假期作业12 任意角的三角函数与弧度制-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　假期作业１２　任意角的三角函数与弧度制　　　　　　　　 １．角的有关概念 (１)从运动的角度看,可 分 为 正 角、　 　 　 和　　　． (２)从终边位置来看,可分为　　　　和轴线角． (３)若α与β 角的终边相同,则β用α 表示为 β＝α＋２kπ(k∈Z)． ２．弧度的定义和公式 (１)定义:在单位圆中,把长度等于　　　　的 弧所对的圆心角叫做１弧度的角,弧度记 作rad． (２)角度与弧度的换算①１°＝ π１８０rad ;②１rad ＝ １８０π æ è ç ö ø ÷°． (３)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad), 半径为r,则l＝　　　　,扇形的面积为S ＝１２lr＝ １ ２r ２α． ３．任意角的三角函数 定义:设α是一个任意角,它的终边与单位 圆交于点P(x,y),那么sinα＝　　　　, cosα＝　　　　,tanα＝yx． ◆[考点一]　角的概念 １．(多选)以下表示第四象限角的集合．正确 的是 (　　) A．{x|２７０°＜x＜３６０°} B．{x|２７０°＋k􀅰３６０°≤x≤(k＋１)􀅰３６０°,k∈Z} C．{x|２７０°＋k􀅰３６０°＜x＜(k＋１)􀅰３６０°,k∈Z} D．{x|k􀅰３６０°－９０°＜x＜k􀅰３６０°,k∈Z} ２．二十四节气(The２４SolarTerms)是指中国 农历中表示季节变迁的２４个特定节令,是 根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨 道)上的位置变化而制定的,每一个分别相 应于地球在黄道上每运动１５°所到达的一定 位置．根据上述描述,从秋分到小雪相应于 地球在黄道上运动的度数为 (　　) A．６０° B．－７５° C．４５° D．－６０° ３．α是一个任意角,则α的终边与３π－α的 终边 (　　) A．关于坐标原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 ４．给出下列四个命题: ①－３π４ 是第二象限角;②４π３ 是第三象限角; ③－４００°是第四象限角;④－３１５°是第一象 限角． 其中正确的命题有 (　　) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ◆[考点二]　弧度制 ５．已知扇形的周长是６cm,面积是２cm２,则 扇形的圆心角的弧度数是 (　　) A．１或４ B．１ C．４ D．８ ６．(多选)已知角θ与角－５π３ 的终边相同,则角 θ可以是 (　　) A．－７π３ B． π ３ C．４π３ D． １３π ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９２ ７．弧长为 ３π,圆心角为 １３５°的扇形半径为 　　　　,面积为　　　　． ８．已 知 半 径 为 １０ 的 圆 O 中,弦 AB 的 长 为１０． (１)求弦AB 所对的圆心角α的大小; (２)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓 形的面积S． ◆[考点三]　任意角的三角函数 ９．已知角α的终边经过点( m,３m),若α＝ ７π ３ ,则m 的值为 (　　) A．２７　　　B．１２７　　　C．９　　　D． １ ９ １０．在平面直角坐标系xOy 中,若点 P 从点 (２,０)出发,沿圆心在原点,半径为２的圆 按逆时针方向运动４π ３ 弧度到达点Q,则点 Q 的坐标是 (　　) A．(－１,３) B．(－１,－ ３) C．(１,３) D．(１,－ ３) １１．