假期作业13 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　　　　　假期作业１３　同角三角函数的基本关系与诱导公式　　 １．同角三角函数的基本关系 (１)平方关系:sin２α＋cos２α＝１． (２)商数关系:tanα＝sinαcosαα≠ π ２＋kπ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ２．六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 ２kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α π２－α π ２＋α 正弦 sinα 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 余弦 cosα 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 正切 tanα 　　　 　　　 　　　 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变 符号看象限 ◆[考点一]　同角三角函数的基本关系 １．已知α∈ －π,－π４ æ è ç ö ø ÷,且 sinα＝ －１３ ,则 cosα＝ (　　) A．－２ ２３ 　　　　　B． ２ ２ ３ C．±２ ２３ D． ２ ３ ２．已知cosα＝１π ,且３π ２ ＜α＜２π ,则tanα的 值为 (　　) A．－ π２－１ B．π２－１ C．－ π ２－１ π D． π２－１ π ３．若sinθ,cosθ是方程４x２＋２mx＋m＝０的 两根,则m 的值为 (　　) A．１＋ ５ B．１－ ５ C．１± ５ D．－１－ ５ ４．已知－π２＜x＜０ ,sinx＋cosx＝１５ ,则sinx －cosx＝　　　　．tanx＝　　　　． ◆[考点二]　诱导公式 ５．若角６００°的终边上有一点(－４,a),则a的值是 (　　) A．４　　　　　　　　B．－４ ３ C．４ ３３ D．－ ４ ３ ３ ６．已知sinα＋π３ æ è ç ö ø ÷＝１２１３ ,则cos π６－α æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．５１３ B． １２ １３ C．－５１３ D．－ １２ １３ ７．(多选)已知cos π６＋α æ è ç ö ø ÷＝１３ ,则 (　　) A．sin π６＋α æ è ç ö ø ÷＝２ ２３ B．cos５π６－α æ è ç ö ø ÷＝－１３ C．sin π３－α æ è ç ö ø ÷＝１３ D．角α可能是第二象限角 ８．化简sin４００°sin (－２３０°) cos８５０°tan(－５０°) 的结果为　　　　 　　　　． ◆[考点三]　诱导公式的综合应用 ９．(多选)在△ABC中,下列关系恒成立的是 (　　) A．tan(A＋B)＝tanC B．cos(２A＋２B)＝cos２C C．sinA＋B２ ＝sin C ２ D．sinA＋B２ ＝cos C ２ １０．sin９５°＋cos１８５°＋tan２４０°＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １３ １１．已知cos π２＋θ æ è ç ö ø ÷＝１２ , 求 cos(３π＋θ) cosθ[cos(π＋θ)－１]＋ cos(θ－４π) cos(θ＋２π)cos(３π＋θ)＋cos(－θ) 的值． １２．已知f(θ)＝ cosθ－３π２ æ è ç ö ø ÷􀅰sin７π２＋θ æ è ç ö ø ÷ sin(－θ－π) ． (１)化简f(θ); (２)若f(θ)＝１３ ,求tanθ的值; (３)若f π６－θ æ è ç ö ø ÷＝１３ ,求f ５π６＋θ æ è ç ö ø ÷的值． １．(多选)已知下列等式的左右两边都有意义, 则能够恒成立的是 (　　) A．sin π３＋α æ è ç ö ø ÷＝sin２π３－α æ è ç ö ø ÷ B．sin π４＋α æ è ç ö ø ÷＝－cos５π４－α æ è ç ö ø ÷ C．tan π３－α æ è ç ö ø ÷＝tan π３＋α æ è ç ö ø ÷ D．tan２αsin２α＝tan２α－sin２α ２．