假期作业17 平面向量的基本定理及坐标表示-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　假期作业１７　平面向量的基本定理及坐标表示　　　　　　　　 １．平面向量基本定理 如果e１,e２ 是同一平面内的两个　　　　向 量,那么对于这一平面内的任意向量a,有 且只有一对实数λ１,λ２,使a＝　　　　．不 共线的向量e１,e２ 叫做表示这一平面内所有 向量的一组　　　　． ２．两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量a和b,作OA → ＝a,OB → ＝ b,则∠AOB＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如 图所示)． (１)范围:向量a与b 的夹角的范围是　　　 　　　． (２)当θ＝０°时,a与b　　　　;当θ＝ 　 时,a与b反向． (３)垂直:如果a与b的夹角是　　　　,则称 a与b垂直,记作　　　　． ３．平面向量的坐标运算 (１)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a＋b＝ (　　　　　　　　)． (２)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a－b＝ (　　　　　　　　)． (３)若a＝(x,y),λ∈R,则λa＝(　　　　)． ４．共线向量的坐标表示 (１)设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),其中b≠０,a、 b共线,当且仅当存在实数λ,使　　　　． (２)如果用坐标表示可写为(x１,y１)＝λ(x２, y２),当且仅当　　　　　　　　时,向量 a、b(b≠０)共线． ◆[考点一]　平面向量基本定理的应用 １．设e１,e２ 是平面内所有向量的一组基,则下 列四组向量中,不能作为基的是 (　　) A．e１＋e２ 和e１－e２ B．３e１－４e２ 和６e１－８e２ C．e１＋２e２ 和２e１＋e２ D．e１ 和e１＋e２ ２．(多选)已知 D,E,F 分别为 △ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且BC → ＝a,CA → ＝b,则下 列命题正确的是 (　　) A．AD → ＝１２a－b B．BE → ＝a＋１２b C．CF → ＝－１２a＋ １ ２b D．AD → ＋BE → ＋CF → ＝０ ３．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷,３)在△ABC 中,点 D 在边AB 上,BD＝２DA,记CA → ＝m,CD → ＝n, 则CB → ＝ (　　) A．３m－２n　　　　　　B．－２m＋３n C．３m＋２n D．２m＋３n ４．向量a在基底{e１,e２}下可以表示为a＝２e１ ＋３e２,若a在基底{e１＋e２,e１－e２}下可以表 示为a＝λ(e１＋e２)＋μ(e１－e２),则λ＝ 　　　　　,μ＝　　　　　． ◆[考点二]　平面向量的坐标运算 ５．如图所示,若向量e１,e２ 是互 相垂直的单位向量,则向量 ２a＋b在平面直角坐标系中 的坐标为 (　　) A．(３,４) B．(２,４) C．(３,４)或(４,３) D．(４,２)或(２,４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２４ ６．已知向量a＝ －２,３２ æ è ç ö ø ÷,２a＋３b＝(５,－３), 则b＝ (　　) A．(－３,２) B．(３,－２) C．(３,０) D．(９,６) ７．已知点A(２,３),B(４,５),C(７,１０),若AP → ＝ AB → ＋λAC →(λ∈R),且点P 在直线x－２y＝０ 上,则λ的值为 (　　) A．２３ B．－ ２ ３ C．３２ D．－ ３ ２ ８．平面上有A(２,－１),B(１,４),D(４,－３)三 点,点C 在直线AB 上,且AC → ＝１２BC →,连接 DC并延长至点E,使|CE → |＝１４|ED → |,则点 E 的坐标为　　　　． ◆[考点三]　平面向量共线的坐标表示 ９．已知向量a＝(－３,１),b＝(１,３),c＝２a＋ kb．若a∥c,则k＝ (　　) A．－１　　　B．０　　　C．１　　　D．２ １０．已知向量a＝(３,２),b＝(２,－１),若非零 向量ma＋nb 与a＋２b共线,其中 m,n∈ R,则mn 的值为　　　　． １１．已知A(３,２),B(－１,２),C(４,１),判断A, B,C三点能否共线． １２．