新知预览2 空间向量的数量积运算-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教B版）

新知预览２　空间向量的数量积运算　　　　　　　 ★[学习目标]　１．掌握空间向量的数量积．２．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． ３．能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一 点O,作OA → ＝a,OB → ＝b,则∠AOB 叫 做向量a,b的夹角 记法 ‹a,b› 范围 通常规定:０≤‹a,b›≤π,当‹a,b›＝ 　　　　时,a⊥b ２．空间向量的数量积 (１)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos‹a,b› 叫做a,b的数量积,记作　　　　　　．即 a􀅰b＝　　　　． (２)运算律 ①结合律:(λa)􀅰b＝　　　　; ②交换律:a􀅰b＝　　　　; ③分配律:a􀅰(b＋c)＝　　　　． (３)性质 向 量 数 量 积 的 性 质 垂直 若 a,b 是 非 零 向 量,则 a⊥b ⇔　　　　 共线 同向:a􀅰b＝|a|􀅰|b| 反向:a􀅰b＝－|a|􀅰|b| 模 a􀅰a＝　　　　＝|a|; |a|＝ a􀅰a; |a􀅰b|≤|a|􀅰|b| 夹 角 θ为a,b的夹角,则cosθ＝ a􀅰b |a||b| ３．投影向量 (１)向量a在向量b上的投影先将向量a 与向 量b平移到同一平面α 内,如图①,向量c 称为向量a在向量b上的投影向量． (２)向量a在直线l上的投影如图②,向量c称 为向量a在直线l上的投影向量． (３)向量a在平面β 上的投影如图③,分别由 向量a的起点A 和终点B 作平面β 的垂 线,垂足分别为A′,B′,得到向量A′B′ →,则 向量A′B′ →(a′)称为向量a在平面β上的投 影向量． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６７ 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　空间向量的数量积运算 　如图所示,已知空间四 边形ABCD 的每条边和对 角线长都等于１,点E,F 分 别 是 AB,AD 的 中 点, 计算: (１)EF →􀅰BA →;(２)EF →􀅰BD →; (３)EF →􀅰DC →;(４)BF →􀅰CE → ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　空间向量运算的两种方法 (１)利用定义:利用a􀅰b＝|a||b|cos‹a,b› 并结合运算律进行计算． (２)利用图形:计算两个向量的数量积,可 先将各向量移到同一顶点,利用图形 寻找夹 角,再 代 入 数 量 积 公 式 进 行 运算． [变式训练] １．已知长方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,AB＝ AA１＝２,AD＝４,E 为侧面AA１B１B 的中 心,F 为 A１D１ 的 中 点．求 下 列 向 量 的 数 量积． (１)BC →􀅰ED１ →;(２)BF →􀅰AB１ → ． ◆[题型二]　利用数量积证明垂直问题 　 如 图 所 示,在 四 棱 锥 P－ABCD 中,底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形,∠DAB ＝ ６０°,AB＝２AD,PD⊥ 底面 ABCD．求证: PA⊥BD． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用空间向量解决垂直问题 的方法 (１)证明线线垂直的关键是确定直线的方 向向量,看方向向量的数量积是否为 ０来判断两直线是否垂直． (２)证明与空间向量a,b,c有关的向量 m,n垂直应先用向量a,b,c表示向量 m,n,再求解向量m,n的数量积并判 断是否为０． [变式训练] ２．如图所示,在正方体ABＧ CD－A１B１C１D１ 中,O 为 AC 与BD 的交点,G 为 CC１ 的中点,求证:A１O⊥ 平面GBD． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７７ ◆[题型三]　利用数量积解决空间角问题 　如图,在正方体ABCD －A１B１C１D１ 中,求BC１ → 与 AC → 夹角的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用数量积求异面直线所成 角的方法步骤:①根据题设条件在两异面 直线上取两个向量;②将求异面直线所成 角转化为求向量的夹角问题;③利用数量 积求角的大小． [变式训练] ３．已 知 空 间 四 边 形 OABC 中,OB＝OC, ∠AOB＝∠AOC＝π３ ,则cos‹OA →,BC →›的 值为 (　　) A．１２　　B． ２ ２　　C．－ １ ２　　D．０ ◆[题型四]　利用数量积求线段长度 　如图,正三棱柱(底面是正 三角 形 的 直 三 棱 柱)ABC－ A１B１C１ 的各棱长都为２,E,F 分别 是 AB,A１C１ 的 中 点,求 EF的长． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求解距离问题时,先选择以 两点为端点的向量,将此向量表示为几个 向量和的形式,求出这几个已知向量的两 两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a| ＝ a􀅰a求解即可． [变式训练] ４．如图,已知一个６０°的 二面角的棱上有两点 A,B,AC,BD 分别是 在这两个面内且垂直于 AB的线段．又知AB＝４,AC＝６,BD＝８,求 CD 的长． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８７ 检测评价———诊断落实,素养达标 一、选择题 １．下列各命题中,假命题的个数为 (　　) ① a􀅰a＝|a|; ②m(λa)􀅰b＝(mλ)a􀅰b(m,λ∈R); ③a􀅰(b＋c)＝(b＋c)􀅰a; ④a２b＝b２a(a,b不共线)． A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ２．已知a＝３p－２q,b＝p＋q,p和q 是相互垂 直的单位向量,则a􀅰b＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ３．在 正 方 体 ABCD－A′B′C′D′中,‹A′B →, B′D′ →›＝ (　　) A．３０° B．６０° C．９０° D．１２０° ４．已知空间向量a,b,c两两夹角均为６０°,其 模均为１,则|a－b＋２c|等于 (　　) A．５ B．６ C．５ D．６ ５．已知a,b是异面直线,且a⊥b,e１,e２ 分别为 取自直线a,b上的单位向量,且m＝２e１＋ ３e２,n＝ke１－４e２,m⊥n,则实数k的值为 (　　) A．－６ B．６ C．３ D．－３ ６．(多选)已知四边形ABCD 为矩形,PA⊥平 面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下 列各组向量中,数量积为零的是 (　　) A．PC → 与BD → B．DA → 与PB → C．PD → 与AB → D．PA → 与CD → ７．(多选)在正方体ABCD－A１B１C１D１ 中,下 列结论正确的是 (　　) A．四边形ABC１D１ 的面积为|AB → ||BC１ → | B．AD１ → 与A１B → 的夹角为６０° C．(AA１ → ＋A１D１ → ＋A１B１ →)２＝３A１B１ →２ D．A１C →􀅰(A１B１ → －A１D１ →)＝０ 二、填空题 ８．已知|a|＝１,且a－b与a 垂直,a与b 的夹 角为４５°,则|b|＝　　　　． ９．已知e１,e２ 是夹角为６０°的两个单位向量,则 a＝e１＋e２ 与b＝e１－２e２ 的夹角是　　　　． １０．如图所示,在棱长为２ 的 正 方 体 ABCD － A１B１C１D１ 中,O 为AC 与 BD 的 交 点,G 为 CC１ 的中点,则A１O → 在 AC上的投影向量的模为　　　　;DG → 在平 面ABCD内的投影向量的模为　　　　． 三、解答题 １１．如 图,在 空 间 四 边 形 O－ ABC 中,OB＝OC,AB＝ AC,求证:OA⊥BC． １２．如图,在直三棱柱ABC－A′ B′C′中,AC＝BC＝AA′, ∠ACB＝９０°,D,E 分 别 为 AB,BB′的中点． (１)求证:CE⊥A′D; (２)求异面直线 CE 与AC′所成角的余 弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９７ 三0022 一数学) 新知预览2 :Aò=AA+Aò=AA+之Ai+A 知识梳理 1.2.(1)a b lablcos(a)(2)(a b)ba =e+a+2b a·b+a·e(3)a·b=0al|acos(a,a) BD=AD-AB=6-a. 典例探究 o-0d+cG-号i+a+d-名a+b-2e, [例1门[解]1)E.=币·=之B成·BA A0.-(++）。-a)=b-…a时 ·c0sB币.BA)=号×1×1·es60=} za…- 22+2-b:a=w-d)-2(6-a 所以E成，Bi= =0. (2)E.B市=BD.B币=号1BD·Bd1·os(B成. 于是AO⊥BD,即A,O⊥BD. 同理可证A,0LO心.即A,O1OG. 0)=合×1X1·00=2, 又OG∩BD=O,OGC平面GBD,BDC平面GBD, ∴.A,OL平面GBD. 所以E萨，成-之 [例3][解]不坊设正方体的棱长为1，则BC.AC=(B配 (3)成.=号励.D心=励1·DC1·os(B成. +CC)·(AB+BC)=(AD+AA)·(AB+AD)-AD· D0=×1x1·cos120=- AB+AD+AA·AB+AA·AD=0+AD+0+0=AD =1. 所以成.D心=- 又：BC1=2,AC=2, (4)B萨.CE=号(BD+BA)·号(C市+C) cos(BCAc)= BC·AC BC1IAC2X2-交 =[B励.(-BC)+Bi(-BC)+励.Ci+Bi.C (BC.AC)E[o.] =[-B币.B元-B.BC+(C市-C).Ci+Ai.AC 成，Ad= =×(名名+-+）-名 即BC与花夫角的大小为登 变式训练 变式训练 1.解：如图所示，设AB=a,AD=b, A D 3.DOi.元=O4.(0元-Oi=O4.0元-0A.O成 AA=c, =1Oi11 Cleos∠A0C-Oi1Oios∠AOB=号Oi1· 则a=c=2,bl=4, O心-号1OiO=0,所以OA LBC.所以cos(OA.BC) a·b=b·c=c·a=0. (DBC.ED-BC.