假期作业20 正弦定理-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教B版）

假期作业２０　正弦定理　　　　　　　 １．正弦定理 在△ABC中,若角A,B,C 对应的三边分别 是a,b,c,则各边和它所对角的正弦的比相 等,即　　　　　．正弦定理对任意三角形 都成立． ２．解三角形 一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们 的对边a,b,c叫做三角形的　　　　　　． 已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫做　　　　　　． ３．正弦定理的常见变形 (１)a＝２RsinA,b＝２RsinB,c＝２RsinC,其中 R 为△ABC外接圆的半径． (２)sinA＝a２R ,sinB＝ b２R ,sinC＝ c２R (R 为 △ABC外接圆的半径)． (３)三角形的边长之比等于对应角的正弦比, 即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (４) a＋b＋csinA＋sinB＋sinC ＝ a sinA ＝ b sinB ＝ csinC． (５)asinB＝bsinA,asinC＝csinA,bsinC＝ csinB． ◆[考点一]　已知两边及一边的对角解三角形 １．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,a＝８ ３,b＝６,A＝６０°,则sinB＝ (　　) A．２３　　B． ６ ３　　C． ２ ２　　D． ３ ８ ２．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,若a＝ ２,B＝４５°,b＝２则A＝ (　　) A．３０°或１５０°　　　　　B．３０° C．１５０° D．４５° ３．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,a＝１５,b＝１８,A＝３０°,则此三角形解的个 数为 (　　) A．０ B．１ C．２ D．不能确定 ４．在△ABC中,已知A＝π３ ,BC＝３,AB＝ ６, 则C等于 (　　) A．π３　　B． ３π ４　　C． π ４　　D． π ６ ◆[考点二]　正弦定理的应用之边角互化 ５．在△ABC中,若acosA＝bcosB,则△ABC为 (　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 ６．(多选)在△ABC中,已知a２tanB＝b２tanA,则 △ABC的形状可能是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ７．(２０２３􀅰 全国甲卷 (理))已 知 △ABC 中, ∠BAC＝６０°,AB＝２,BC＝ ６,∠BAC的角平 分线交BC于点D,则AD＝　　　　． ８．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b, c．若a＝７,b＝２,A＝６０°,则sinB＝　　　　, c＝　　　　． ◆[考点三]　正弦定理的综合应用 ９．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b, c．若A＝６０°,a＝３,则 a－b－csinA－sinB－sinC＝ (　　) A．１２　　B． ３ ２　　C．３　　D．２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９４ １０．(多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分 别为a,b,c．sinC＋sin(A－B)＝３sin２B,C＝ π ３ ,则a b＝ (　　) A．１３　　B． １ ２　　C．２　　D．３ １１．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)已知在△ABC 中,A ＋B＝３C,２sin(A－C)＝sinB． (１)求sinA; (２)设AB＝５,求AB 边上的高． １２．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)记△ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的 面积为 ３,D 为BC 的中点,且AD＝１． (１)若∠ADC＝π３ ,求tanB; (２)若b２＋c２＝８,求b,c． １．