(多选)已知sinθ＋cosθ＝１５ ,θ∈(０,π),则 下列等式正确的是 (　　) A．sinθcosθ＝－１２２５ B．sinθ－cosθ＝７５ C．tanθ＝－３４ D．sin３θ＋cos３θ＝３７１２５ 顽强的华罗庚 华罗庚是我国著名的数学家,为我国数学 事业做出突出贡献,而在他因病左腿残疾后, 走路不得不左腿先画一个大圆圈,右腿再迈上 一小步．对于这种奇特而费力的步履,他曾幽 默地戏称为“圆与切线的运动”．在逆境中,他 顽强地与命运抗争,誓言:“我要用健全的头 脑,代替不健全的双腿!” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２３ (２)至多有两人当选的概率为１－P(ABC) ＝１－P(A)P(B)P(C)＝１－４５× ３ ５× ７ １０＝ ８３ １２５． 新题快递 １．C　[在这１００名学生中,只能说出一种或一种也说不出的 有１００－７３＝２７人, 设该校三年级的４００名学生中,对四大发明只能说出一种或 一种也说不出的有x人,则１００２７＝ ４００ x ,解得x＝１０８人．] ２．ABD　[对于 AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式可 知 AB正确:对于 C,三次传输译码为１,则可能是三次全部 译为１,或者有两次译为１,则概率为 C２３β(１－β) ２＋(１－β) ３, 故C错误;对于 D,可以采用特值法或者作差法计算．三次传 输方案译为０的概率为 C２３α(１－α)２＋(１－α)３,单次传输译 为０的概率为１－α,而 C２３α(１－α)２＋(１－α)３－(１－α)＝(１ －α)α(１－２α)＞０,所以 D正确．] 假期作业１２ 思维整合室 １．(１)负角　零角　(２)象限角　２．(１)１　(３)r|α|　３．y　x　 技能提升台　素养提升 １．CD　２．A ３．C　[因为π－α的终边与３π－α的终边相同,而π－α的终边 与α的终边关于y 轴对称,所以α的终边与３π－α的终边关 于y 轴对称．] ４．C　５．A　 ６．BD　[对于 A,－５π３－ － ７π ３( )＝ ２ ３π≠k 􀅰２π,k∈Z,故 A 错 误;对于B,－５π３－ π ３＝－２π＝k 􀅰２π,k∈Z,故 B正确;对于 C,－５π３－ ４π ３＝－３π≠k 􀅰２π,k∈Z,故 C错误;对于 D,－５π３ －１３π３ ＝－６π＝k 􀅰２π,k∈Z,故 D正确,故选BD．] ７．解析:∵l＝３π,α＝１３５°＝３π４ , ∴r＝lα ＝４ ,S＝１２lr＝ １ ２×３π×４＝６π． 答案:４　６π ８．解:(１)由☉O 的半径r＝１０＝AB, 知△AOB 是等边三角形,∴α＝∠AOB＝６０°＝π３． (２)由(１)可知α＝ π３ ,r＝１０,∴弧 长l＝α􀅰r＝ π３ ×１０＝ １０π ３ ,∴S扇形 ＝１２lr＝ １ ２× １０π ３ ×１０＝ ５０π ３ , 而S△AOB＝ １ ２ 􀅰AB􀅰１０３２ ＝ １ ２×１０× １０３ ２ ＝ ５０３ ２ ＝２５３． ∴S＝S扇形 －S△AOB＝ ５０π ３ －２５ ３＝５０ π ３－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷． ９．B　[∵tan７π３＝ ３m m ＝m－ １ ６ ＝ ３,∴m－１＝３３＝２７, ∴m＝１２７ ,故选B．] １０．B　[如图,作出半径为２的圆,由 题意,优 弧 PQ 对 应 的 ∠POQ＝ ４π ３ ,OQ＝２． 过点Q 作QM⊥x轴于点M,连接 OQ,则∠MOQ＝π３ , 可得OM＝１,MQ＝ ３, ∴Q(－１,－ ３)．故选B．] １１．解析:因为α是第二象限角．所以cosα＝１５x＜０ ,即x＜０． 又cosα＝１５x＝ x x２＋１６ , 解得x＝－３,所以tanα＝４x＝－ ４ ３． 答案:－４３ １２．解:设点 M 的坐标为(x１,y１)．由题意可知,sinα＝－ ２ ２ ,即 y１＝－ ２ ２．∵ 点M 在圆x２＋y２＝１上,∴x１２＋y１２＝１, 即x１２＋ － ２２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１,解得x１＝ ２ ２ 或x１＝－ ２ ２． ∴cosα＝ ２２ ,tanα＝－１或cosα＝－ ２２ ,tanα＝１． 新题快递 １．