设α是第二象限角,P(x,４)为其终边上的一 点,且cosα＝１５x ,则tanα＝　　　　． １２．已知点M 是圆x２＋y２＝１上的点,以射线OM 为终边的角α的正弦值为－ ２２ ,求cosα和 tanα的值． １．八点二十分这个时刻同学们一定不陌生,因 为那是我们学校第一节课上课的时刻．请你 联想或观察黑板上方的钟表,对下面的问题 做出选择:八点二十分,时针和分针夹角的 弧度数为 (　　) A．１１π１８　　B． ２π ３　　C． １３π １８　　D． ７π ９ ２．中国传统折扇文化有着 极其深厚的底蕴．一般 情况下,折扇扇面所在 的扇形可看作是从一个 圆面中剪下的扇形制作而成．设扇形的面积 为S１,圆面中剩余部分的面积为S２,当S１ 与S２ 的比值为 ５－１２ 时,扇面看上去形状较 为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为 (　　) A．(３－ ５)π B．(５－１)π C．(５＋１)π D．(５－２)π 一老头骑三轮蹭了路 边停的一辆路虎,正愁眉 苦脸时,这时走过来一个 路人, 路人问:赔得起么? 老头:赔不起! 路人说:赔不起还不跑,等人家来找你啊! 老头欲言又止,最终还是一步三回头的 走了! 这时这名路人拿出钥匙开着路虎走了! 人一生当中,最大的炫耀,不是你的财富, 也不是你的精明,更不是你的手段; 而是一种简单的理解和体谅! 没有 一 颗 善 良 的 心! 拜 再 多 的 佛 也 没 有用􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０３ (２)至多有两人当选的概率为１－P(ABC) ＝１－P(A)P(B)P(C)＝１－４５× ３ ５× ７ １０＝ ８３ １２５． 新题快递 １．C　[在这１００名学生中,只能说出一种或一种也说不出的 有１００－７３＝２７人, 设该校三年级的４００名学生中,对四大发明只能说出一种或 一种也说不出的有x人,则１００２７＝ ４００ x ,解得x＝１０８人．] ２．ABD　[对于 AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式可 知 AB正确:对于 C,三次传输译码为１,则可能是三次全部 译为１,或者有两次译为１,则概率为 C２３β(１－β) ２＋(１－β) ３, 故C错误;对于 D,可以采用特值法或者作差法计算．三次传 输方案译为０的概率为 C２３α(１－α)２＋(１－α)３,单次传输译 为０的概率为１－α,而 C２３α(１－α)２＋(１－α)３－(１－α)＝(１ －α)α(１－２α)＞０,所以 D正确．] 假期作业１２ 思维整合室 １．(１)负角　零角　(２)象限角　２．(１)１　(３)r|α|　３．y　x　 技能提升台　素养提升 １．CD　２．A ３．C　[因为π－α的终边与３π－α的终边相同,而π－α的终边 与α的终边关于y 轴对称,所以α的终边与３π－α的终边关 于y 轴对称．] ４．C　５．A　 ６．BD　[对于 A,－５π３－ － ７π ３( )＝ ２ ３π≠k 􀅰２π,k∈Z,故 A 错 误;对于B,－５π３－ π ３＝－２π＝k 􀅰２π,k∈Z,故 B正确;对于 C,－５π３－ ４π ３＝－３π≠k 􀅰２π,k∈Z,故 C错误;对于 D,－５π３ －１３π３ ＝－６π＝k 􀅰２π,k∈Z,故 D正确,故选BD．] ７．解析:∵l＝３π,α＝１３５°＝３π４ , ∴r＝lα ＝４ ,S＝１２lr＝ １ ２×３π×４＝６π． 答案:４　６π ８．