命题p:“若△ABC 与△DEF 满足:AB＝ DE＝x,BC＝EF＝２,cosA＝cosD＝４５ ,则 △ABC≌△DEF”．已知命题p是真命题, 则x的值不可以是 (　　) A．１　　　B．２　　　C．１０３　　　D． ７ ３ ２．(多选)若△ABC 的三个内角A,B,C 的正 弦值为sinA,sinB,sinC,则 (　　) A．sinA,sinB,sinC 一定能构成三角形的 三条边 B． １sinA , １ sinB , １ sinC 一定能构成三角形的 三条边 Csin２A,sin２B,sin２C．一定能构成三角形的 三条边 D．sinA,sinB,sinC一定能构成三角形 的三条边 数学魔术家 １９８１年,印度的一位名叫沙贡塔娜的３７ 岁妇女,凭借心算与一台先进的电子计算机展 开竞赛．题目是求一个２０１位数的２３次方根． 但令人惊奇的是,沙贡塔娜只用了５０秒钟就 报出了正确的答案．而计算机得出同样的结 果,花费的时间要多得多．这一奇闻,在国际上 引起了轰动,沙贡塔娜被称为“数学魔术家”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０５ ４．B　[因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin ２(α＋β)＝１－２× ２ ３( ) ２ ＝１９． ] ５．D　 [由 半 角 公 式 可 知 sin２ α２ ＝ １－cosα ２ ,解 得 sin α２ ＝ ５－１４ ． ] ６．解析:sinθ＝２ ５５ ,θ∈ ０,π２( ) ⇒cosθ＝ １－sin ２θ＝ ５５ ⇒ tanθ＝sinθcosθ＝２ , ∴tan２θ＝ ２tanθ １－tan２θ ＝ ４１－４＝－ ４ ３ , ∴tan ２θ－π４( ) ＝ tan２θ－tanπ４ １＋tan２θtanπ４ ＝tan２θ－１１＋tan２θ＝ －４３－１ １－４３ ＝７． 答案:７ ７．B　[由题意知f(x)＝ ３２sinx＋４× １＋cosx ２ ＝ ３ ２sinx＋ ２cosx＋２＝５２sin (x＋φ)＋２ 其中tanφ＝ ４ ３( ) ,又因为x∈ R,所以f(x)的最大值为９２． ] ８．D　[由题意得: ∵y＝sinx(sinx＋cosx)＝sin２x＋１２sin２x＝ １－cos２x ２ ＋ １ ２sin２x＝ ２ ２sin ２x－ π ４( ) ＋ １ ２． 选项 A:函数的最小正周 期为 Tmin ＝ ２π ω ＝ ２π ２ ＝π ,故 A 错 误;选 项 B:由 于 －１≤ sin ２x－π４( ) ≤１,函数的最大值为 ２ ２＋ １ ２ ,故B错误;选项C: 函数的对称轴满足２x－π４＝kπ＋ π ２ ,x＝k２π＋ ３π ８ ,当x＝π４ 时,k＝－１４∉Z ,故C错误;选项D:令x＝π８ ,代入函数的f π ８( )＝ ２ ２sin ２× π ８－ π ４( ) ＋ １ ２＝ １ ２ ,故 π ８ ,１ ２( ) 为函数 的一个对称中心,故 D正确．] ９．AD　[∵函数f(x)＝sin ２x＋π４( ) ＋cos ２x＋ π ４( ) ＝ ２ sin ２x＋π４( )＋ π ４[ ]＝ ２sin ２x＋ π ２( ) ＝ ２cos２x,x∈R, f(－x)＝ ２cos(－２x)＝ ２cos２x＝f(x),∴f(x)为偶函 数,故 A正确． 令２kπ＋π≤２x≤２π＋２kπ,k∈Z,解得kπ＋π２≤x≤π＋kπ ,k ∈Z,当k＝０时,π２≤x≤π ,则函数f(x)在 π２ ,π( ) 上单调 递增,故 B不正确．f(x)的最大值为 ２,故 C不正确．由２x ＝kπ＋π２ ,k∈Z,解得x＝kπ２＋ π ４ ,k∈Z,可得当k＝０时,其 图像关于点 π ４ ,０( ) 对称,故 D正确．故选 AD．] １０．解析:连接BP,设∠CBP＝α,其中０≤α＜ π２ ,则PM＝１－ sinα,PN＝２－cosα,四边形OMPN 的周长C＝６－２(sinα ＋cosα),因为(sinα＋cosα)２＝１＋２sinαcosα＝１＋sin２α, 所以要让周长最小,即让(sinα＋cosα)最大,即sin２α最 大,因为sin２α在α＝π４ 时取到最大值１,所以当α＝π４ 时, 周长有最小值６－２ ２． 答案:６－２ ２ １１．