假期作业3 一元二次函数、方程和不等式-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　假期作业３　一元二次函数、方程和不等式　　　　　　　 １．不等式的性质 (１)对称性:a＞b⇔　　　　．(双向性) (２)传递性:a＞b,b＞c⇒　　　　．(单向性) (３)可加性:a＞b⇔a＋c＞b＋c．(双向性) (４)可乘性:a＞b,c＞０⇒ac＞bc;a＞b,c＜０⇒ac ＜bc． (５)a＞b,c＞d⇒　　　　．(单向性) (６)a＞b＞０,c＞d＞０⇒　　　　．(单向性) (７)a＞b＞０⇒na＞nb(n∈N＋,n≥２)．(单向性) ２．基本不等式 (１)重要不等式 如果a,b∈R,那么a２＋b２ 　　２ab(当且仅当a ＝b时取“＝”)． (２)基本不等式:ab≤a＋b２ ①基本不等式成立的条件:　　　　　　 　　; ②等号成立的条件:当且仅当　　　　时取 等号． ３．算术平均值与几何平均值 (１)设a＞０,b＞０,则a,b的算术平均值为a＋b２ , 几何平均值为　　　　; (２)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均 值　　　　它们的几何平均值． ４．三个“二次”的关系 判别式 Δ＝b２－４ac Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 二次函数 y＝ax２＋bx＋c (a＞０)的图象 判别式 Δ＝b２－４ac Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０ 一元二次方程 ax２＋bx＋c ＝０(a＞０)的根 有两相异实根 x１,x２(x１＜x２) 有两相等实根 x１＝x２＝－ b ２a 没有 实数根 ax２＋bx ＋c＞０(a＞０) 的解集 　　　　　　 　　　　　　 R ax２＋bx＋ c＜０(a＞０) 的解集 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 ◆[考点一]　不等式的性质 １．一般的人,下半身长x与全身长y的比值xy 在 不小于０．５７且小于０．６之间,用不等式表示为 (　　) A．xy＜０．５７　　　　　B． x y＞０．６ C．０􀆰５７＜xy≤０．６ D．０􀆰５７≤ x y＜０􀆰６ ２．已知a＜b＜０,那么下列不等式成立的是 (　　) A．a３＜b３ B．a２＜b２ C．(－a)３＜(－b)３ D．(－a)２＜(－b)２ ３．若f(x)＝３x２－x＋１,g(x)＝２x２＋x－１, 则f(x),g(x)的大小关系是 (　　) A􀆰f(x)＝g(x) B􀆰f(x)＞g(x) C􀆰f(x)＜g(x) D􀆰随x的值变化而变化 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５ ４．设a、b、c、d是实数,则下列命题为真命题的 是　　　　． ①如果a＞b,且c＞d,那么a＋c＞b＋d; ②如果a≠b,且c≠d,那么ac≠bd; ③如果a＞b＞０,那么０＜１a＜ １ b ; ④如果(a－b)２＋(b－c)２≤０,那么a＝b ＝c． ◆[考点二]　基本不等式 ５．(多选)已知a＞０,b＞０,且a＋b＝１,则 (　　) A􀆰a２＋b２≥１２ B􀆰２ a－b＞１２ C􀆰log２a＋log２b≥－２D􀆰a＋b≤ ２ ６．若０＜x＜１２ ,则函数y＝x １－４x２的最大 值为 (　　) A．１　　　B．１２　　　C． １ ４　　　D． １ ８ ７．(２０２１􀅰天津卷,１３)若a＞０,b＞０,则１a＋ a b２ ＋b的最小值为　　　　． ８．(２０２３􀅰上海卷)已知正实数a、b满足a＋４b ＝１,则ab的最大值为　　　　　． ◆[考点三]　一元二次不等式 ９．设集合 M＝{x|x２－２x－３＜０,x∈Z},则集 合 M 的真子集个数为 (　　) A．８　　　B．７　　　C．４　　　D．３ １０．若 不 等 式 ax２ ＋bx－２＜０ 的 解 集 为 x|－２＜x＜１４{ },则ab＝ (　　) A．－２８ B．－２６ C．２８ D．２６ １１．