解:(１)由☉O 的半径r＝１０＝AB, 知△AOB 是等边三角形,∴α＝∠AOB＝６０°＝π３． (２)由(１)可知α＝ π３ ,r＝１０,∴弧 长l＝α􀅰r＝ π３ ×１０＝ １０π ３ ,∴S扇形 ＝１２lr＝ １ ２× １０π ３ ×１０＝ ５０π ３ , 而S△AOB＝ １ ２ 􀅰AB􀅰１０３２ ＝ １ ２×１０× １０３ ２ ＝ ５０３ ２ ＝２５３． ∴S＝S扇形 －S△AOB＝ ５０π ３ －２５ ３＝５０ π ３－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷． ９．B　[∵tan７π３＝ ３m m ＝m－ １ ６ ＝ ３,∴m－１＝３３＝２７, ∴m＝１２７ ,故选B．] １０．B　[如图,作出半径为２的圆,由 题意,优 弧 PQ 对 应 的 ∠POQ＝ ４π ３ ,OQ＝２． 过点Q 作QM⊥x轴于点M,连接 OQ,则∠MOQ＝π３ , 可得OM＝１,MQ＝ ３, ∴Q(－１,－ ３)．故选B．] １１．解析:因为α是第二象限角．所以cosα＝１５x＜０ ,即x＜０． 又cosα＝１５x＝ x x２＋１６ , 解得x＝－３,所以tanα＝４x＝－ ４ ３． 答案:－４３ １２．解:设点 M 的坐标为(x１,y１)．由题意可知,sinα＝－ ２ ２ ,即 y１＝－ ２ ２．∵ 点M 在圆x２＋y２＝１上,∴x１２＋y１２＝１, 即x１２＋ － ２２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１,解得x１＝ ２ ２ 或x１＝－ ２ ２． ∴cosα＝ ２２ ,tanα＝－１或cosα＝－ ２２ ,tanα＝１． 新题快递 １．C　[如 图 示:记 从 表 盘 中 心(圆 心)O 到１２点方向的半径为OA, ８:２０时 分 针 方 向 为 OB,时 针 方 向为OC． 则∠AOB＝２０６０×２π＝ ２π ３ , ∠AOC＝ ８１３ １２ ×２π＝ ２５π １８ 所 以 ∠BOC＝ ∠AOC－ ∠AOB ＝２５π１８－ ２π ３＝ １３π １８ , 即八点二十分,时针和分针夹角的弧度数为１３π １８． ] ２．A　[由题意可得,S１ 与S２ 所在扇形圆心角的比即为它们的 面积比．设S１ 与S２ 所 在 扇 形 圆 心 角 分 别 为α,β,则 α β ＝ ５－１ ２ ． 又α＋β＝２π,解得α＝(３－ ５)π．故选 A．] 假期作业１３ 思维整合室 ２．－sinα　－sinα　sinα　cosα　cosα　－cosα　cosα　 －cosα　sinα　－sinα　tanα　－tanα　－tanα 技能提升台　素养提升 １．A ２．A　[由cosα＝１π ,且３π ２＜α＜２π ,得sinα＝－ １－cos２α＝ － １－ １π( ) ２ ＝－ π ２－１ π , 所以tanα＝sinαcosα＝－ π ２－１．] ３．B　[由题意知sinθ＋cosθ＝－m２ ,sinθ􀅰cosθ＝m４． 又(sinθ＋cosθ)２＝１＋２sinθcosθ, ∴m ２ ４＝１＋ m ２ ,解得m＝１± ５． 又Δ＝４m２－１６m≥０,∴m≤０或m≥４,∴m＝１－ ５．] ４．解析:由sinx＋cosx＝１５① ,平方得sin２x＋２sinxcosx＋ cos２x＝１２５ ,即２sinxcosx＝－２４２５ , 所以(sinx－cosx)２＝１－２sinx􀅰cosx＝４９２５ , 又因为－π２＜x＜０ ,所以sinx＜０,cosx＞０,sinx－cosx＜ ０,所以sinx－cosx＝－７５②． 由①②解得sinx＝－３５ ,cosx＝４５ ∴tanx＝－ ３ ４． 答案:－７５　－ ３ ４ ５．B　６．B ７．BC　[由cos π６＋α( )＝ １ ３ ,得 π ６＋α 是第一或第四象限角． 当 π ６＋α 是第四象限角时,sin π６＋α( ) ＝－ １－cos２ π６＋α( ) ＝－ ２ ２ ３ ,故 A不正确; cos ５π６－α( )＝cos π－ π ６＋α( )[ ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １９