假期作业1 集合及其运算-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　　　 假期作业１　集合及其运算　　　　　　　 １．集合的基本概念 (１)集合中元素的三个特性:　　　　、　　　　、 无序性． (２)集合中元素与集合的关系:元素与集合之 间的关系有属于和不属于两种,表示符号 为　　和　　． (３)集合的表示法:列举法、　　　　　　、 　　　　　　． ２．集合间的基本关系 　　描述 关系　　　 文字语言 符号语言 集 合 间 的 基 本 关 系 子集 A 中任意一元素 均为B 中的元素 　 　 　 　, 或B⊇A 真子集 A 中任意一元素 均 为 B 中 的 元 素,且 B 中 至 少 有一个元素A 中 没有 　 　 　 　, 或B⫌A 相等 集合A 与集合B 中 的 所 有 元 素　　　　 　　　　　 ３．集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符 号 表 示 A∪B A∩B 若 全 集 为 U,则 集 合 A 的补集为 　　　　 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图 形 表 示 意 义 　　　　 　　　　 {x|x∈A, 且x∈B} {x|x∈U, 且x∉A} ◆[考点一]　集合的基本概念 １．给出下列关系:①１３∈R ;② ５∈Q;③－３∉ Z;④－ ３∉N,其中正确的个数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ２．已知集合A＝{x|x(x－１)＝０},那么下列 结论正确的是 (　　) A．０∈A B．１∉A C．－１∈A D．０∉A ３．已知集合A＝{－１,０,１},集合B＝{y|y＝ |x|,x∈A},则B＝　　　　． ◆[考点二]　集合的基本关系 ４．(２０２３􀅰新高考Ⅱ卷)设集合A＝{０,－a}, B＝{１,a－２,２a－２},若A⊆B,则a＝ (　　) A．２ B．１ C．２３ D．－１ ５．(多选)已知集合A＝{x|ax２＋２x＋a＝０, a∈R},若集合A 有且仅有２个子集,则a 的取值是 (　　) A．１ B．－１ C．２ D．０ ６．设A＝(２,４),B＝{x|a－１＜x＜a},若B⫋A, 则实数a的取值范围是　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １ ◆[考点三]　集合的基本运算 ７．(２０２３􀅰全国乙卷)设集合U＝R,集合 M＝ {x|x＜１},N＝{x|－１＜x＜２},则{x|x≥ ２}＝ (　　) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN ８．(２０２３􀅰北京卷)已知集合 M＝{x|x＋２≥ ０},N＝{x|x－１＜０}．则 M∩N＝ (　　) A．{x|－２≤x＜１} B．{x|－２＜x≤１} C．{x|x≥－２} D．{x|x＜１} ９．(２０２３􀅰全国甲卷(理))设集合 M＝{x|x＝ ３k＋１,k∈Z},N＝{x|x＝３k＋２,k∈Z},U 为整数集,则∁U(M∪N)＝ (　　) A．{x|x＝３k,k∈Z} B．{x|x＝３k－１,k∈Z} C．{x|x＝３k－２,k∈Z} D．⌀ １０．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷,１)若集合 M＝{x|x ＜４},N＝{x|３x≥１},则 M∩N＝ (　　) A．{x|０≤x＜２} B．x|１３≤x＜２{ } C．{x|３≤x＜１６} D．x|１３≤x＜１６{ } １１．