方法二：定比分点公式法 设E(x,y), 思维整合室 1.(1)lallbleos002.(1)b·a(3)a·b+a·c :CE-1ED,C(3,-6,D4,-30, 3.√a·a+ya|bcos0xx+4 a·b ab 则x=3-18 :+yy 1- 1-7 十·√+网 1x+yy2=0 技能提升台素养提升 点E的坐标为（停-7小 1.C[由题设可知，a-2b=3,两边平方得a2-4a·b+ 41b2=9,代入a=1,1b=√5，有1-4a·b+12=9,故4a 答案：（停-7） ·b=4,解得a·b=1.故选C.] 9.B[因为向量a=(一3,1)，b=(1,3),所以c=2a十b= 2.B[以{AB,AD为基底向量，可知AB=AD=2,AB, (-6+k,2+3k)」 AD=0 因为a∥c,所以-6十k=(2+3k)×(一3)，解得k=0.故 选B.] 则EC-EB+BC=号AB+AD,ED=EA+AD=-A店 10.解析：由a=(3,2),b=(2,一1），得n0十b=(3m十2n,2m +AD. 一n).a十2b=(7,0).因为ma+b与a+2b共线，所以14m -7m=0,解得：=2 所以成.E前=（合AB+A)·(AB+AD)=-号 答案：号 AB+AD=-1+4=3.] 11.解：AB=(-4.0).AC=(1,-1). 4解折：因为sab=子，a=1.b=3,所以a·b=ab '-4×(-1)-0×1≠0， oa:b=1X3X号=1，所以(2a+b1b=2ab+6=2 ∴.AB,AC不共线. ×1+3=11, A,B,C三点不共线 答案：11 96 三0002 高一学) 5.ABC[la+b=a-b台|a+b=a-b'=a+2a·b 新题快递 +b=a2-2ab+b=a·b=0,a2+b=(a-b)2=a+b 1.解析：由a十b=2a-b,得a=2a·b: =a-2a·b十b台a·b=0.] 由a-b=3,得a-2a·b+b=3,即6=3， 6.B[向量a.b满足a+b=(2,3), 1b1=5. a-b=(-2,1), 所以|a|2-|b|=(a十b)·(a-b)=2×(-2)十3×1= 答案：W -1.] 2.A[设正方形的边长为2，如图 7.D[(a+b)·(a+h)=a2+(a+)(a·b)+yb 建立平面直角坐标系. =2(1+)=0,所以=-1.] 则A(-1,0).B(1,0).C(1,2), 8.解析：c=a+kb=(3,1)十k(1,0)=(k+3,1),由a⊥c得a D(-1,2),P(cos0,sinθ)（其中0 <0<π). c=0,所以3(k+3)+1=0,解得k=-9 3 PA+PB+P心+P币=(-1 答案：-9 cos 0.-sin )+(1-cos 0,-sin 0) +(1-cos9.2-sin8)+(-1 9.D[由a十b十e=0得a十b=-c,所以(a十b)=(-e2, cos 0,2-sin 0)=(-4cos 0,4- 即a2+2a·b+b=c2,又|al=|b=1,c=2, 4sin 0) 所以a·b=0,所以a⊥b. 所以1PA+PB+P元+PD1=/-4cos)+(4-4sin) 如图所示：a一c=CA,b-c=CB,由 =√32-32sin0, 余弦定理得CA=CB=√5，所以 因为8e(0,r).所以sin0∈(0,1门，所以1PA+PB+P元+ cos∠ACB=5+5-24 PD1∈[0,4②)， 25X55' 故PA+PB+P元+PD有最小值为0，无最大值.] cos-cb-c0=言] 假期作业19 思维整合室 10.解析：由向量a,b的夹角为号，且(a一b)Lb: 1.+-2uccos B +2abcos C 2. 2ca 得(a-b1b=a·b-8=吉a1b-b1=0, a2+8-c2 2ab 3.直角钝角锐角 所以a-21,8-2 技能提升台素养提升 因为1a+b=√(a+b)=√a+2a·b+b 1.B 2.A[如图，由余弦定理可知： =√4b+2b+b下=7b1, cosC=名-=BC+AC-AB a-bl=/(a-b)=√/a-2a·b+b 3 2BC·AC =√4b-2b+b下=5b, -3+4-AB 2×3X4: 所以=耳 可得AB=3,又由余弦定理可知： 答案：2I mB-C表-吉选A] 2AB·BC 3 3.B 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 4.D[依题意，5-3<c<5+3,即2<c<8. 是AM的中垂线，设AM与EF交于点 N,则N是AM的中点，又正方形边长为 由于B为能角.所以0sB=0+C-位<0，a十-6=9 2ac 8,所以M(8,4),N(4,2), +c2-25=2-160 设点E(e.0),则AM=(8,4).AV=(4,o 解得2<c<4, 2).AE=(e,0).EN=(4-2), 所以c的取值范围，也即AB的取值范围是(2,4).] 5.D 由AMLEN,得AM.EN=0.即(8,4)·(4-e,2)=0.解 6.D[设三角形的三边分别为a,b,c,依题意，得a=5,b=6, 得e=5,即AE=5. c=7. 所以5=1B=×5×4=10. .AB.BC-AB1·BC·cos(x-B)=-ae·cosB. 12.解：(1)A方·AC=0,AB⊥AC 由余弦定理得b=a十2-2ac·cosB, 又AB1=12,BC=15,.AC1=9 &-ac·cosB=2W-d2-)=26-5-7)=-19 由巴知可得AD-之(Ai+AC.C市-A-AC, AB.BC=-19.] .=+0店-A 7.D[边长为7的边所对的角。满足c0sa=5十8-？ 2×5×8 =A店-AC)=号(4-8I)=2 名：0<a<180a=60边长为51.8的三角形的最 大角与最小角的和是180°一60=120°.