假期作业7 幂函数、以及指数函数，幂函数、对数函数的增长比较-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　　 假期作业７　幂函数、以及指数函数,幂 函数、对数函数的增长比较 　　　　　　　 １．幂函数 (１)幂函数的定义 一般地,形如　　　的函数称为幂函数,其 中x是自变量,α为常数． (２)常见的５种幂函数的图象 ２．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数, a≠０) 二次函数型 f(x)＝ax２＋bx＋c(a,b,c 为常数,a≠０) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常 数,a＞０且a≠１,b≠０) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为 常数,a＞０且a≠１,b≠０) 幂函数型 f(x)＝axn ＋b(a,b 为常 数,a≠０) ３．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的 图象与性质 　　函数 性质　　 y＝ax (a＞１) y＝logax (a＞１) y＝xn (n＞０) 在(０,＋∞)上 的增减性 　　　　 　　　　 　　　　 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 续表 图象的变化 随 x 的 增 大 逐 渐 表 现 为 与 　 　　平行 随 x 的 增 大 逐 渐 表 现 为 与 　 　　平行 随 n 值 变 化 而 各 有 不同 值的比较 存在一个x０,当x＞x０ 时, 有logax＜xn＜ax ◆[考点一]　幂函数 １．幂函数y＝f(x)的图象过点(４,２),则幂函 数y＝f(x)的图象是 (　　 ) ２．已知幂函数f(x)＝(n２＋２n－２)xn ２－３n(n∈Z) 的图象关于y轴对称,且在(０,＋∞)上是减函 数,则n的值为 (　　 ) A．－３ B．１ C．２ D．１或２ ３．(多选)已知点 a,１８ æ è ç ö ø ÷在幂函数f(x)＝(a－１)xb 的图象上,则函数f(x)是 (　　 ) A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．(０,＋∞)上的减函数 ４．若(a＋１)－ １ ３ ＜(３－２a)－ １ ３ ,则实数a的取值 范围是　　　　　． ◆[考点二]　几种函数模型增长差异的比较 ５．下列函数中随x 的增大,增长率最终最大 的是 (　　) A．y＝１０００x B．y＝x２ C．y＝lnx D．y＝(１．０１)x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４１ ６．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系 为y＝alog３(x＋１),设这种动物第２年有 １００只,到第８年它们发展到 (　　 ) A．２００只 B．３００只 C．４００只 D．５００只 ７．在某个物理实验中,测量得变量x和变量y 的几组数据,如下表: x ０．５０ ０．９９ ２．０１ ３．９８ y －０．９９ ０．０１ ０．９８ ２．００ 则对x,y最适合的拟合函数是 (　　) A．y＝２x B．y＝x２－１ C．y＝２x－２ D．y＝log２x ８．现测得(x,y)的两组对应值分别为(１,２), (２,５),现有两个待选模型,甲:y＝x２＋１, 乙:y＝３x－１,若又测得(x,y)的一组对应 值为(３,１０．２),则应选用　　　　作为函数 模型． ◆[考点三]　函数模型的综合应用 ９．当２＜x＜４时,２x,x２,log２x的大小关系是 (　　) A．２x＞x２＞log２x B．x２＞２x＞log２x C．２x＞log２x＞x２ D．x２＞log２x＞２x １０．