C　[如 图 示:记 从 表 盘 中 心(圆 心)O 到１２点方向的半径为OA, ８:２０时 分 针 方 向 为 OB,时 针 方 向为OC． 则∠AOB＝２０６０×２π＝ ２π ３ , ∠AOC＝ ８１３ １２ ×２π＝ ２５π １８ 所 以 ∠BOC＝ ∠AOC－ ∠AOB ＝２５π１８－ ２π ３＝ １３π １８ , 即八点二十分,时针和分针夹角的弧度数为１３π １８． ] ２．A　[由题意可得,S１ 与S２ 所在扇形圆心角的比即为它们的 面积比．设S１ 与S２ 所 在 扇 形 圆 心 角 分 别 为α,β,则 α β ＝ ５－１ ２ ． 又α＋β＝２π,解得α＝(３－ ５)π．故选 A．] 假期作业１３ 思维整合室 ２．－sinα　－sinα　sinα　cosα　cosα　－cosα　cosα　 －cosα　sinα　－sinα　tanα　－tanα　－tanα 技能提升台　素养提升 １．A ２．A　[由cosα＝１π ,且３π ２＜α＜２π ,得sinα＝－ １－cos２α＝ － １－ １π( ) ２ ＝－ π ２－１ π , 所以tanα＝sinαcosα＝－ π ２－１．] ３．B　[由题意知sinθ＋cosθ＝－m２ ,sinθ􀅰cosθ＝m４． 又(sinθ＋cosθ)２＝１＋２sinθcosθ, ∴m ２ ４＝１＋ m ２ ,解得m＝１± ５． 又Δ＝４m２－１６m≥０,∴m≤０或m≥４,∴m＝１－ ５．] ４．解析:由sinx＋cosx＝１５① ,平方得sin２x＋２sinxcosx＋ cos２x＝１２５ ,即２sinxcosx＝－２４２５ , 所以(sinx－cosx)２＝１－２sinx􀅰cosx＝４９２５ , 又因为－π２＜x＜０ ,所以sinx＜０,cosx＞０,sinx－cosx＜ ０,所以sinx－cosx＝－７５②． 由①②解得sinx＝－３５ ,cosx＝４５ ∴tanx＝－ ３ ４． 答案:－７５　－ ３ ４ ５．B　６．B ７．BC　[由cos π６＋α( )＝ １ ３ ,得 π ６＋α 是第一或第四象限角． 当 π ６＋α 是第四象限角时,sin π６＋α( ) ＝－ １－cos２ π６＋α( ) ＝－ ２ ２ ３ ,故 A不正确; cos ５π６－α( )＝cos π－ π ６＋α( )[ ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １９ ＝－cos π６＋α( )＝－ １ ３ ,故B正确; sin π３－α( )＝sin π ２－ π ６＋α( )[ ]＝cos π ６＋α( ) ＝１３ ,故 C正确; 因为 π ６＋α 是第一或第四象限角,所以α＝ π６＋α( ) － π ６ 不 可能是第二象限角,故 D不正确．故选BC．] ８．解析:sin４００°sin (－２３０°) cos８５０°tan(－５０°) ＝sin (３６０°＋４０°)[－sin(１８０°＋５０°)] cos(７２０°＋９０°＋４０°)(－tan５０°) ＝sin４０°sin５０°sin４０°tan５０° ＝sin５０°sin５０° cos５０° ＝cos５０°． 答案:cos５０° ９．BD　[A选项,tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC,A 不正 确;B选项,cos(２A＋２B)＝cos[２(π－C)]＝cos(－２C)＝ cos２C,B正确;C,D 选项,sinA＋B２ ＝sin π－C ２ ＝cos C ２ ,C 不正确,D正确．故选BD．] １０．解析:原式＝sin(９０°＋５°)＋cos(１８０°＋５°)＋ tan(１８０°＋６０°)＝cos５°＋(－cos５°)＋tan６０° ＝tan６０°＝ ３． 答案:３ １１．解:因为cos π２＋θ( )＝－sinθ,所以sinθ＝－ １ ２． 原式＝ －cosθcosθ(－cosθ－１)＋ cosθ cosθ(－cosθ)＋cosθ ＝ １１＋cosθ＋ １ １－cosθ＝ ２ １－cos２θ ＝ ２ sin２θ ＝８． １２．解:(１)f(θ)＝ (－sinθ)􀅰(－cosθ) sinθ ＝cosθ． (２)f(θ)＝cosθ＝１３ , 当θ为第一象限角时,sinθ＝ １－cos２θ＝２ ２３ , tanθ＝sinθcosθ＝２ ２ ; 当θ为第四象限角时,sinθ＝－ １－cos２θ ＝－２ ２３ ,tanθ＝sinθcosθ＝－２ ２． 