假期作业15 函数y=Asin(ωx+φ)、三角函数的应用-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

假期作业１５　函数y＝Asin(ωx＋φ)、 三角函数的应用 　　　　　　　 １．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０) 的简图“五点法”作图的五点是指在一个周 期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个 点,作图时的一般步骤为: (１)定点:如表所示． x 　　 　　 　　 　　 　　 ωx＋φ 　　 　　 　　 　　 　　 y＝Asin(ωx＋φ) ０ A ０ －A ０ (２)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平 滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ) 在一个周期内的图象． (３)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象． ２．函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０),x∈ [０,＋∞)表示简谐振动时,几个相关的概念 如下表: 简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞０,ω＞０), x∈[０,＋∞) A T＝　　f＝１T 　　　 　　 ３．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝ Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 ◆[考点一]　由图象变换法确定y＝Asin(ωx＋φ) 的解析式 １．已知函数f(x)＝sinωx＋π４ æ è ç ö ø ÷(x∈R,ω＞０)的 最小正周期为π,为了得到函数f(x)的图象, 只需将函数g(x)＝sinωx的图象 (　　) A．向左平移π８ 个单位长度 B．向右平移π８ 个单位长度 C．向左平移π４ 个单位长度 D．向右平移π４ 个单位长度 ２．(２０２２􀅰浙江卷)为了得到函数y＝２sin３x 的图象,只要把函数y＝２sin３x＋π５ æ è ç ö ø ÷ 图象 上所有的点 (　　) A．向左平移π５ 个单位长度 B．向右平移π５ 个单位长度 C．向左平移π１５ 个单位长度 D．向右平移π１５ 个单位长度 ３．(多选)为了得到函数y＝cos２x＋π４ æ è ç ö ø ÷的图 象,只要把函数y＝cosx图象上所有的点 (　　) A．向左平移π４ 个单位长度,再将横坐标变 为原来的２倍 B．向左平移π４ 个单位长度,再将横坐标变为 原来的１ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６３ C．横坐标变为原来的１２ ,再向左平移π ８ 个单 位长度 D．横坐标变为原来的１２ ,再向左平移π ４ 个单 位长度 ４．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ) ω＞０,－π２≤φ≤ π ２ æ è ç ö ø ÷图象上每一点的横坐 标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平 移π ６ 个单位长度得到y＝sinx的图象,则f(x) 的解析式为　　　　,f π６ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． ◆[考点二]　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ) 的解析式 ５．函 数 f (x ) ＝ Asin (ωx ＋ φ) 其中A＞０,ω＞０,|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷的部分图象如 图所示,则ω,φ的值为 (　　) A．ω＝３,φ＝ π ４　　　B．ω＝３ ,φ＝－ π ４ C．ω＝６,φ＝－ π ２ D．ω＝６ ,φ＝ π ２ ６．如图所示的是一质点做简谐运动的图象,则 下列结论正确的是 (　　) A．该质点的运动周期为０．７s B．该质点的振幅为５cm C．该质点在０．１s和０．５s时运动速度为零 D．该质点在０．３s和０．７s时运动速度为零 ７．