一个容器装有细沙acm３,细沙从容器底下 一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后 剩 余 的 细 沙 量 为y＝ae－bt(cm３),经 过 ８min后发现容器内还有一半的沙子,则再 经过　　　　min,容器中的沙子只有开始 时的八分之一． １１．函数f(x)＝２x(x＞０)和g(x) ＝x２(x＞０)的图象如图所示． 设两函数的图象交于点A(x１, y１),B(x２,y２),且x１＜x２． (１)请指出图中曲线C１,C２ 分 别对应的函数; (２)求点A,B 的坐标; (３)结 合 函 数 图 象,判 断 f(３),g(３), f(２０２４),g(２０２４)的大小． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５１ １２．原有一片面积为a的森林,计划每年砍伐 一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,经 计算,当砍伐到原面积的一半时,所用时间 是１０年,为保护生态环境,森林面积至少 要保留原面积的１ ４ ,已知到今年为止,森林 的剩余面积为原面积的 ２ ２． (１)求每年砍伐面积的百分比; (２)到今年为止,已经砍伐了多少年? (３)今后最多还能砍伐多少年? １．已知a＝２ １ ３ ,b＝３ １ ３ ,c＝２－１,d＝log２ １２ ,则下 列不等关系正确的是 (　　) A．c＞d＞b＞a B．c＞b＞d＞a C．b＞a＞c＞d D．d＞a＞c＞b ２．已知函数f(x)＝ ax,x≤０, ３a－x １ ２,x＞０{ (a＞０,且a≠１) 是R上的减函数,则实数a 的取值范围是 　　　　　　　　． 建筑师们对０．６１８特别偏爱 无论是古埃及的金字塔,还是巴黎圣母 院,或者是法国的埃菲尔铁塔,都有与０．６１８ 有关的数据．古希腊帕特农神庙是举世闻名的 完美建筑,它的高和宽的比是０．６１８．建筑师 们发现,按这样的比例设计殿堂,殿堂更加雄 伟、美丽;设计别墅,别墅将更加舒适、漂亮． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６１ ∴g(x１)＜g(x２)． 又∵０＜a＜１,∴f(x１)＞f(x２), ∴f(x)是(a,＋∞)上的减函数． (２)∵loga １－ a x( ) ＞１,且０＜a＜１, ∴０＜１－ax ＜a ,∴１－a＜ax ＜１． ∵０＜a＜１,∴１－a＞０, 从而a＜x＜ a１－a． ∴x的取值范围是 a,a１－a( )． １２．解:(１)当m＝１时,f(x)＝log２(x２－２x＋３)＝log２[(x－ １)２＋２],故f(x)的值域为[１,＋∞)． (２)由f(１)＜f(２),得 log２(４－２m)＜log２(７－４m), 所以 ４－２m＞０, ７－４m＞０, ４－２m＜７－４m,{ 解得m＜３２ , 即实数m 的取值范围为 －∞,３２( )． (３)f(x)＝log２(x２－２mx＋３) ＝log２[(x－m)２＋３－m２]． 若f(x)在区间(２,＋∞)上单调递增, 则m≤２且７－４m≥０,所以m≤７４ , 即实数m 的取值范围为 －∞,７４( ]． 新题快递 １．D　[因为函数f(x)满足x１≠x２ 时恒有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０ 成立,所以函数f(x)＝ (２－a)x－３a＋３,x＜１, logax,x≥１{ 在 R 上单 调递增,所以 ２－a＞０, a＞１, (２－a)－３a＋３≥loga１,{ 解得a∈ ５４ ,２[ ) ,故选 D．] ２．解析:当x≥０时,g(x)＝２⇔log２(x＋１)＝２,解得x＝３; 当x＜０时,g(x)＝f(－x)＝２x＋１＝２,解得x＝０(舍); 所以g(x)＝２的解为:x＝３． 答案:x＝３ 假期作业７ 思维整合室 １．(１)y＝xα　３．单调递增　单调递增　单调递增　y 轴　 x轴 技能提升台　素养提升 １．C　[令f(x)＝xα,则４α＝２,∴α＝１２ , ∴f(x)＝x １ ２ ．] ２．B　[由于f(x)为幂函数,所以n２＋２n－２＝１, 解得n＝１或n＝－３,经检验只有n＝１适合题意,故选B．] ３．