假期作业5 指数、指数函数-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　假期作业５　指数、指数函数　　　　　　　 １．根式 (１)概念:式子na叫做　　　,其中n叫做根指 数,a叫做被开方数． (２)性质:(na)n＝　　(a使na有意义);当n 为奇数时,nan＝　　,当n为偶数时, n an ＝|a|＝ a,a≥０, －a,a＜０．{ ２．分数指数幂 (１)规定:正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝ 　　(a＞０,m,n∈N∗ ,且n＞１);正数的负 分数指数幂的意义是a－ m n ＝　　(a＞０,m, n∈N∗ ,且n＞１);０的正分数指数幂等于 ０;０的负分数指数幂　　　　． (２)有理指数幂的运算性质:aαaβ＝　　;(aα)β ＝　　;(ab)α＝　　,其中a＞０,b＞０,α,β ∈Q． ３．指数函数及其性质 (１)概念:函数　　　　　叫做指数函数,其中 指数x是自变量,函数的定义域是 R,a是 底数． (２)指数函数的图象与性质 a＞１ ０＜a＜１ 图象 定义域 R 值域 　　　　 性质 过定点　　　,即x＝０时,y＝１ 当x＞０时,　　　; 当x＜０时,　　　 当x＜０时,　　　; 当x＞０时,　　　 在(－∞,＋∞)上是 　　　 在(－∞,＋∞)上是 　　　 ◆[考点一]　有理数指数幂的运算 １．化简[ ３(－５)２] ３ ４ 的结果为 (　　) A．５ B．５ C．－５ D．－５ ２．已知x６＝６,则x等于 (　　) A．６ B． ６ ６ C．－６６ D．± ６ ６ ３．(多选)下列运算结果中,一定正确的是 (　　) A．a３􀅰a４＝a７ B．(－a２)３＝a６ C． ８ a８＝a D． ５(－π)５＝－π ４．化简:１４ æ è ç ö ø ÷ －１２ 􀅰 (４ab －１)３ (０．１)－１􀅰(a３􀅰b－３) １ ２ (a＞０,b＞０)＝　　　　． ◆[考点二]　指数函数的图象及应用 ５．函数f(x)＝(２a－３)ax 是指数函数,则 f(１)＝ (　　) A．８ B．３２ C．４ D．２ ６．函数f(x)＝ex＋x－１x＋１ 的图象大致是(　　) ７．(多选)某数学课外兴趣小组对函数f(x)＝ ２|x－１|的图象与性质进行了探究,得到的下 列四个结论中正确的有 (　　) A．该函数的值域为(０,＋∞) B．该函数在区间[０,＋∞)上单调递增 C．该函数的图象关于直线x＝１对称 D．该函数的图象与直线y＝－a２(a∈R)不 可能有交点 ８．已知函数f(x)是指数函数,如果f(３)＝ ９f(１),那么f(８)　　　　f(４)(请在横线 上填写“＞”“＝”或“＜”)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９ ◆[考点三]　指数函数的性质 ９．(多选)下列函数中,最小值为２的是(　　) A．f(x)＝x２＋２x＋３ B．g(x)＝ex＋e－x C．h(x)＝３x＋２ D．m(x)＝２|x|＋１ １０．函数y＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ８－２x－x２ 的单调递增区间为 　　　　． １１．已知函数f(x)＝ax(a＞０且a≠１)的图象 经过点(－２,１６)． (１)求a,并比较f m２＋７４ æ è ç ö ø ÷与f m－１４ æ è ç ö ø ÷的 大小; (２)求函数g(x)＝a－x ２ ＋２x－４的值域． １２．已知函数f(x)＝a－ ２３x＋１ (a∈R)． (１)当a＝１２ 时,求函数g(x)＝ f(x)的定 义域; (２)判断函数f(x)的单调性,并用单调性 的定义证明你的结论． １．若a＝(３) ４ ３ ,b＝９ １ ５ ,c＝８ ７ １０,则 (　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b ２．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝２x(x－a) 在区间(０,１)单调递减,则a的取值范围是 (　　) A．(－∞,－２] B．[－２,０) C．(０,２] D．[２,＋∞) 竹子 用 了 ４ 年 的 时 间,仅 仅 长 了 ３cm,在 第 五年 开 始,以 每 天 ３０cm 的速度疯狂的生长,仅仅 用了六周的时间就长到了１５米． 其实,在前面的四年,竹子将根在土壤里 延伸了数百平米． 做人做事亦是如此,不要担心你此时此刻 的付出得不到回报,因为这些付出都是为了 扎根． 人 生 需 要 储 备! 多 少 人,没 熬 过 那 三 厘米! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０１ 三0022 高一教学 假期作业4 10.D 思维整合室 11.解：(1)证明：设x1,x是R上的任意两个实数，且x<x2, 1.数集唯一确定2.x)<f（)(.1)>f(.2)增函数 则f(x1)一f(x4)=(一2.x1十m)一（一2x2十m) 3.f(x)一f(.x)4.(1)y轴偶函数(2)原点 2(x4-x1),x1<x4x2-x1>0 技能提升台素养提升 ∴f(x,)>f(x)..函数f(x)在R上是减函数 1.D (2):函数f(x)是奇函数，.对任意x∈R,有f(一x)= 2B[/(传)）=log}=log2=-2. -f(x)..2x十m=-(一2x十m)..m=0. 12.解：(1)因为f(x-1)=a(.x-1)+b,f(x+1)=a(x+1)+ f(()月=-2)=3=1 b,所以3f(x-1)-2f(x十1)=3[a(x-1)十b] 2[a(x+1)+b]=ax-5a+b=2x-6, 3.解析：因为f(x)是一次函数，可设f(x)一ax十b(a≠0)， .3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17.即a.x+(5a+ 品6-6每释公 所以4=2， b)=2x+17, (2)由(1)可知：f(x)=2.x+4. 5十6=17.解得4=2， 因此应有a=2, 所以g(x)=x[f(x)-6]=x(2x+4-6)=2(x-x) 1b=7. 故f(x)的解析式是f(x)=2x十7. 答案：2x十7 4.B"[对于A,y=2024-2023.x在R上单调递减，故A 当x=2时，gx)取最小值-之： 错误： 当x=2时，g(x)取最大值4. 对于B,易知y=2x+3开口向上，对称轴为x=0, 新题快递 所以y=2x+3在区间(0,4)上单调递增，故B正确： 1.ACD[对于A,对于任意的x,y都有f(xy)=f(x)十f(y) 对于C,y=一(x一2)开口向下，对称轴为x=2, 一1，令x=y=1,则有f(1)=f(1)+(1)一1，所以f(1) 所以y=一(x一2)2在（一∞，2）上单调递增，在(2，十∞)上 1,故A正确： 单调递减，故C错误： 对于B,对于任意的x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)-1,令x 对于Dy=x-8x一6开口向上，对称轴为x=4, =y=一1，则有f(1)=f(一1)+f(一1)一1，所以f(一1)= 所以y=x2-8.x一6在（一∞，4）上单调递减，故D错误.] 1:令y=一1，则有f(一x)=(x)十f(一1)一1，所以f(一x) 5.AD[对于A,函数y=2x十x十1图象的对称轴为直线x 一f(x),故f(x)是偶函数，故B错误； = ，开口向上，所以函数y=2.x2十x十1在(0，十四)上 1 对于C,任取y>x>0,不纺令y=tx(t>1),则有f(y) f(r)=f(1x)-f(x)=f(t)+f(x)-1-f(r)=f(t)一1，图 单调递增，故A正确： 为当x>1时，f(x)>1,所以f(t)>1,即f(y)-f(x)>0, 对于B,周为当x=一2时y=- 3· 所以f(x)在(0，十○)上单调逆增，故C正确： 对于D,由B的判断过程，可知f(x)是偶函数，由C的推导 当x=2时，y=1, 可知f(x)在(0，十∞）上单调递增.对于任意的x,y都有 所以函数y=在(-0，U1,十∞)上不是减画数，故 f(xy)=f(x)十f(y)一1，且f(2)=3,令x=y=2,可得 B错误：对于C,解不等式5+4x一x≥0，得一1≤x≤5， f(4)=f(2)+f(2)-1=5,令x=4,y=2,可得f(8)=f(4) 十f(2)一1=7，所以f(x-1)>7可化为f(x-1)>f(8), 所以函数y=√5十4x一x的定义城为[-1,5]，故C错误 脚x-1>8,解得x<一7或x>9,即f(x一1)>7的解集 对于D,由a十b>0,得a>一b,b>一a,由于f(x)在R上是 为{xx<-7或x>9),故D正确.故选ACD.] 增函数，故f(a)>f(一b),f(b)>f(一a),所以f(a)十f(b) >f(一a)+f(一b),故D正确，故选AD.] 2解折画数=侣00， 6.解析：由g(r)=++1=工++1，易知g(x)在 方程f(1十x)=f(2x), x .当x<0时，2=e十1，解得x=0,不成立： [合1]上单调适减，在1.2]上单调递增，则g（x)一 当x≥0时，f(1+x)=f(2.x)=2,成立. g(1)=3.于是f(.x)也在x=1处取得最小值3，则b=-2,c ,.方程f(1+x)=f(2x)的解集是{xx≥0} =4,即f(x)=x2一2.x十4=(x一1)+3.所以f(x)在区间 答案：{xx≥0 [合，2]上的最大值为2) 假期作业5 思维整合室 答案：43 7.D[因为f(x)=e 。一为祸函数，则f) L,(1)根式(2)aa2.(1Da 没有意义 (2)a*+7a0ab°3.(1)y=a(a>0且a≠1) er-1 =0,又因为x (2)(0,+∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增 函数减函数 不恒为0， 可得e-er=0,即e=ea-r, 技能提升台素养提升 则x=(u一1)x,即1=a-1.解得a=2.] 1.B[原式=(52)×导=5×=57=5.] 8.CD[将西数f(x)=xx一2x去掉绝对值 2.D[6是祸数，故当x=6时，x=士，故选D.] 得f(x)=r-2rx≥0， 3.AD[a3·a=a+=a,故A正确；(-a2)=-a,故B不 {-x2-2r,x<0, 正确：派=a,故C不正确：/-x于=一π，故D正确. 画出西数f(x)的图象，如图，观察图象可知， 故选AD.] 函数F(x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在（一1,1）上单调递减，在（一∞，一1）上单 解折原式=2×2：。：6-g×10-号 调递增，故达CD.门 10·a·b量 2.x-1 9.B[由题意知g)=l血2是奇函数，而/v)=(x+u)gr 答案：8 为偶函数，有f(-x)=(-r十a)g(-x)=-(一r十a)g(x)= 5.D[,函数f(x)=(2a一3)a是指数函数，.2u一3=1，解 (x+a)g(x)=fx),故x-a=x+a,则a=0.] 得a=2.∴f(x)=2..f（1)=2.] 85 SE 6Du)=e+号-e+1- 中白易知函数的定义城为 2 新题快递 {xx≠-1}，当x<-1时，f(x)>1,排除A和B:当x无限 .B[a=(-3b-9t-3,且1>号>号 增大时，f(x)无限趋近于e十I,呈指数增长，排除C,故 .3<3音<3，即ba<3. 选D.] 7.CD[画出f(x)=2-1的图象 又：c=8西=20>4.∴c>a>b,故选B.] 如图所示。 2.D[由题意易得，受≥1，所以u的取值范周是[2，十○.门 对于A,由f(x)的图象可知，函 数/(x)的值城为[1，十o),A错 假期作业6 误；对于B,由f(,x)的图象可知， 思维整合室 函数f(x)在[0,1)上单调递域， 1.(1)x=log,N(2)101 g N e In N2.(1)01Nb 在[1，十∞)上单调递增，B错误： 1234 (2)log M+log N log M-log.N nlog M (3)Dlog.N C正确：对于D.因为y=一a≤ log,N 0,所以D正确.故选CD.] log b ②logd3.(2)(0,+∞)R(1.0)y>0y< 8.解析：函数f(x)是指数函数，故设f(x)=a(a>0,且a≠ 0y<0y>0增函数减函数 1),依题意得：f(3)=a=94=9f(1),文a>0,所以a=3, 技能提升台素养提升 所以f(x)=3,因此f(4)=3,f(8)=3=3×3>3= 1.B[og2-iog6=log号=1og子=-1，故选B] f(4),所以f(8)>f(4). 答案：> 9.ABD[对于A,f(x)=x”+2x十3=(x+1)+2≥2.当x= 2Bw-是9-8-] Ig 3 一1时，等号成立，故A正确：对于B,g(x)=e十e=e十 3.解析：根据题意有f(3)=log(9十a)=1,可得9十a=2,所 ≥2，当且仅当一0时，等号成主：故B正确：对于C 以a=-7. 答案：一7 h(x)=3+2,由于3>0，所以(x)>2,故C错误：对于D, V@g8)-24g3干（侵g3+3g2-号） m(x)=2+1>2°+1=2，当且仅当x=0时，等号成立，故 4.解析：原式= (g3-1)·(lg3+21g2-1) D正确.故选ABD.] 1-g3)·2(1g3+21g2-1D 10.解析：设1=8-2x-x2,则y= .3 (1g3-1)·(1g3+21g2-1) 2 上单调递浅，又知1=8一2x一x2在（一，一1门上单调 增，在[-1，十)上单递减，所以由y=(侵)与1=8 答案：-号 5.B[因为y=2的图象为过点(0.1)的递增的指数函数图 2红-2复合而成的高兼=（合） 象，故排除选项C,D:y=log2(一x)的图象为过点（一1,0）的 的单调递增区间 递减的对数型函数图象，故排除选项A,故选B.] 为[一1，十∞). 6.BCD[作出函数f(x)=log(x十2)(0<u<1)的大致图象 答案：[-1，十o) 如图所示，别函数「(x)的图象过第二、三、四象限，门 11,解：(1D由已知得a=16,解得a=有 所以x)-()了 3 因为数x)=() 在R上单调递减， 4-3270 12345元 (m+子）厂(m- =m2一m十2 3 y=log(x+2) =(m-）+>0. -4 x=-2-5 所以(m+子）(m-） 7.A[作直线y=1(图略)，对1=l0gx1,1=1ogx2,1= logx,1=logx1…解得x1=a,x=b,x=c…x,=d,由图可 (2)因为y=-x十2x-4=-(x-1)-3≤-3， 知x1>x1>1>t>x4,即<<1<a<b,故选A.] ≥() 8.解析：y-log.x是定义战内的减函数，log,(m一1)> =64. m-1>0, 1m>1, 故g(z)的值域是[64，+o©). 1og.(3-m)=3-m>0, 即m<3, m-1<3-m,m2, 12.解：①)当0=时，函最g)=八0√乞罗中 2 .1<m<2, 即m的取值范围是(1,2). 答案：(1,2) 所以写是<分化商得3≥3=，解得≥1 9.B[由（侵）广=5：得=log45=-log5,又a=log3 -l0g3,所以-log5<-log3<0<log2,中b<a<c,故 所以函数g(x)的定义城为[1，+⊙). 选B. (2)数(x)在定义域R上为增弱数. 证明如下：在R上任取x,且工<r4, 10A【由仔仁22.释10 2 则a)-u,)-（是)厂是) 解得一8≤x<2,所以函数f(x)=√1-1g(2一x)的定义城 为[-8,2)，故选A.] 2(31-3:) 11.解：(1)证明：任取x1,2∈(a.十o∞)， (3+1)(3+1D) 由<x2,可知0<31<3，则3-3<0， 不坊令0<a<<g)=1-兰 又因为31十1>0,3：+1>0， 则g(x1)一g(x) 所以f(x)一f(x)<0,即f(x1)<f(x),所以f(x)在定 义域R上为增函数. (-)-)2o 86