(多选)将函数f(x)的图象向右平移π６ 个单 位长度,再将所得函数图象上的所有点的横 坐标缩短到原来的２ ３ ,得到函数g(x)＝ Asin(ωx＋φ)A＞０,ω＞０,|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷ 的 图 象,已知函数g(x)的部分图象如图所示,则 下列关于函数f(x)的说法正确的是 (　　) A．f(x)的最小正周期为π,最大值为２ B．f(x)的图象关于点 π６ ,０ æ è ç ö ø ÷中心对称 C．f(x)的图象关于直线x＝π６ 对称 D．f(x)在区间 π６ ,π ３ é ë êê ù û úú上单调递减 ８．(２０２３􀅰 新课标 Ⅱ 卷)已知函数f(x)＝ sin(ωx＋φ),如图,A, B是直线y＝１２ 与曲 线y＝f(x)的两个交点,若|AB|＝π６ ,则f(π)＝ 　　　　． ◆[考点三]　三角函数图象与性质的综合 应用 ９．人的心脏跳动时,血压在增加或减少,血压 的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张 压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压, 读数１２０/８０mmHg为标准值．设某人的血 压满足函数式p(t)＝１０２＋２４sin１６０πt,其 中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单 位:min),则下列说法正确的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７３ A．此人的收缩压和舒张压均高于相应的标 准值 B．此人的收缩压和舒张压均低于相应的标 准值 C．此人的收缩压高于标准值,舒张压低于 标准值 D．此人的收缩压低于标准值,舒张压高于 标准值 １０．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规 律:P＝Asin ωπt＋π４ æ è ç ö ø ÷＋６０(单位:美元,t 为天数,A＞０,ω＞０),现采集到下列信息: 最高油价８０美元,当t＝１５０时,油价最 低,则A 的值为　　　　,ω 的最小值为 　　　　． １１．已 知 函 数 f (x)＝ Asin (ωx ＋φ) A＞０,ω＞０,－π２＜φ＜ π ２ æ è ç ö ø ÷在一个周期内 的图象如图所示． (１)求函数f(x)的最小正周期T 及最大 值,最小值; (２)求函数f(x)的解析式及单调递增 区间． １２．如图,某动物种群数量１月１日低至７００,７ 月１日高至９００,其总量在这两个值之间 呈正弦型曲线变化(周期为一年)． (１)求出该动物种群数量y关于时间t的 正弦型函数表达式(其中t以年初以来的 月为计量单位); (２)估计当年３月１日该动物种群的数量． １．(２０２３􀅰天津卷)已知函数f(x)图象的一条 对称轴为直线x＝２,f(x)的一个周期为４, 则f(x)的解析式可能为 (　　) A．f(x)＝sin π２x æ è ç ö ø ÷　　B．f(x)＝cos π２x æ è ç ö ø ÷ C．f(x)＝sin π４x æ è ç ö ø ÷ D．f(x)＝cos π４x æ è ç ö ø ÷ ２．(２０２３􀅰全国甲卷)已知f(x)为函数y＝ cos２x＋π６ æ è ç ö ø ÷向左平移π ６ 个单位所得函数,则 y＝f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个数为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ 过几天 就 要 高 考 了, 回想当年我差５分就考上 了 清 华,往 事 不 敢 回 首􀆺􀆺 说多了都是泪􀆺􀆺 那年 清 华 的 录 取 线 是 ６９５ 分,我 考 了 ６９分． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８３ 不妨取k＝０,则f(x)＝sin ２x－５π６( ) , 则f －５π１２( )＝sin － ５π ３( )＝ ３ ２． ] ６．解析:∵tan(π－x)＝－tanx,又∵tanx是奇函数, ∴tan(－x)＝－tanx．∴tanx＝－tan(π－x)＝tan(x－π)．∴ tan２＝tan(２－π),tan３＝tan(３－π)． ∵－π２＜２－π＜３－π＜１＜ π ２ ,且y＝tanx在 －π２ ,π ２( ) 上是 增函数．