BD　[∵由题意a－１＝１,解得a＝２,∴f(x)＝xb,则２b＝１８ ＝２－３,∴b＝－３,即f(x)＝x－３,∴f(x)＝x－３为奇函数,且 在(０,＋∞)上为减函数．] ４．解析:不等式(a＋１)－ １ ３ ＜(３－２a)－ １ ３ 等价于a＋１＞３－２a＞ ０或３－２a＜a＋１＜０或a＋１＜０＜３－２a,解得a＜－１或 ２ ３＜a＜ ３ ２． 则实数a的取值范围是(－∞,－１)∪ ２３ ,３ ２( ) 答案:(－∞,－１)∪ ２３ ,３ ２( ) ５．D　[当x充分大时,指数函数y＝ax(a＞１)增长最快,因此 选 D．] ６．A　[由已知得１００＝alog３(２＋１),得a＝１００, 则当x＝８时,y＝１００log３(８＋１)＝２００(只)．故选 A．] ７．D　[根据x＝０．５０,y＝－０．９９,代入计算,可以排除 A;根据 x＝２．０１,y＝０．９８,代入计算,可以排除 B、C;将各数据代入 函数y＝log２x,可知满足题意．故选 D．] ８．解析:将x＝３分别代入y＝x２＋１及y＝３x－１中,得y＝３２ ＋１＝１０,y＝３×３－１＝８．由于１０更接近１０．２,所以选用甲 模型． 答案:甲 ９．B　 [在 同 一 坐 标 系 中 画 出 函 数 y＝ log２x,y＝x２,y＝２x 的图象,在区间(２, ４)内从上往下依次是y＝x２,y＝２x,y＝ log２x 的 图 象,∴x２ ＞ ２x ＞log２x． 故选B．] １０．解析:依题意有a􀅰e－b×８＝１２a , ∴b＝－ln２８ , ∴y＝a􀅰e－ ln２ ８ 􀅰t若容器中只有开始时的八分之一, 则有a􀅰e－ ln２ ８ 􀅰t＝１８a ,解得t＝２４, 所以再经过的时间为２４－８＝１６min． 答案:１６ １１．解:(１)C１ 对应的函数为g(x)＝x２(x＞０),C２ 对应的函数 为f(x)＝２x(x＞０)． (２)因为f(２)＝４,g(２)＝４,f(４)＝１６,g(４)＝１６, 所以A(２,４),B(４,１６)． (３)由题图和(２)可知, 当０＜x＜２时,f(x)＞g(x), 当２＜x＜４时,f(x)＜g(x), 当x＞４时,f(x)＞g(x), 所以f(２０２３)＞g(２０２３),f(３)＜g(３), 又因为g(x)在(０,＋∞)上为增函数, 所以g(２０２３)＞g(３), 故f(２０２３)＞g(２０２３)＞g(３)＞f(３)． １２．解:(１)设每年砍伐面积的百分比为x ０＜x＜３４( ) , 则a(１－x)１０＝１２a ,即(１－x)１０＝１２ ,解得x＝１－ １２( ) １ １０ ． 所以所求百分比为１－ １２( ) １ １０ ． (２)设经过n年的砍伐,森林的剩余面积为原面积的 ２２ ,则 a􀅰 １２( ) n １０ ＝ ２２a ,即 １ ２( ) n １０ ＝ １２( ) １ ２ ,解得n＝５,所以到 今年为止,已经砍伐了５年． (３)设该 片 森 林 一 共 可 砍 伐 m 年,则a １２( ) m １０ ＝ １４a ,即 １ ２( ) m １０ ＝ １２( ) ２ ,解得m＝２０, 所以该片 森 林 一 共 可 砍 伐 ２０ 年,故 今 后 最 多 还 能 砍 伐 ２０－５＝１５(年)． 新题快递 １．C　[因为幂函数y＝x １ ３ 在(０,＋∞)上单调递增,所以b＞a＞２０ ＝１．c＝２－１＝１２ ,由对数函数的性质得d＝log２ １２ ＝－１ ,故 b＞a＞c＞d,故选C．] ２．解析:当x≤０时,由f(x)＝ax 为减函数,知０＜a＜１;当x ＞０时,由f(x)＝３a－x １ ２ 为减函数,知a∈R,且要满足a０≥ ３a,解得a≤１３． 综上可知,实数a的取值范围为 ０,１３( ]． 答案:０,１３( ] 假期作业８ 思维整合室 １．(１)f(x０)＝０　(２)x轴　零点　(３)f(a)􀅰f(b)＜０　(a,b) 　２．(x１,０),(x２,０)　(x１,０)　２　１　０ 技能提升台　素养提升 １．CD　[有 两 个 零 点 就 是 函 数 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点,故 选 CD．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７８