平面内给定三个向量a＝(３,２),b＝(－１, ２),c＝(４,１)． (１)求满足a＝mb＋nc的实数m,n; (２)若(a＋kc)∥(２b－a),求实数k． １．(多选)以A(０,１),B(１,０),C(３,２)三个点 为顶点作平行四边形,则第四个顶点 D 的 坐标是 (　　) A．(２,３) B．(２,－１) C．(４,１) D．(－２,－１) ２．在矩形ABCD 中,AB＝６,AD＝４,E 为CD 的中点,若EF → ＝３FB →,AF → ＝λAB → ＋μAD →, 则λ＋μ＝　　　　． 大妈早上去广场散步,看到有个老头拿着 海绵笔在地上写大字,忍不住凑上去看． 老头看了大妈一眼,提笔写了个“滚”字． 大妈心想:看一下至于吗? 􀆺􀆺老头又看大妈 一眼,又写个“滚”．大妈再也忍不住了,上去一 脚将老头踢倒在地􀆺􀆺 警察来了问咋回事,老头委屈地说:“我就 想写句‘滚滚长江东逝水’,刚写头两个字,就 被这个神经病踹倒了”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３４ 三0022 高一学的) 当x=平时f(）=-m经=1y=×- 由(1)知Di=号OC.即DA∥0C,且DA≠0C,故四边形 3x一4<1： OCAD为梯形. 8 12.解：(1)OG-Op+PG-OP+aP=OP+x(O0-OP) x-f()-im受-1y=× =(1-A)0P+λ0Q. 7x一4>1： (2)由(1)及0P=x0A.0Q=y0B,得0元=(1-A)0P 8 AO0=(1-a).x0A+yOB.① 所以由图可知，)与y=之一专的交点个数为3，】 1 :G是△OAB的重心， 假期作业16 0-号oi=号×oi+0i)=可i+号0成@ 思维整合室 1.(1)方向模(2)0(3)1个单位长度(4)相反 由①@得[1-)江- 专]1可=（合-） (5)方向(6)方向 而O4.OB不共线， 技能提升台素养提升 1.C 1-x=号 1=3-3x 2.ABC[由于AB=D心，因此与AB相等的向量只有DC,而与 1 ，解得 =3 y =3 AB的模相等的向量有DA,DC,AC,CB,ADCD,CA,BC BA.因此逸项A,B正确：而R△AOD中，∠ADO=30°， “+3,即+是定值 D-Di,故D=5Di.周此选项C正确： 新题快递 L.BC[对于A,D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向量， 由于CB-DA,因此CB与DA是共线的，故选项D错误.] 满足“a=b”,满足“a与b都是单位向量”，但是a∥b不 3.解析：易知AC⊥BD,且∠ABD=30°，设AC与BD交于点 成立.故A、D错误；对于B:由零向量与任何向量平行，可知 a=0或|b1=0时，a∥b.故B正确：对于C:因为a=一2b, 0.则A0=号AB=1.在R1△AB0中，易得B可=5， 所以a∥b.故C正确.] 2.解：设AF=mAD,BF=HBE, .BD1=21BO1=23. 答案：2 根据向量共线定理，得：AF=mAD 4.解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE AF=AE+(1-)AB.3AE=AC. 都是平行四边形，可知与向量ED相等的向量有AB,DC 所以A正=兰AC+1-)A成. (2)因为AB=3,EC1=2AB,所以1EC1=6. 又因为A=号+A0. 答案：(1)AB.DC(2)6 5.D 所以号心+1-店=受店+A0. 2 6.AB[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确：C中， 若m=0,则不能推出a=b,错误；D中，若a=0,则m,n没有 关系，错误。门 解得： g-受 m=2 7.ABC[对于A.(A店-DC)-CB=AB+CD+BC=AB+ -=受 - BD=AD:对于B,AD-(CD+DC)=AD-0 =AD:对于C,-(CD+MC)-(DA+DM)=-MD-DA 代入B萨=n成=（花-=（合花-福）-d DM=DM+AD-DM=AD:对于D,-BM-DA+MB= 馆 MB+AD+MB=AD+2 MB.] 解得：λ= 3 1 =4 8.解析：在△ABC中，∠A=60°，BC|=1,点D为AB的中 1 点，点E为CD的中点，Ai=a,AC-b,则A正-号（币+ aa+=号2品= A=+-a+ 假期作业17 思维整合室 答案：a+号b 1.不共线入1e十A,e基2.(1)0°≤≤180° (2)同向180°(3)90°a⊥b3.(1)x+xy+y 9.D[由c∥d,得c=d,.ka+b=a(a-b) (2)x-2y-(3)Ax,Ay4.