∴tan(２－π)＜tan(３－π)＜tan１,即tan２＜tan３＜tan １． 答案:tan２＜tan３＜tan１ ７．B　８．D　 ９．B　[因为函数y＝１－２sin２ x－π４( )＝cos ２x－ π ２( ) ＝sin２x,所以该函数是最小正周期为π的奇函数．故选B．] １０．BCD　[对于 A,f(x)的定义域为 R,因为f(－x) ＝sin(－x)－|sin(－x)|＝－sinx－|sinx|≠－f(x), 所以f(x)不是奇函数,故选项 A错误; 对于B,f(x＋２π)＝sin(x＋２π)－|sin(x＋２π)|＝sinx－ |sinx|＝f(x),故f(x)是周期函数,２π为f(x)的一个周 期,故选项B正确; 对于 C,f(x)＝sinx－|sinx| ＝ ０ ,x∈[２kπ,π＋２kπ), ２sinx,x∈[π＋２kπ,２π＋２kπ){ (k∈Z), 所以f(x)min＝－２,故选项 C正确; 对于 D,因为f(π＋２kπ－x)＝sin(π＋２kπ－x)－|sin(π＋ ２kπ－x)|＝sin(π－x)－|sin(π－x)|＝sinx－|sinx|(k∈ Z),所以f(π＋２kπ－x)＝f(x),所以函数f(x)＝２|sinx| 的最小正周期为π,故选 C．] １１．解:(１)令２kπ－ π２ ≤２x＋ π ３ ≤２x＋ π ３ ≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 解得kπ－５π１２≤x≤kπ＋ π １２ ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间 为 kπ－５π１２ ,kπ＋π１２[ ](k∈Z)． 故f(x)在[０,π]上的单调递增区间为 ０,π１２[ ] , ７π １２ ,π[ ]． (２)由 ２sin ２x＋π３( ) ＜１,可得sin ２x＋ π ３( ) ＜ １ ２ ,故５π ６ ＋２kπ＜２x＋π３＜ １３π ６ ＋２kπ ,k∈Z, 解得kπ＋π４＜x＜kπ＋ １１π １２ ,k∈Z, 故f(x)＜１的解集为 x|kπ＋π４＜x＜kπ＋ １１π １２ ,k∈Z{ }． １２．解:(１)f(x)＝２cos２ x２＋ ３sinx＋a－１＝cosx＋ ３sinx ＋a＝２sin x＋π６( )＋a． 由f(x)max＝２＋a＝１,解得a＝－１． 又f(x)＝２sin x＋π６( )－１, 则２kπ＋π２≤x＋ π ６≤２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z, 解得２kπ＋π３≤x≤２kπ＋ ４π ３ ,k∈Z, 所以函数的单调递减区间为 ２kπ＋π３ ,２kπ＋４π３[ ] ,k∈Z; (２)由 x∈ ０,π２[ ] ,则 x＋ π ６ ∈ π ６ ,２π ３[ ] ,所 以 １ ２ ≤ sin x＋π６( ) ≤１, 所以０≤２sin x＋π６( )－１≤１, 所以函数f(x)的值域为[０,１]． 新题快递 １．D　[由给定区间可知,a＞０． 区间[a,２a]与区间[２a,３a]相邻,且区间长度相同． 取a＝π６ ,则[a,２a]＝ π６ ,π ３[ ] ,区间[２a,３a]＝ π ３ ,π ２[ ] , 可知sa ＞０,ta ＞０,故 A 可 能;取 a＝ ５π １２ ,则 [a,２a]＝ ５π １２ ,５π ６[ ] ,区间[２a,３a]＝ ５π ６ ,５π ４[ ] ,可知sa＞０,ta＜０,故 C 可能;取 a＝７π６ ,则 [a,２a]＝ ７π６ ,７π ３[ ] ,区 间 [２a,３a]＝ ７π ３ ,７π ２[ ] ,可知sa＜０,ta＜０,故B可能．结合选项可得,不可 能的是sa＜０,ta＞０．] ２．解析:当x∈ ５π２ ,３π[ ] 时,３π－x∈ ０,π２[ ]． ∵当x∈ ０,π２[ ] 时,f(x)＝１－sinx, ∴f(３π－x)＝１－sin(３π－x)＝１－sinx． 又∵f(x)是以π为周期的偶函数, ∴f(３π－x)＝f(－x)＝f(x), ∴当x∈ ５π２ ,３π[ ] 时,f(x)＝１－sinx． 答案:１－sinx 假期作业１５ 思维整合室 １．(１)－φω 　 π ２－φ ω 　 π－φ ω 　 ３π ２－φ ω 　 ２π－φ ω 　０　 π ２　π　 ３π ２ 　２π　２．２πω　ωx＋φ　φ 技能提升台　素养提升 １．A　[由f(x)的最小正周期是π,得ω＝２,即f(x)＝ sin ２x＋π４( )＝sin ２x＋ π ８( )[ ] ,因此它的图象可由g(x)＝ sin２x的图象向左平移 π８ 个单位长度得到,故选 A．] ２．