假期作业19 三角恒等变换-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教B版）

假期作业１９　三角恒等变换　　　　　　　 １．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝　　　　　　; cos(α∓β)＝　　　　　　　　; tan(α±β)＝　　　　　　 α±β,α,β均不为kπ＋ π ２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ２．倍角公式 sin２α＝　　　　　　　　; cos２α＝　　　　＝　　　　＝　　　　; tan２α＝ ２tanα １－tan２α α,２α均不为kπ＋π２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ３．三角函数公式的变形 (１)tanα±tanβ＝tan(α±β)(１∓tanαtanβ); (２)cos２α＝１＋cos２α２ ,sin２α＝１－cos２α２ ; (３)１＋sin２α＝(sinα＋cosα)２,１－sin２α＝(sinα －cosα)２,sinα±cosα＝２sinα±π４ æ è ç ö ø ÷． ◆[考点一]　三角函数式的化简与求值 １．３sin５π１２－cos ５π １２ 的值是 (　　) A．２　　B．２２　　C．－ ２　　D．sin ７π １２ ２．已知α∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,２sin２α＝cos２α＋１,则 sinα＝ (　　) A．１５ B． ５ ５ C． ３ ３ D． ２ ５ ５ ３．(多选)下列式子的运算结果为 ３的是 (　　) A．tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５° B．２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°) C．１＋tan１５°１－tan１５° D． tanπ６ １－tan２ π６ ４．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则cos(２α＋２β)＝ (　　) A．７９ B． １ ９ C．－ １ ９ D．－ ７ ９ ５．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cosα＝ １＋ ５ ４ ,则sinα２＝ (　　) A．３－ ５８ B． －１＋ ５ ８ C．３－ ５４ D． －１＋ ５ ４ ６．已知sinθ＝２ ５５ ,θ∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,则tan２θ－π４ æ è ç ö ø ÷ ＝　　　　． ◆[考点二]　二角变换的简单应用 ７．函数f(x)＝３sinx２cos x ２＋４cos ２x ２ (x∈R) 的最大值等于 (　　) A．５ B．９２ C． ５ ２ D．２ ８．关于函数y＝sinx(sinx＋cosx)描述正确 的是 (　　) A．最小正周期是２π B．最大值是 ２ C．一条对称轴是x＝π４ D．一个对称中心是 π８ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ ９．(多 选)设 函 数 f(x)＝sin ２x＋π４ æ è ç ö ø ÷ ＋ cos２x＋π４ æ è ç ö ø ÷,则f(x)＝ (　　) A．是偶函数 B．在区间 ０,π２ æ è ç ö ø ÷上单调递增 C．最大值为２ D．其图像关于点 π４ ,０ æ è ç ö ø ÷对称 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７４ １０．如图,矩形OABC中,AB＝１,OA＝２,以B 为圆心,BA 为半径在矩形内部作弧,点P 是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为 M,PN ⊥OC,垂足为N,则四边形OMPN 的周长 的最小值为　　　　． １１．已知OA → ＝(１,sinx－１),OB → ＝(sinx＋ sinxcosx,sinx),f(x)＝OA →􀅰OB →(x∈R)．求: (１)函数f(x)的最大值和最小正周期; (２)函数f(x)的单调递增区间． １２．