(EA,+A D =0.] [例41[解]设A店=a.AC=b,AA=c. =b:[2c-a+]-b=4=16, 由题意，知a=b=c=2, (2)BF·AB,=(BA+AF)·(AB+AA) 且(a,b)=60°，(a,c)=(b,c)=90°. 因为E亦=E+A+A立 -(c-a+2b）:(a+ed =-成+不+2花 =1cl2-1a=2-22=0. [例2][证明]由底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60, 2a+2b+e, AB=2AD,知DA⊥BD,则BD.DA=0, 所以EF1=E萨 由PD⊥底面ABCD,知PD⊥BD, 则Bi,Pi=0. =+6+d+2(-…b+2be-ac） 又PA=Pi+DA. -子×2+片×2+2+2×()×2×20o60 所以P.B市=(P市+DA)·BD=P市.D+Di.BD =1+1+4-1=5, =0, 所以EF1=5,即EF=5. 即PA⊥BD 变式训练 变式训练 4.解：CA⊥AB,BD⊥AB, 2.证明：设AB,=aA1D=b.A1A=c (CA.BD)=120 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,a=b=c. .CD-CA+AB+BD.RCA.AB=0.BD.AB=0. 109 北堡饶乐假期 990= .ICDI=CD.CD=(CA+AB+BD).(CA+AB+BD) 得AB,-AD,=DB,在正方体ABCD-ABCD =ICA+AB+BD+2CA.BD+2CA.AB+ 中，DB⊥平面AA,CC,D,B,⊥A,CAC·DB=0, 故D正确.故进ACD.] 2AB.BD-ICA+AB+BD+2CAIBD 8.解析：，(a-b)⊥a, cosi,Bi》=6++8+2x6x8×(-2）-68. .(a-b)·a=a-a·b=0, .CD1=27,故CD的长为2√17 .a·b=1. 检测评价 a·b2 则cos(a,b=a·1b=2 L,A[因为a·a=a2,所以a·a=al,故①正确：m(a) ·b=(ma)·b=ma·b=(mA)a·b,故②正确：a·(b+c) ② 即1·6=2 =a·b+a·c=b·a十c·a=(b十c)·a,故③正确：ab .1b1=w2. 1ab,ba=b°a,故④不一定正确.] 答案2 2.A[:p⊥q且|pl-q-1.∴a·b-(3p-2q)·(p+g) 9.解析：a·b=(e1十e:)·(e1-2e)=e-e1·e-2e =3p+p·q-2g=3+0-2=1.故选A.] 3.D[如图，设正方体的棱长为1， =1-1X1×号-2=- 则A'B=√2，BD'=√2， D al=√a=√(e,+e,)F=√e+2e,·e+e AB.BD =√1+1+I=5, =(AA+AB)·(BC+CD) b=B=√/(e,-2e,)F=e-4e,·e,+4e =(AA+AB)·(AD-AB)=-1. =/1-2+4-5. 六co(A方，BD)=A方.BD B 3 AB·BD .cos(a.b)-a a·b 2 3 -1 22 -合.B元=12w.】 .(a,b)=120°. 答案：120 C[由题意，得ab=b:c=ac=专a=6=d=1 10.解析：易知A1O在AC上的投影向量为AO,其模为√②.易知 所以a-b+2c=√(a-b+2c) DG在平面ABCD内的投影向量为DC,其模为2. =/a+b+4c-2a·b+4a·c-4b·e 答案：N22 11.证明：因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以△OAC≌ 气1+1+4-2x+4×-4x=.] △OAB,所以∠AOC=∠AOB. 5.B[由m⊥n,得m·n=0,所以(2e,十3e)·(e,一4e,)=0. 又OA.B元=O4.(0元-O)=OA.0元-O.Oi 所以2k一12=0.所以表=6.] OA1·1OC1cos∠AOC-1OA1·1OB1cos∠AOB=0. 6.BCD[因为PA⊥平面ABCD.且CDC 所以OA⊥BC,即OA⊥BC. 平面ABCD,所以PA⊥CD.故PA·CD =0.图为AD⊥AB,PA⊥AD,且PA∩ 12.解：(1)证明：设C=a.C3=b.C之=c AB=A,所以ADL平面PAB.因为PE 根据题意得a=b=c,且a·b=b·c=c·a=0. C平面PAB,所以AD⊥PB.故DA·B .CE-b+ze.AD--c+h-a. PB=0.同理，PD,AB=0.因为PA⊥平面ABCD,BDC平 .Ai=(+)小(+b) 面ABCD,所以PA⊥BD.所以PC.Bd=(PA+AC)·BD =P.BD+AC.BD=AC.BD.因为四边形ABCD为矩 =-2c+26=0… 形，所以BD不一定与AC垂直，所以PC与BD的数量积不一 CE⊥AD,即CE⊥A'D. 定为0.故选BCD,排除A.] (2)AC=-a+e, 7.ACD[由AB⊥平面BB,CC,得AB⊥BC,四边形 A=Ea,=9a ABC,D,的面积为AB1·BCI,故A正确：：△ACD,是 等边三角形，∠ADC=60°， aC.ci=(-a+e…(b+2)=c=a, 又：AB∥DC,∴.并面直线AD,与A,B所成的角为60°， 但是向量AD,与A1B的夹角为120°，故B错误：由向量加法 .cos(AC.CE)= 10 10 的运算法则可以得到AA十AD+AB,=AC,:AC 3A,B所，(AA,+A,D,+A,B,)2=3A,B,故C正确：易 ·异面直线CE与AC所成角的余孩值为四 10 110