设A＝{x|x２＋(４－a２)x＋a＋３＝０},B＝ {x|x２－５x＋６＝０},C＝{x|２x２－５x＋２＝０}． (１)若A∩B＝A∪B,求a的值; (２)若A∩B＝A∩C≠⌀,求a的值． １２．已知集合A＝{x|２≤x≤８},B＝{x|１＜x ＜６},C＝{x|x＞a},U＝R． (１)求A∪B,(∁UA)∩B; (２)若A∩C≠⌀,求a的取值范围． １．(多选)已知集合A＝{０,１,２},B＝{１,m}, 若B⊆A,则实数m 的取值可以是 (　　) A．０　　　B．２　　　C．１　　　D．３ ２．(新定义题)当x∈A 时,若x－１∉A 且x＋ １∉A,则称x为A 的一个“孤立元素”,所有 孤立元素组成的集合称为“孤星集”,则集合 A＝{０,１,２,３,５}中“孤星元素”组成的“孤 星集”为　　　　． 文学大师华罗庚 华罗庚不仅是数学大师,也是饱学之士． 有一次钱三强、赵九章、华罗庚等科学家出国 考察．途中闲暇,华罗庚以钱三强为题,随口拈 出一联:三强韩赵魏,征询下联.众人苦思冥 想,不得善对．最后由华罗庚指着身边的赵九 章,对曰:九章勾股弦．展现出了华罗庚在文学 方面的造诣也很深厚． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ 参 考 答 案 [第一部分]　假期作业１ 思维整合室 １．(１)确定性　互异性　(２)∈　∉　(３)描述法　Venn图 ２．A⊆B　A⫋B　都相同　A＝B　３．∁UA　{x|x∈A,或x ∈B} 技能提升台　素养提升 １．B　[１３ 是实数,①正确;５是无理数,②错误;－３是整数, ③错误;－ ３是无理数,④正确,故选B．] ２．A　[∵A＝{x|x(x－１)＝０}＝{０,１}, ∴０∈A,１∈A,故选 A．] ３．解析:∵x∈A,∴当x＝－１时,y＝|x|＝１; 当x＝０时,y＝|x|＝０;当x＝１时,y＝|x|＝１． ∴B＝{０,１}． 答案:{０,１} ４．B　[若a－２＝０,则a＝２,此时A＝{０,－２},B＝{１,０,２},不 满足题意;若２a－２＝０,则a＝１,此时A＝{０,－１},B＝{１,－１, ０},满足题意．] ５．ABD ６．解析:因为B⫋A 且B≠⌀,所以 a－１≥２ , a＜４{ 或 a－１＞２, a≤４,{ 即 a的取值范围是{a|３≤a≤４}． 答案:{a|３≤a≤４} ７．A　[由题意可得 M∪N＝{x|x＜２},则∁U (M∪N)＝{x|x ≥２},选项 A正确; ∁UM＝{x|x≥１},则 N∪∁UM＝{x|x＞－１},选项 B错 误;M∩N＝{x|－１＜x＜１}, 则∁U(M∩N)＝{x|x≤－１或x≥１},选项 C错误; ∁UN＝{x|x≤－１或x≥２},则 M∪∁UN＝ {x|x＜１或x≥２},选项 D错误．] ８．A　[由题意,M＝{x|x＋２≥０}＝{x|x≥－２},N＝{x|x－１ ＜０}＝{x|x＜１}, 根据交集的运算可知,M∩N＝{x|－２≤x＜１}．] ９．A　[因为整数集U＝{x|x＝３k,k∈Z}∪{x|x＝３k＋１,k∈ Z}∪{x|x＝３k＋２,k∈Z},所以∁U (M∪N)＝{x|x＝３k,k ∈Z}．] １０．D　[由 x＜４,得０≤x＜１６,即集合 M＝{x|０≤x＜１６},集 合 N＝ x|x≥１３{ },所 以 M ∩N＝ x| １ ３≤x＜１６{ },故 选 D．] １１．解:(１)B＝{２,３},C＝ ２,１２{ }, 因为A∩B＝A∪B,所以A＝B, 所以 ４－a ２＝－(２＋３), a＋３＝２×３,{ 解得a＝３． (２)因为A∩B＝A∩C≠⌀,所以A∩B＝A∩C＝{２},所以 ２∈A,所以２２＋２(４－a２)＋a＋３＝０,即２a２－a－１５＝０,解 得a＝３或a＝－５２． 当a＝３时,A＝{２,３},此时A∩B≠A∩C舍去; 当a＝－５２ 时,A＝ ２,１４{ },此时满足题意． 综上可知,a＝－５２． １２．