解:(１)∵f(x)＝OA→􀅰OB→＝sinx＋sinxcosx＋sin２x－sinx＝ ２ ２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ ,∴当２x－ π４＝２kπ＋ π ２ (k∈Z),即 x＝kπ＋３π８ (k∈Z)时,f(x)取得最大值１＋ ２２ ,f(x)的最小 正周期为π． (２)∵f(x)＝ ２２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ , ∴当２kπ－π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 即kπ－π８≤x≤kπ＋ ３π ８ ,k∈Z时,函数f(x)为增函数． ∴f(x)的单调递增区间为 kπ－π８ ,kπ＋３π８[ ](k∈Z)． １２．解:(１)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) , 得sinα＝－４５ , 所以sin(α＋π)＝－sinα＝４５． (２)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) ,得cosα＝－ ３ ５ , 由sin(α＋β)＝ ５ １３ ,得cos(α＋β)＝± １２ １３． 由β＝(α＋β)－α,得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα, 所以cosβ＝－ ５６ ６５ 或cosβ＝ １６ ６５． 新题快递 １．A 　 [f (x)＝ ３２ sin ２x＋ π ３( ) ＋cos ２ x＋π６( ) ＝ ３ ２ sin ２x＋π３( ) ＋ １ ２ １＋cos２x＋ π ３( )[ ] ＝ ３ ２sin ２x＋ π ３( ) ＋ １ ２ cos ２x＋ π ３( ) ＋ １ ２ ＝ sin ２x＋ π ３＋ π ６( ) ＋ １ ２ ＝ sin ２x＋π３＋ π ６( )＋ １ ２＝cos２x＋ １ ２ , 所以g(x)＝cos２(x－φ)＋ １ ２＝cos (２x－２φ)＋ １ ２ , 因为函数g(x)的图象关于x＝π６ 对称,所以２×π６－２φ＝kπ (k ∈Z), 所以φ＝ π ６－ kπ ２ (k∈Z),因为φ＞０,所以k＝０时,φ＝ π ６ 最小．] ２．解析:sin ２α＋π４( )＝ ２ ２ (sin２α＋cos２α) ＝ ２２ ２sinαcosα＋cos２α－sin２α sin２α＋cos２α ＝ ２２ ２tanα＋１－tan２α tan２α＋１ ＝ ２２× －４３＋１－ ４ ９ ４ ９＋１ ＝－７ ２２６ , 答案:－７ ２２６ 假期作业２０ 思维整合室 １．asinA＝ b sinB＝ c sinC　２． 元素　解三角形 技能提升台　素养提升 １．D　２．B　３．C ４．C　[在△ABC中,已知A＝π３ ,BC＝３,AB＝ ６, 则由正弦定理可得 BC sinA＝ AB sinC ,即 ３ sinπ３ ＝ ６sinC , 求得sinC＝ ２２ , C∈(０,π),∴C＝π４ 或C＝３π４． 再由BC＞AB,以及大边对大角可得C＝π４＜A． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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即２cosB(sinA－３sinB)＝０,解得cosB＝０或 sinA＝３sinB． 当cosB＝０时,因为B∈(０,π),所以B＝π２． 又C＝π３ ,所 以A＝π６ ,则sinA＝１２ ,sinB＝１,所以由正弦定理得 a b ＝ sinA sinB＝ １ ２． 当 sinA＝３sinB 时,由 正 弦 定 理 得a ＝３b, 所以a b ＝３． 综上所述,a b ＝３ 或１ ２． 故选BD．] １１．解:(１)因为A＋B＝３C,所以A＋B＝３(π－A－B),所以A ＋B＝３π４ ,所以C＝π４ , 另外,由题意得:２sin(A－C)＝sin(A＋C), 即２sinAcosC－２cosAsinC ＝sinAcosC＋cosAsinC, 所以sinA＝３cosA,变形得sin２A＝９(１－sin２A)．故sinA ＝３ １０１０ ． (２)由sinA＝３cosA, 得cosA＝１３sinA＝ １０ １０ , 所以sinB＝sin(A＋C)＝３ １０１０ × ２ ２＋ １０ １０ × ２ ２＝ ２ ５ ５ , 由 AC sinB＝ AB sinC ,解得AC＝２ １０, 所以S△ABC＝ １ ２×５×２ １０× ３ １０ １０ ＝１５ , 设AB 边上的高为h,则 １２AB 􀅰h＝１５,解得h＝６．