(1)a=b 中作仁入收即6=-a+b且c=-4 (2)x1y4-x2y=0 技能提升台素养提升 10,解：所---记-（成+0. 1.B 2.BCD [BC-a.CA-b.AD-CB+Ac---.#A -号C-mA花 错，成-成+-Q+合b:故B正确：C市-受(C+ m=一 5 11.解：(1)因为2AC+CB=0,所以2(0元-Oi)+(OB-O元) C)=之（-a+b)=-a+b,故C正确：所以d+成 =0,20元-20A+0i-0C=0. +C亦=-b-a+a+2b+2b2a=0.故D正确.] 所以OC=20A-OB. 3.B[如图，因为CB=CA+AB,BD (2)证明：如图.Di=Dò+Oi=-2O成+O 2DA,所以AD=AC+CD=n-m, -20-0i. AB=3AD,CB=CA+3AD=m十 3(n一m)=3n一2m,故选B.] 95 SE 5 12.解：(1)由题意得(3,2)=m(一1,2)十n(4,1), 4.解析：由条件可知十红=？，解得 5 (A-4=3 一m十4n=3·得 m= 9 所以 2 2十n=2, 8 答案：2 =9 (2)a+kc=(3十4k,2+k),2b-a=(-5,2), 5.A[建立平面直角坐标系， 由题意得2×(3十4k)一（一5）×(2十k)=0. 用三角形法则画出向量2a十b, 如图，由图可知2a十b在平面直 k=-16 13 角坐标系中的坐标为(3,4).故 新题快递 选A.] 1.ACD[设D(x+y),若AB=CD,则(1，-1)=(x-3,y-2), 6.B[由题意可知b=专[(2a+ 即仁1，解得仁1即D4,0诺应-元.则1. 1y=1. 3b)-2a]=3[6,-3)-（-4 )3-2-》,即仁8二·解科{二：即D2 {y-2=1, 3)门=(3，-2).故选B.] 7.B[设P(xy),则由AP=AB+aAC 3):若AD=CB,则(，y-1)=（-2,-2),即 得(x-2,y-3)=(2.2)十(5,7)=(2+5,2+7) 仁12.解释-：即D-2.-1.故法AD y=-1. 所以x=5入+4，y=7入+5. 2.解析：建立如下国的平面直角坐 y 又点P在直线x-2y=0上， 标系， 故5试+4-278+5)=0：解得=一号] 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3, 8.解析：设O为坐标原点， 4),EB=(3,-4), C.:0C-0-(0-0B). 由序=3F得E成= 0M) .0C=20A-OB=(3,-6). -(骨- 点C的坐标为(3，一6)， 又：C它=E可，且E在DC的延长线上， 设F,则-3y-)-(号-3 ∴C花=-E成 可部释所F(得小正 21 (y-4=-3 y=1 方法一：向量相等法 设E(xy).则(x-3,y十6)= 4--3-0 =(學小 又图为A正=AAB+uAD=6,0)+(0,4)=(6,4), -3=-4-. 8 解得=· 所以 9 y+6=- 4-3- 1 y=-7, “点E的垒标为（管-7小 答案：号 假期作业18 方法二：定比分点公式法 设E(x,y), 思维整合室 1.(1)lallbleos002.(1)b·a(3)a·b+a·c :CE-1ED,C(3,-6,D4,-30, 3.√a·a+ya|bcos0xx+4 a·b ab 则x=3-18 :+yy 1- 1-7 十·√+网 1x+yy2=0 技能提升台素养提升 点E的坐标为（停-7小 1.C[由题设可知，a-2b=3,两边平方得a2-4a·b+ 41b2=9,代入a=1,1b=√5，有1-4a·b+12=9,故4a 答案：（停-7） ·b=4,解得a·b=1.故选C.] 9.B[因为向量a=(一3,1)，b=(1,3),所以c=2a十b= 2.B[以{AB,AD为基底向量，可知AB=AD=2,AB, (-6+k,2+3k)」 AD=0 因为a∥c,所以-6十k=(2+3k)×(一3)，解得k=0.故 选B.] 则EC-EB+BC=号AB+AD,ED=EA+AD=-A店 10.解析：由a=(3,2),b=(2,一1），得n0十b=(3m十2n,2m +AD. 一n).a十2b=(7,0).因为ma+b与a+2b共线，所以14m -7m=0,解得：=2 所以成.E前=（合AB+A)·(AB+AD)=-号 答案：号 AB+AD=-1+4=3.] 11.解：AB=(-4.0).AC=(1,-1). 4解折：因为sab=子，a=1.b=3,所以a·b=ab '-4×(-1)-0×1≠0， oa:b=1X3X号=1，所以(2a+b1b=2ab+6=2 ∴.AB,AC不共线. ×1+3=11, A,B,C三点不共线 答案：11 96