已知关于x 的不等式－x２＋４x≥a２－３a 在 R 上 有 解,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 　　　　　　　　． １２．已知关于x的方程(m＋１)x２＋２(２m＋１) 􀅰x＋１－３m＝０的两根为x１,x２．若x１＜１ ＜x２＜３,求实数m 的取值范围． １．设a、b是实数,定义:a☉b＝a２b＋ma２－９a －９b＋１(m∈R)．则满足不等式１☉(２☉(􀆺 (２０２２☉２０２３)􀆺))≤１的实数m 的取值范 围是 (　　) A．m≥１　　　　B．m≤２０ ３－ ２３ C．m≤９１３３２９ D．１≤m≤ ３２９＋４３２ ３ ３６１ ２．某市一个经济开发区 的公路路线图如图所 示,粗线是大公路,细 线是小公路,七个公司 A１,A２,A３,A４,A５,A６, A７ 分布在大公路两侧,有一些小公路与大 公路相连．现要在大公路上设一快递中转 站,中转站到各公司(沿公路走)的距离总和 越小越好,则这个中转站最好设在 (　　) A．路口C B．路口D C．路口E D．路口F 刚接一骗子电话:我 是某某银行,刚查询发现 您的 银 行 卡 今 天 消 费 ８ 万８千元,请问是您本人 消费么? 我很平静说:是我消费的． 骗子沉默了５秒后说:您真能吹牛􀆺􀆺把 我思路全打乱了,再见􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６ (２)由非空集合B＝{x|６m－４＜２x－４＜２m}知,６m－４＜ ２m,解得m＜１,B＝{x|３m＜x＜m＋２}, 因“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则B⫋A,因此３m ＜m＋２≤－１,解得m≤－３, 所以实数m 的取值集合是{m|m≤－３}． １２．解:(１)由M∩P＝{x|５＜x≤８}知,a≤８． ∴M∩P＝{x|５＜x≤８}的充要条件是 －３≤a≤５． (２)M∩P＝{x|５＜x≤８}的充 分 不 必 要 条 件,显 然,a 在 [－３,５]中任取一个值都可以． (３)若a＝－５,显然 M∩P＝[－５,－３)∪(５,８]是M∩P＝ {x|５＜x≤８}的必要不充分条件． 故a＜－３时为必要不充分条件． 新题快递 １．ACD　[对于 A,因为|x|＞１,所以x＞１或x＜－１,所以“当 x＞１”时,“|x|＞１”成立,反之不成立, 故“x＞１”是“|x|＞１”的充分不必要条件,正确; 对于B,“a∈P∩Q”一定有“a∈P”成立,反之不成立, 故“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件,错误; 对于 C,命题“∀x∈R,有x２＋x＋１≥０”是全称量词命题, 其否定是存 在 量 词 命 题,即“∃x∈R,使x２＋x＋１＜０”, 正确; 对于 D,当a＋b＋c＝０时,１为方程ax２＋bx＋c＝０的一个 根,故充分性成立; 当方程ax２＋bx＋c＝０有一个根为１时,代入得a＋b＋c＝ ０,故必要性成立,正确．] ２．解析:因为全称量词命题“对于任意x∈R,函数y＝x２＋ax＋１ ≥０”的否定形式为“存在x∈R,函数y＝x２＋ax＋１＜０”． 由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形 式的命题是真命题． 由于函数y＝x２＋ax＋１是开口向上的抛物线,借助二次函 数图象(图略)易知Δ＝a２－４＞０, 解得a＜－２或a＞２． 所以实数a的取值范围是a＜－２或a＞２． 其命题是真命题,知Δ≤０, 知a２－４≤０,得－２≤a≤２． 答案:{a|a＜－２或a＞２}　{a|－２≤a≤２} 假期作业３ 思维整合室 １．(１)b＜a　(２)a＞c　(５)a＋c＞b＋d　(６)ac＞bd ２．(１)≥　(２)①a,b均为正实数　②a＝b ３．(１) ab　(２)大于或等于 ４．{x|x＜x１ 或x＞x２}　{x|x≠x１}　{x|x１＜x＜x２}　⌀　⌀ 技能提升台　素养提升 １．D　２．A　３．B ４．