故 AB 边上的高为６． １２．解:(１)因为S△ABC ＝２S△ADC ＝２× １ ２ × a ２ ×１×sin６０°＝ ３ ４a＝ ３ ,解得a＝４, 在△ADC中由余弦定理得b２＝１２＋２２－２×１×２×cos π３ ＝３, 在△ABD中,c２＝１２＋２２－２×１×２×cos２π３＝７ , 在△ABC中,cosB＝c ２＋a２－b２ ２ca ＝ ７＋１６－３ ２ ７×４ ＝ ５ ２ ７ ,sinB ＝ １－cos２B＝ ３ ２ ７ ,因此tanB＝sinBcosB＝ ３ ５． (２)在 △ABC 中,由 中 线 长 公 式 可 得 (２AD)２ ＋BC２ ＝ ２(AB２＋AC２),即２２＋a２＝２(b２＋c２)＝１６,所以a２＝１２,又 S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ ３ ,因而bcsinA＝２ ３,又由余弦定理 得a２＝b２＋c２－２bccosA,即１２＝８－２bccosA,所以bccosA＝ －２,故tanA＝－ ３⇒cosA＝－１２ ,所以bc＝４,又b２＋c２ ＋２bc＝８＋８＝１６＝(b＋c)２,b２＋c２－２bc＝８－８＝０＝(b－ c)２,故可得b＝c＝２． 新题快递 １．D　[在△ABC 中,由已知可得,sinA＝ １－cos２A＝３５． 又cosA＝４５＞０ ,所以 A为锐角． 由正弦定理可得,BC sinA＝ AB sinC , 所以,sinC＝ABsinABC ＝ ３ ５x ２ ＝ ３ １０x． 要使命题p是真命题,则C有唯一满足条件的解． 若０＜x＜２,则sinC＜３５ ,显然C有唯一满足条件的解; 若x＝２,则C＝A,满足; 若x＞２,且sinC＜１,即３１０x＜１ , 即２＜x＜１０３ ,此 时 C 有 两 解 满 足 条 件,此 时 命 题 p 是 假 命题; 当x＝１０３ 时,此时有sinC＝１,C＝π２ 有唯一解,满足; 当x＞１０３ 时,此时有sinC＞１,显然C无解,不满足． 综上所述,当０＜x≤２或x＝１０３ 时,命题p是真命题．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８９ ２．AD　[对于 A,由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶ c,所以sinA,sinB,sinC 作为三条线段的长一定能构成三 角形,A正确,对于B,由正弦定理得 １sinA∶ １ sinB∶ １ sinC＝ １ a∶ １ b∶ １ c ,例如a＝５,b＝１２,c＝１３,则 １a ＝ １ ５ ,１ b ＝ １ １２ , １ c＝ １ １３ ,由于１ a＝ １ ５＝ ２５ １２５ ,１ c ＋ １ b ＝ １ １２＋ １ １３＝ ２５ １５６ ,１ c ＋ １ b＜ １ a ,故不能构成三角形的三条边长,故B错误, 对于 C,由正弦定理得sin２A∶sin２B∶sin２C＝a２∶b２∶c２, 例如:a＝３、b＝４、c＝５,则a２＝９、b２＝１６、c２＝２５, 则a２＋b２＝２５＝c２,sin２A,sin２B,sin２C作为三条线段的长不 能构成三角形,C不正确; 对于 D,由正弦定理可得 sinA∶ sinB∶ sinC＝ a∶ b∶c,不妨设a＜b＜c,则a＋b＞c,故 a＜b＜c,且(a＋ b)２－(c)２＝a＋b－c＋２ ab＞２ ab＞０,所以(a＋ b) ＞c,故 D正确．] 假期作业２１ 思维整合室 １．a２＋c２ －２accosB　a２ ＋b２ －２abcosC　２．c ２＋a２－b２ ２ca 　 a２＋b２－c２ ２ab 　３． 直角　钝角　锐角 技能提升台　素养提升 １．B　２．D　 ３．A　[如图,由余弦定理可知: cosC＝２３＝ BC２＋AC２－AB２ ２BC􀅰AC ＝３ ２＋４２－AB２ ２×３×４ , 可得AB＝３,又由余弦定理可知: cosB＝AB ２＋BC２－AC２ ２AB􀅰BC ＝ ３２＋３２－４２ ２×３×３ ＝ １ ９． 故选 A．] ４．D　[依题意,５－３＜c＜５＋３,即２＜c＜８, 由于B 为钝角,所以cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＜０ ,a２＋c２－b２＝９ ＋c２－２５＝c２－１６＜０ 解得２＜c＜４, 所以c的取值范围,也即AB 的取值范围是(２,４)．] ５．A　[由正弦边角关系知:a∶b∶c＝４∶５∶６,令a＝４x,b＝５x, c＝６x,所以cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ １６x２＋２５x２－３６x２ ２×４x×５x ＝ １ ８． ] ６．