D　[函数图像平移满足左加右减, y＝２sin ３x＋π５( ) ＝２sin ３ x＋ π １５( )[ ] ,因此需要将函数y ＝２sin ３x＋π５( ) 图像向右平移 π １５ 个单位长度,可以得到函 数y＝２sin ３ x＋π１５－ π １５( )[ ]＝２sin３x的图像．故选 D．] ３．BC　[要得到函数y＝cos ２x＋π４( ) 的图象, 可将y＝cosx图象上所有的点向左平移 π４ 个单位长度, 然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 １ ２ ,纵坐 标不变． 也可将y＝cosx图象上所有的点的横坐标变为原来的 １２ , 纵坐标不变,然后将所得图象上所有的点向左平移 π ８ 个单 位长度．故选BC．] ４．解析:将y＝sinx 的图象向左平移 π６ 个单位长度可得y＝ sin x＋π６( ) 的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的２倍 可得y＝sin １２x＋ π ６( ) 的图象,故f(x)＝sin １ ２x＋ π ６( ) ,所 以f π６( )＝sin １ ２× π ６＋ π ６( )＝sin π ４＝ ２ ２． 答案:f(x)＝sin １２x＋ π ６( ) 　 ２ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３９ ５．A　[由函数f(x)的图象,可得A＝１． ∵T４＝ ５π １２－ π ４＝ π ６ ,∴T＝２π３＝ ２π ω , ∴ω＝３． 又∵点 π４ ,０( ) 在函数f(x)的图象上, ∴sin ３π４＋φ( )＝０,∴ ３π ４＋φ＝π＋２kπ , k∈Z,解得φ＝ π ４＋２kπ ,k∈Z． ∵|φ|＜ π ２ ,∴φ＝ π ４． 故选 A．] ６．BC　[由题图可知,运动周期为２×(０．７－０．３)＝０．８s,故 A 错误;该质点的振幅为５cm,B正确;由简谐运动的特点知, 质点在０．３s和０．７s时运动速率最大,在０．１s和０．５s时 运动速度为零,故 C正确,D错误．故选BC．] ７．ACD　[由题图可知,A＝２,T＝４× ２π９－ π １８( )＝ ２π ３ , ∴ω＝２πT＝３． 又由g ２π９( )＝２可得φ＝－ π ６＋２kπ (k∈Z),且|φ|＜ π ２ , ∴φ＝－ π ６． ∴g(x)＝２sin ３x－π６( ) ,∴f(x)＝２sin ２x＋ π ６( )． ∴f(x)的最小正周期为π,最大值为２,选项 A正确．对于选 项B,令２x＋π６＝k′π (k′∈Z),得x＝k′π２ － π １２ (k′∈Z),∴函 数f(x)图象的对称中心为 k′π２ － π １２ ,０( )(k′∈Z),由k′π２ － π １２＝ π ６ ,得k′＝１２ ,不符合k′∈Z,B错误;对于选项 C,令 ２x＋π６＝ π ２＋kπ (k∈Z),得x＝π６＋ kπ ２ (k∈Z)． ∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝ π６＋ kπ ２ (k∈Z),当k ＝０时,x＝ π６ ,故 C 正 确．当x∈ π６ ,π ３[ ] 时,２x＋ π ６ ∈ π ２ ,５π ６[ ] ,∴f(x)在区间 π ６ ,π ３[ ] 上单调 递 减,∴选 项 D 正确,故选 ACD．] ８．解析:设A x１, １ ２( ) ,B x２, １ ２( ) ,则ωx１＋φ＝ π ６ ,ωx２＋φ＝ ５π ６ ,又x２－x１＝ π ６ ,所以ω＝４,由曲线y＝f(x)过 ２π３ ,０( ) , 所以 ４× ２π３ ＋φ＝２π ,即 φ＝ － ２π ３ ,所 以 f (x)＝ sin ４x－２π３( ) ,f(π)＝sin ４π－ ２π ３( ) ＝－sin２π３＝－ ３ ２． 答案:－ ３２ ９．C　[由此人的血压满足函数式p(t)＝１０２＋２４sin１６０πt,得 此人的收缩压为p(t)max＝１０２＋２４＝１２６;舒张压为p(t)min ＝１０２－２４＝７８,所以此人的收缩压高于标准值,舒张压低于 标准值,故选 C．] １０．解析:由A＋６０＝８０,得A＝２０． 因为当t＝１５０时油价最低,所以１５０ωπ＋π４＝－ π ２＋２kπ , k∈Z,即ω＝k７５－ １ ２００ ,又ω＞０,所以当k＝１时,ω 取得最 小值,此时ω＝１７５－ １ ２００＝ １ １２０． 答案:２０　 １１２０ １１．解:(１)由题图知１４T＝ π １２－ － π ６( ) ＝ π ４ ,∴函数f(x)的 最小正周 期 T＝π．