解析:对于①,根据不等式的基本性质得,如果a＞b,且c＞ d,那么a＋c＞b＋d,命题①正确;对于②,如果a≠b,且c≠ d,那么ac≠bd错误,如a＝１２ ,b＝２,c＝－２,d＝－１２ 时,ac ＝bd＝－１,命题②错误;对于③,如果a＞b＞０,那么 １ab＞０ , 所以１ b＞ １ a＞０ ,即０＜ １a ＜ １ b ,命题③正确;对于④,如果 (a－b)２＋(b－c)２≤０,那么a－b＝b－c＝０,所以a＝b＝c, 命题④正确．所以真命题的序号是①③④． 答案:①③④ ５．ABD ６．C　[因为０＜x＜ １２ ,所以１－４x２＞０,所以x １－４x２＝ １ ２×２x １－４x ２≤１２× ４x２＋１－４x２ ２ ＝ １ ４ ,当且仅当２x＝ １－４x２,即x＝ ２４ 时等号成立,故选 C．] ７．解析:∵a＞０,b＞０, ∴１a＋ a b２ ＋b≥２ １a 􀅰a b２ ＋b＝２b＋b≥２ ２ b 􀅰b ＝２ ２, 当且仅当１ a＝ a b２ 且２ b＝b ,即a＝b＝ ２时等号成立, 所以１ a＋ a b２ ＋b的最小值为２ ２． 答案:２ ２ ８．解析:正实数a、b满足a＋４b＝１,则ab＝１４×a 􀅰４b≤ １４× a＋４b ２( ) ２ ＝１１６ ,当且仅当a＝１２ ,b＝１８ 时等号成立． 答案:１ １６ ９．B　[由x２－２x－３＜０,得－１＜x＜３,∴集合 M＝{０,１,２}, 其真子集的个数为２３－１＝７,故选B．] １０．C　[由已知得 －２＋１４＝－ b a , －２×１４＝－ ２ a , ì î í ïï ï 解得 a＝４, b＝７,{ ∴ab＝２８．] １１．解析:因为关于x 的不等式－x２＋４x≥a２－３a在 R 上有 解,y＝－x２＋４x＝－(x－２)２＋４的最大值为４,所以a２－ ３a≤４,解得－１≤a≤４． 答案:{a|－１≤a≤４} １２．解:设y＝(m＋１)x２＋２(２m＋１)x＋１－３m,显然m＋１≠０． ①当m＋１＞０时,二次函数图象的简图如图①． 则当x＝１时,y＜０;x＝３时,y＞０． 所以 m＋１＞０, ２m＋４＜０, １８m＋１６＞０,{ 即 m＞－１, m＜－２, m＞－８９ , ì î í ïï ï 不等式组无解． ②当m＋１＜０时,二次函数图象的简图如图②． 则当x＝１时,y＞０;当x＝３时,y＜０, 即 m＋１＜０, ２m＋４＞０, １８m＋１６＜０,{ 即 m＜－１, m＞－２, m＜－８９ , ì î í ïï ï 得－２＜m＜－１． 综上可知,实数m的取值范围是{m|－２＜m＜－１}． 新题快递 １．C　[a☉b＝a２b＋ma２－９a－９b＋１(m∈R),设４☉(５☉(􀆺 (２０２２☉２０２３)􀆺))＝x, 则３☉x＝９x＋９m－２７－９x＋１＝９m－２６, ２☉(９m－２６)＝４(９m－２６)＋４m－１８－９(９m－２６)＋１＝１１３ －４１m, １☉(１１３－４１m)＝(１１３－４１m)＋m－９－９(１１３－４１m)＋１＝ ３２９m－９１２≤１, 解得m≤９１３３２９． ] ２．B　[观察图形知,A１,A２,A３,A４,A５,A６,A７ 七个公司要到 中转站,先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点, 令A１ 到B、A２ 到C、A３ 到D、A４ 到D、A５ 到E、A６ 到E、A７ 到F 的小公路距离总和为d, BC＝d１,CD＝d２,DE＝d３,EF＝d４, 路口C为中转站时,距离总和SC＝d＋d１＋d２＋d２＋(d３＋ d２)＋(d３＋d２)＋(d４＋d３＋d２)＝d＋d１＋５d２＋３d３＋d４, 路口D 为中转站时,距离总和SD ＝d＋(d１＋d２)＋d２＋d３ ＋d３＋(d４＋d３)＝d＋d１＋２d２＋３d３＋d４, 路口E 为中转站时,距离总和SE＝d＋(d１＋d２＋d３)＋(d２ ＋d３)＋d３＋d３＋d４＝d＋d１＋２d２＋４d３＋d４, 路口F 为中转站时,距离总和SF＝d＋(d１＋d２＋d３＋d４)＋ (d２＋d３＋d４)＋２(d３＋d４)＋２d４＝d＋d１＋２d２＋４d３＋ ５d４,显然SC＞SD,SF＞SE ＞SD,所以这个中转站最好设在 路口D．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４８