综上可知,tanθ＝２ ２或－２ ２． (３)因为f π６－θ( )＝cos π ６－θ( )＝ １ ３ , 所以f ５π６＋θ( )＝cos ５π ６＋θ( ) ＝cos π－ π６－θ( )[ ]＝－cos π ６－θ( )＝－ １ ３． 新题快递 １．ABD 　 [对 于 A,sin π３＋α( ) ＝sin π－ π ３＋α( )[ ] ＝ sin ２π３－α( ) ,正确;对于B,sin π ４＋α( )＝cos π ２－ π ４＋α( )[ ] ＝cos π４－α( )＝－cos π＋ π ４－α( )[ ]＝－cos ５π ４－α( ) ,正 确;对 于 C,tan π３－α( ) ＝ － tan π－ π ３－α( )[ ] ＝ －tan ２π３＋α( ) ,错 误;对 于 D,tan ２αsin２α＝sin ２α cos２α sin２α＝ １－cos２α cos２α( ) 􀅰sin ２α＝sin ２α cos２α －sin２α＝tan２α－sin２α,正确．] ２．ABD　[因为θ∈(０,π),则sinθ＞０． 对于 A选项,(sinθ＋cosθ)２＝１＋２sinθcosθ＝１２５ , 可得sinθcosθ＝－１２２５ ,A对; 对于B选项,由 A选项可知,cosθ＜０,则sinθ－cosθ＞０, 所以,(sinθ－cosθ)２＝１－２sinθcosθ＝４９２５ ,则sinθ－cosθ＝ ７ ５ ,B对; 对于C选项, sinθ＋cosθ＝１５ sinθ－cosθ＝７５ ì î í ïï ï ,可得 sinθ＝４５ cosθ＝－３５ ì î í ïï ï ,则tanθ ＝sinθcosθ＝－ ４ ３ ,C错;对于 D 选项,sin３θ＋cos３θ＝ ４５( ) ３ ＋ －３５( ) ３ ＝３７１２５ ,D对．] 假期作业１４ 思维整合室 x＝２kπ＋π２ ,k∈Z　x＝２kπ－π２ ,k∈Zx＝２kπ,k∈Z　 x＝２kπ－π,k∈ Z　 k􀅰２π－π２ ,k􀅰２π＋π２[ ](k∈ Z)　 k􀅰２π＋π２ ,k􀅰２π＋３π２[ ](k∈Z)　 k􀅰２π－π,k􀅰２π[ ](k∈Z)　 [k􀅰２π,k􀅰２π＋π](k∈Z)　 k􀅰π－π２ ,k􀅰π＋π２( )(k∈Z)　 ２π　２π　π　(kπ,０),k∈Z　 kπ＋π２ ,０( ) ,k∈Z　 kπ２,０( ) ,k∈Z 　x＝kπ＋π２ ,k∈Z　x＝kπ,k∈Z 技能提升台　素养提升 １．D　[由２cosx＋１≥０,得cosx≥－１２ , 解得２kπ－２π３≤x≤２kπ＋ ２π ３ ,k∈Z． 所以函数的定义域是 ２kπ－２π３ ,２kπ＋２π３[ ](k∈Z)． 故选 D．] ２．D　[函数y＝sin２x－cosx＝－cos２x－cosx＋１, 令t＝cosx,t∈[－１,１], 则y＝－t２－t＋１＝－ t＋１２( ) ２ ＋５４ ,t∈[－１,１], 所以当t＝－１２ ,即cosx＝－１２ 时,函数取得最大值 ５ ４． 故 选 D．] ３．解 析:由 题 意 知 a＋b＝１ , －a＋b＝－３{ 或 a＋b＝－３, －a＋b＝１,{ 解 得 a＝２, b＝－１{ 或 a＝－２, b＝－１．{ 故函数g(x)的最大值为a－b＝a＋１,即 最大值为３或－１,函数g(x)的最小值为a＋b＝a－１,即最小 值为１或－３． 答案:３或－１　１或－３ ４．C　 [f(x)＝cos２x－sin２x＝cos２x,选 项 A 中,２x∈ －π,－π３( ) ,此 时 f(x)单 调 递 增,选 项 B 中,２x∈ －π２ ,π ６( ) ,此时 f(x)先 递 增 后 递 减,选 项 C 中,２x∈ ０,２π３( ) ,此时f(x)单调递减,选项 D中,２x∈ π ２ ,７π ６( ) ,此时 f(x)先递减后递增．故选C．] ５．D　[因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间 π ６ ,２π ３( ) 单调递增, 所以T ２＝ ２π ３－ π ６＝ π ２ ,且ω＞０,则T＝π,ω＝２πT＝２ , 当x＝π６ 时,f(x)取得最小值,则２􀅰π６＋φ＝２kπ－ π ２ ,k∈Z,则 φ＝２kπ－ ５π ６ ,k∈Z, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２９