解:(１)A∪B＝{x|２≤x≤８}∪{x|１＜x＜６}＝{x|１＜ x≤８}．∵∁UA＝{x|x＜２或x＞８}, ∴(∁UA)∩B＝{x|１＜x＜２}． (２)∵A∩C≠⌀,作图易知,只要a在 ８的左边即可, ∴a＜８． 新题快递 １．AB　[由A＝{０,１,２},B＝{１,m},B⊆A,得B＝{１,０}或B ＝{１,２}．所以实数m 的取值可以是０,２,故选 AB．] ２．解析:由“孤立元素”的定义知,对任意x∈A,要成为A 的孤 立元素,必须是集合A 中既没有x－１,也没有x＋１．因此只 需逐一排查A 中的元素即可．０有１“相伴”,１,２则是前后的 元素都有,３有２“相伴”,只有５是“孤立的”,从而集合A＝ {０,１,２,３,５}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{５}． 答案:{５} 假期作业２ 思维整合室 １．⇒　/⇒　充分　必要　充分　必要 ２．p⇒q　q⇒p　p⇔q　p⇔q　(１)p⇔q　(２)p⇒q q/⇒p　(３)q⇒p　p/⇒q　(４)p/⇒q　q/⇒p ３．(３)∀x∈M,p(x) ４．(３)∃x０∈M,p(x０) ５．∃x０∈M,x不具有性质p(x)　∀x∈M,x不具有性质p(x) 技能提升台　素养提升 １．B　[由a２＝b２,则a＝±b,当a＝－b≠０时,a２＋b２＝２ab不 成立,充分性不成立; 由a２＋b２＝２ab,则(a－b)２＝０,即a＝b,显然a２＝b２ 成立, 必要性成立; 所以“a２＝b２”是“a２＋b２＝２ab”的必要不充分条件．] ２．C　[因为xy≠０,且xy ＋ y x ＝－２ , 所以x２＋y２＝－２xy,即x２＋y２＋２xy＝０,即(x＋y)２＝０, 所以x＋y＝０, 所以“x＋y＝０”是“xy ＋ y x ＝－２ ”的充分必要条件．] ３．AC ４．解析:集合A＝{x|x≤１},B＝{x|x≥a}, 当A∪B＝R时,a≤１,∵a≤１不一定得到a＝１,当a＝１时 一定可以得到a≤１, ∵“A∩B＝R”是“a＝１”的必要不充分条件, 当A∩B＝⌀时,a＞１,∴a＝２是“A∩B＝⌀”的充分不必要 条件． 答案:必要不充分　充分不必要 ５．C ６．D　[因为“全称量词命题”的否定一定是“存在量词命题”,所以 命题“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的 平方不是正数”．] ７．AB　[因为命题p:∃x∈R,x２＋bx＋１≤０是假命题, 所以命题:∀x∈R,x２＋bx＋１＞０是真命题,也即对∀x∈ R,x２＋bx＋１＞０恒成立, 则有Δ＝b２－４＜０,解得:－２＜b＜２,根据选项的值,可判断 选项 AB符合．] ８．解析:若命题p为真命题, 则Δ＝a２－４a２＜０, ∴a≠０,所以当p为假命题时, 实数a的取值集合为{０}． 答案:{０} ９．A　[若函数f(x)在[０,１]上单调递增,则f(x)在[０,１]上的 最大值为f(１),充分性成立,反之,则f(x)在[０,１]上的最 大值为f(１),但f(x)在[０,１]上不一定是增函数,如函数 f(x)＝ x－１４( ) ２ 在[０,１]上的最大值为f(１),它在[０,１]上 不单调,故必要性不成立．] １０．解析:由已知得p⇒r,r⇒s,s⇔q,∴p⇒r⇒s⇔q．但由于r 推不出p,所以q推不出p,故p是q的充分不必要条件． 答案:充分不必要 １１．解:(１)命题p:∃x∈R,ax２＋２x－１＝０为假命题,则命题 􀱑p:∀x∈R,ax２＋２x－１≠０为真命题, 显然a≠０,否则方程有实根x＝１２ ,因此Δ＝４＋４a＜０,解 得a＜－１,A＝{a|a＜－１}, 实数a的取值集合A＝{a|a＜－１}． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３８