由 题 图 知 f(x)的 最 大 值 为 １,最 小 值为－１． (２)由(１)知ω＝２πT ＝２． 由题意得２× －π６( ) ＋φ＝２kπ,k ∈Z,解得φ＝２kπ＋ π ３ ,k∈Z,又－ π２ ＜φ＜ π ２ ,∴φ＝ π ３ , 则f(x)＝sin ２x＋π３( )．令２kπ－ π ２ ≤２x＋ π ３ ≤２kπ＋ π ２ (k∈Z),得kπ－５π１２≤x≤kπ＋ π １２ (k∈Z),故函数 f(x)的单调递增区间是 kπ－５π１２ ,kπ＋π１２[ ](k∈Z)． １２．解:(１)设该动物种群数量y关于t的解析式为 y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞０,ω＞０), 则 －A＋b＝７００, A＋b＝９００．{ 解得A＝１００,b＝８００．又周期T＝１２, ∴ω＝２πT＝ π ６ ,∴y＝１００sin π６t＋φ( ) ＋８００．又当t＝６时, y＝９００,∴９００＝１００sin π６×６＋φ( ) ＋８００,∴sin(π＋φ)＝ １,∴sinφ＝－１,∴可取φ＝－ π ２． ∴y＝１００sin π６t－ π ２( )＋８００． (２)当t＝２时,y＝１００sin π６×２－ π ２( ) ＋８００＝７５０,即当 年３月１日该动物种群的数量估计是７５０． 新题快递 １．B　[由函数的解析式考查函数的最小周期性: A选项中T＝２ππ ２ ＝４,B选项中T＝２ππ ２ ＝４, C选项中T＝２ππ ４ ＝８,D选项中T＝２ππ ４ ＝８,排除选项 CD． 对于 A选项,当x＝２时,函数值sin π２×２( ) ＝０,故(２,０) 是函数的一个对称中心,排除选项 A, 对于B选项,当x＝２时,函数值cos π２×２( )＝－１,故x＝２ 是函数的一条对称轴．] ２．C　[因为y＝cos ２x＋π６( ) 向左平移 π ６ 个单位所得函数为 y＝cos ２ x＋π６( )＋ π ６[ ]＝ cos２x＋π２( )＝－sin２x,所以f(x)＝－sin２x, 而y＝１２x－ １ ２ 显然过 ０,－１２( ) 与(１,０)两点, 作出f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的大致图像如下, 考虑２x＝－３π２ ,２x＝３π２ ,２x＝７π２ ,即x＝－３π４ ,x＝３π４ ,x＝ ７π ４ 处f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的大小关系, 当x＝－３π４ 时,f －３π４( )＝－sin － ３π ２( )＝－１, y＝１２× － ３π ４( )－ １ ２＝－ ３π＋４ ８ ＜－１ ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４９ 当x＝３π４ 时,f ３π４( ) ＝－sin ３π ２ ＝１ ,y＝ １２ × ３π ４ － １ ２ ＝ ３π－４ ８ ＜１ ; 当x＝７π４ 时,f ７π４( ) ＝－sin ７π ２ ＝１ ,y＝ １２ × ７π ４ － １ ２ ＝ ７π－４ ８ ＞１ ; 所以由图可知,f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个数为３．] 假期作业１６ 思维整合室 １．(１)方向　模　(２)０　(３)１个单位长度　(４)相反 (５)方向　(６)方向 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．ABC　[由于AB→＝DC→,因此与AB→相等的向量只有DC→,而与 AB→的模相等的向量有DA→,DC→,AC→,CB→,AD→,CD→,CA→,BC→, BA→．因此选项 A,B正确;而 Rt△AOD 中,∠ADO＝３０°, ∴|DO→|＝ ３２|DA →|,故|DB→|＝ ３|DA→|．因此选项 C正确; 由于CB→＝DA→,因此CB→与DA→是共线的,故选项 D错误．] ３．解析:易知AC⊥BD,且∠ABD＝３０°,设 AC 与BD 交于点 O,则AO＝１２AB＝１． 在 Rt△ABO 中,易得|BO→|＝ ３, ∴|BD→|＝２|BO→|＝２ ３． 答案:２ ３ ４．解析:(１)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形,可知与向量ED→相等的向量有AB→,DC→． (２)因为|AB→|＝３,|EC→|＝２|AB→|,所以|EC→|＝６． 答案:(１)AB→,DC→　(２)６ ５．D　 ６．