A　[因为a ２－(b＋c)２ bc ＝－１ ,所以a２－(b＋c)２＝－bc, 即a２－b２－c２－２bc＝－bc,所以a２＝b２＋c２＋bc,由余弦定理 得cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝－ １ ２． 因为０°＜A＜１８０°,所以 A＝ １２０°,故选 A．] ７．解析:cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ２５＋３６－１６ ２×５×６ ＝ ３ ４ , ∴sinA＝ １－cos２A＝ ７４． 答案:７ ４ ８．解析:因为c＝２b,所以sinC＝２sinB＝３４ ,所以sinB＝３８． 因 为c＝２b,所以b２＋bc＝３b２＝２a２,所以a＝ ６２b． 所以cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ ３ ２b ２＋４b２－b２ ２ ６b２ ＝３ ６８ ． 答案:３ ８　 ３ ６ ８ ９．D　[∵sinB２＝ ３ ３ ,∴cosB＝１－２sin２ B２＝１－２× ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ １ ３． 由余弦定理得b２＝a２＋c２－２accosB＝６２＋４２－２×６×４ ×１３＝３６ ,解得b＝６．故选 D．] １０．解析:由已知及余弦定理可得cosA＝AB ２＋AC２－BC２ ２AB􀅰AC ＝ ９２＋８２－７２ ２×９×８ ＝ ２ ３． 设中线长为x,由余弦定理得x２＝ AC２( ) ２ ＋AB２－２􀅰AC２ 􀅰AB􀅰cosA＝４２＋９２－２×４×９×２３＝４９ , 即x＝７．所以AC边上的中线长为７． 答案:７ １１．解:(１)因为b ２＋c２－a２ cosA ＝ ２bccosA cosA ＝２bc＝２ ,所以bc＝１; (２)acosB－bcosAacosB＋bcosA－ b c ＝ sinAcosB－sinBcosA sinAcosB＋sinBcosA－ sinB sinC ＝１, 所以sin(A－B) sin(A＋B)－ sinB sinC＝ sin(A－B)－sinB sinC ＝１ , 所以sin(A－B)－sinB＝sinC＝sin(A＋B), 所以sinAcosB－sinBcosA－sinB ＝sinAcosB＋sinBcosA, 即cosA＝－１２ ,由A为三角形内角得A＝２π３ , △ABC面积S＝１２bcsinA＝ １ ２×１× ３ ２＝ ３ ４． １２．解:方案一:选条件①． 由C＝π６ 和余弦定理得a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ３ ２． 由sinA＝ ３sinB及正弦定理得a＝ ３b． 于是３b ２＋b２－c２ ２ ３b２ ＝ ３２ ,由此可得b＝c． 由①ac＝ ３,解得a＝ ３,b＝c＝１． 因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c＝１． 方案二:选条件②． 由C＝π６ 和余弦定理得a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ３ ２． 由sinA＝ ３sinB及正弦定理得a＝ ３b． 于是３b ２＋b２－c２ ２ ３b２ ＝ ３２ , 由此可得b＝c,B＝C＝π６ ,A＝２π３． 由②csinA＝３,解得c＝b＝２ ３,a＝６． 因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c＝２ ３． 方案三:选条件③． 由C＝π６ 和余弦定理得a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ３ ２． 由sinA＝ ３sinB及正弦定理得a＝ ３b． 于是３b ２＋b２－c２ ２ ３b２ ＝ ３２ ,由此可得b＝c． 由③c＝ ３b,与b＝c矛盾． 因此,选条件③时问题中的三角形不存在． 新题快递 １．D　[∵AB＝３,AC＝４,BC＝５,满足３２＋４２＝５２,∴∠BAC＝ ９０°,故cos∠ABC＝３５ , ∵AD 是∠BAC的角平分线,∴BDDC＝ AB AC＝ ３ ４ ,∴BD＝３７×５ ＝１５７ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９９