故选D.] (2)A正·CB的值为一个常数。 理由：，1为线段BC的垂直平分线，I与BC交于点D,E 8.解析：c0sA=分+c-d_25+36-163 26c 2×5×6 4 为l上异于D的任意一点，DE·CB=0. 故AE.Ci=(AD+D)·CB=AD.CB+Di.Ci 血A--oA-停 .成-婴（常数） 答案 97　　假期作业１８　平面向量的数量积　　　　　　　　　 １．平面向量的数量积 定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹 角为θ,则数量　　　　叫做a与b 的数量 积(或内积)．规定:零向量与任一向量的数 量积为　　　　． ２．平面向量数量积的运算律 (１)交换律:a􀅰b＝　　　　; (２)数乘结合律:(λa)􀅰b＝λ(a􀅰b)＝a􀅰 (λb); (３)分配律:a􀅰(b＋c)＝　　　　　　． ３．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),‹a,b› ＝θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝　　　　 |a|＝　　　　 数量积 a􀅰b＝　　　 a􀅰b＝　　　　 　　　　　　　 夹角 cosθ＝　　　 cosθ＝　　　　 　　　　　　　 a⊥b a􀅰b＝０ 　　　　　　　 　　　　　　　 ４．向量在几何中的应用 (１)证明线段平行或点共线问题,常用共线向 量定理:a∥b⇔a＝λb⇔x１y２－x２y１＝０(b ≠０)． (２)证明垂直问题,常用数量积的运算性质: a⊥b⇔a􀅰b＝０⇔x１x２＋y１y２＝０． ◆[考点一]　平面向量数量积的运算 １．(２０２２􀅰全国乙卷)已知向量a,b满足|a|＝ １,|b|＝ ３,|a－２b|＝３,则a􀅰b＝ (　　) A．－２　　B．－１　　C．１　　D．２ ２．(２０２３􀅰全国乙卷(文))正方形ABCD 的边长 是２,E是AB的中点,则EC → 􀅰ED → ＝ (　　) A．５ B．３ C．２ ５ D．５ ３．已知非零向量a,b满足|a|＝２|b|,且(a－ b)⊥b,则a与b的夹角为 (　　) A．π６ B． π ３ C． ２π ３ D． ５π ６ ４．(２０２２􀅰全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦 值为１ ３ ,且|a|＝１,|b|＝３,则(２a＋b)􀅰b＝ 　　　　． ◆[考点二]　平面向量数量积的坐标运算 ５．(多选)已知a,b 为非零向量,且a＝(x１, y１),b＝(x２,y２),则下列命题中与a⊥b等 价的选项为 (　　) A．a􀅰b＝０ B．x１x２＋y１y２＝０ C．|a＋b|＝|a－b| D．a２＋b２＝(a＋b)２ ６．(２０２３􀅰北京卷)已知向量a、b满足a＋b＝ (２,３),a－b＝(－２,１),则|a|２－|b|２＝ (　　) A．－２ B．－１ C．０ D．１ ７．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(１,１),b ＝(１,－１),若(a＋λb)⊥(a＋μb),则 (　　) A．λ＋μ＝１ B．λ＋μ＝－１ C．λμ＝１ D．λμ＝－１ ８．已知向量a＝(３,１),b＝(１,０),c＝a＋kb．若 a⊥c,则k＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４４ ◆[考点三]　平面向量数量积的综合应用 ９．(２０２３􀅰全国甲卷(理))向量|a|＝|b|＝１, |c|＝ ２,且a＋b＋c＝０,则cos‹a－c,b－c› ＝ (　　) A．－１５ B．－ ２ ５ C． ２ ５ D． ４ ５ １０．已知向量a,b的夹角为π３ ,(a－b)⊥b,则 |a| |b|＝　　　 ,a＋b a－b ＝　　　． １１．如图所示,ABCD 是正方 形,M 是BC 的中点,将 正方形折起使点A 与M 重合,设折痕为EF,若正 方 形 面 积 为 ６４,求 △AEM 的面积． １２．在 △ABC 中,AB →􀅰AC → ＝０,|AB → |＝１２, |BC → |＝１５,l为线段BC 的垂直平分线,l 与BC 交于点 D,E 为l上 异于 D 的 任 意一点． (１)求AD →􀅰CB → 的值; (２)判断AE →􀅰CB → 的值是否为一个常数, 并说明理由． １．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a－ b|＝３,|a＋b|＝|２a－b|,则|b|＝　　　　． ２．(多选)如图,以 AB 为直径 在正方形内部作半圆O,P 为半圆上与A,B 不重合的 一动点,下面关于|PA → ＋PB → ＋PC → ＋PD → |的说法正确的 是 (　　) A．无最大值,但有最小值 B．既有最大值,又有最小值 C．有最大值,但无最小值 D．既无最大值,又无最小值 诺贝尔奖不设数学奖,但国际数学界有一 个代表数学界最高成就的大奖———菲尔兹奖． 菲尔兹奖于１９３２年在第九届国际数学家 大会上设立,１９３６年首次颁奖．该奖以加拿大 数学家约翰􀅰菲尔兹的名字命名,授予世界上 在数学领域做出重大贡献且年龄在４０岁以下 的数学家．该奖由国际数学联盟(简称IMU) 主持评定,每４年颁发一次,每次获奖者不超 过４人,每人可获得一枚纯金制作的奖章和一 笔奖金．奖章上刻有希腊数学家阿基米德的头 像,还有用拉丁文镌刻的“超越人类极限,做宇 宙主人”的格言． １９８２年,美籍华人数学家丘成桐荣获菲 尔兹奖,成为获此殊荣的第一位华人． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５４