AB　[A和B属于数乘对向量与实数的分配律,正确;C中, 若m＝０,则不能推出a＝b,错误;D中,若a＝０,则m,n没有 关系,错误．] ７．ABC　[对于 A,(AB→－DC→)－CB→＝AB→＋CD→＋BC→＝AB→＋ BD→＝AD→;对于B,AD→－(CD→＋DC→)＝AD→－０ ＝AD→;对于 C,－(CD→＋MC→)－(DA→＋DM→)＝－MD→－DA→－ DM→＝DM→＋AD→－DM→＝AD→;对于 D,－BM→－DA→＋MB→＝ MB→＋AD→＋MB→＝AD→＋２MB→．] ８．解析:在△ABC 中,∠A＝６０°,|BC→|＝１,点 D 为AB 的 中 点,点E 为CD 的中点,AB→＝a,AC→＝b,则AE→＝ １２ (AD →＋ AC→)＝１４AB →＋１２AC →＝１４a＋ １ ２b． 答案:１ ４a＋ １ ２b ９．D　[由c∥d,得c＝λd,∴ka＋b＝λ(a－b) 即 k＝λ, １＝－λ,{ ∴ k＝－１, λ＝－１,{ 即c＝－a＋b且c＝－d．] １０．解:∵BA→＝＝－AB→＝－１４BC →＝－１４(BA →＋AC→), ∴BA→＝－１５AC →＝mAC→, ∴m＝－１５． １１．解:(１)因为２AC→＋CB→＝０,所以２(OC→－OA→)＋(OB→－OC→) ＝０,２OC→－２OA→＋OB→－OC→＝０, 所以OC→＝２OA→－OB→． (２)证明:如图,DA→＝DO→＋OA→＝－１２OB →＋OA→ ＝１２ (２OA→－OB→)． 由(１)知DA→＝ １２OC →．即 DA∥OC,且DA≠OC,故 四 边 形 OCAD 为梯形． １２．解:(１)OG→＝OP→＋PG→＝OP→＋λPQ→＝OP→＋λ(OQ→－OP→) ＝(１－λ)OP→＋λOQ→． (２)由(１)及OP→＝xOA→,OQ→＝yOB→,得OG→＝(１－λ)OP→＋ λOQ→＝(１－λ)xOA→＋λyOB→．① ∵G 是△OAB 的重心, ∴OG→＝２３OM →＝２３× １ ２ (OA→＋OB→)＝１３OA →＋１３OB →．② 由①②得 (１－λ)x－１３[ ]OA →＝ １３－λy( )OB →, 而OA→,OB→不共线, ∴ (１－λ)x＝１３ λy＝１３ ì î í ïï ï ,解得 １ x＝３－３λ １ y＝３λ ì î í ïï ï , ∴１x＋ １ y＝３ ,即１ x＋ １ y 是定值． 新题快递 １．BC　[对于 A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向量, 满足“|a|＝|b|”,满足“a与b 都是单位向量”,但是a∥b不 成立．故 A、D错误;对于 B:由零向量与任何向量平行,可知 |a|＝０或|b|＝０时,a∥b．故B正确;对于C:因为a＝－２b, 所以a∥b．故 C正确．] ２．解:设AF＝mAD,BF＝nBE, 根据向量共线定理,得:AF→＝mAD→, AF→＝nAE→＋(１－n)AB→,３AE→＝AC→, 所以AF→＝n３AC →＋(１－n)AB→, 又因为AD→＝１２(AB →＋AC→), 所以n ３AC →＋(１－n)AB→＝m２(AB →＋AC→), 解得: n ３＝ m ２ １－n＝m２ ì î í ïï ï ,即 m＝１２ n＝３４ ì î í ïï ï , 代入BF→＝nBE→＝n(AE→－AB→)＝ ３４ １ ３AC →－AB→( ) ＝ １４AC → －３４AB →, 解得:λ＝－３４ ,μ＝ １ ４ , (１)λ＋μ＝－ １ ２ ,(２)AFAD＝ １ ２． 假期作业１７ 思维整合室 １．不共线　λ１e１＋λ２e２　基　２．(１)０°≤θ≤１８０° (２)同向　１８０°　(３)９０°　a⊥b　３．(１)x１＋x２,y１＋y２ (２)x１－x２,y１－y２　(３)λx,λy　４．(１)a＝λb (２)x１y２－x２y１＝０ 技能提升台　素养提升 １．B　 ２．BCD　[BC→＝a,CA→＝b,AD→＝１２CB →＋AC→＝－１２a－b,故 A 错;BE→＝BC→＋１２CA →＝a＋ １２b,故 B 正确;CF →＝ １２ (CB →＋ CA→)＝１２(－a＋b)＝－ １ ２a＋ １ ２b ,故 C正确;所以AD→＋BE→ ＋CF→＝－b－１２a＋a＋ １ ２b＋ １ ２b－ １ ２a＝０． 故 D正确．] ３．B　[如图,因为CB→＝CA→＋AB→,BD＝ ２DA,所 以AD→＝AC→＋CD→＝n－m, AB→＝３AD→,CB→＝CA→＋３AD→＝m＋ ３(n－m)＝３n－２m,故选B．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５９