已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的 非负半轴重合,它的终边过点P －３５ ,－４５ æ è ç ö ø ÷． (１)求sin(α＋π)的值; (２)若角β满足sin(α＋β)＝ ５ １３ ,求cosβ 的值． １．将 函 数 f (x)＝ ３２ sin ２x＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ ＋ cos２ x＋π６ æ è ç ö ø ÷的图象向右平移φ(φ＞０)个单 位长度,得到函数g(x)的图象关于x＝π６ 对称,则φ的最小值为 (　　) A．π６ B． π ４ C． π ３ D． ５π ６ ２．若tanα＝－２３ ,则sin２α＋π４ æ è ç ö ø ÷＝　　　　　． 前进步伐,永不停歇 六点起床很困难,背单词很困难,静下心 很困难􀆺􀆺但是总有一些人,五点可以起床, 一天背六课单词,耐心读完一本书．谁也没有 超能力,但是自己可以决定一天去做什么事 情．你以为没有路,事实上路可能就在前方一 点点．那些比自己强大的人都在拼命,我们还 有什么理由停下脚步． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８４ ４．B　[向量a,b满足a＋b＝(２,３), a－b＝(－２,１), 所以|a|２－|b|２＝(a＋b)􀅰(a－b)＝２×(－２)＋３×１＝ －１．] ５．D　[由a＋b＋c＝０得a＋b＝－c,所以(a＋b)２＝(－c)２, 即a２＋２a􀅰b＋b２＝c２,又|a|＝|b|＝１,|c|＝ ２, 所以a􀅰b＝０,所以a⊥b． 如图所示:a－c＝CA →,b－c＝CB→,由 余弦定理得|CA|＝|CB|＝ ５,所 以 cos∠ACB＝５＋５－２ ２ ５× ５ ＝４５ , 即cos‹a－c, b－c›＝４５． ] ６．解析:由|a＋b|＝|２a－b|,得a２＝２a􀅰b; 由|a－b|＝ ３,得a２－２a􀅰b＋b２＝３,即b２＝３, |b|＝ ３． 答案:３ ７．ABCD　[|a＋b|＝|a－b|⇔|a＋b|２＝|a－b|２⇔a２＋２a􀅰b ＋b２＝a２－２a􀅰b＋b２⇔a􀅰b＝０,a２＋b２＝(a－b)２⇔a２＋b２ ＝a２－２a􀅰b＋b２⇔a􀅰b＝０．] ８．D　[(a＋λb)􀅰(a＋μb)＝a ２＋(λ＋μ)(a􀅰b)＋λμb ２ ＝２(１＋λμ)＝０,所以λμ＝－１．] ９．解析:由向量a,b的夹角为 π３ ,且(a－b)⊥b, 得(a－b)􀅰b＝a􀅰b－b２＝１２|a||b|－|b| ２＝０, 所以|a|＝２|b|,|a||b|＝２． 因为|a＋b|＝ (a＋b)２＝ a２＋２a􀅰b＋b２ ＝ ４|b|２＋２|b|２＋|b|２＝ ７|b|, |a－b|＝ (a－b)２＝ a２－２a􀅰b＋b２ ＝ ４|b|２－２|b|２＋|b|２＝ ３|b|, 所以|a＋b| |a－b|＝ ２１ ３ ． 答案:２　 ２１３ １０．AC　[设a＝kb(k＞０),所以 kn＝ ３, ３k＝３,{ 解得 k＝ ３, n＝１,{ 即a＝ ３b,故 A正确; 设c＝(x,y)是与a垂直的单位向量,则有 ３x＋３y＝０,x２＋y２ ＝１,所以c＝ － ３２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ 或c＝ ３ ２ ,－１２ æ è ç ö ø ÷,故B错误; 因为 b 在a 上 的 投 影 向 量 为 ３e,所 以a 􀅰b |a| ＝３ ,所 以 ３n＋３ ３ ２ ３ ＝３,解得n＝３,故 C正确; 因为a与b的夹角为钝角,所以a􀅰b＜０且a,b不共线,所 以 ３n＋３ ３＜０, ３－３n≠０,{ 解得 n＜－３, n≠１,{ 即n＜－３,所以n∈(－∞, －３),故 D错误．故选 AC．] １１．解:如图所示,建立直角坐标系,显然EF 是AM 的中垂线,设 AM 与EF 交 于 点 N,则 N 是AM 的中点,又正方形边长为 ８,所以 M(８,４),N(４,２)． 设点E(e,０),则AM→＝(８,４),AN→＝(４,２), AE→＝(e,０),EN→＝(４－e,２), 由AM→⊥EN→得AM→􀅰EN→＝０,即(８,４)􀅰(４－e,２)＝０,解得 e＝５,即|AE→|＝５． 所以S△AEM ＝ １ ２|AE →||BM→|＝１２×５×４＝１０． １２．解:(１)∵AB→􀅰AC→＝０,∴AB→⊥AC→． 又|AB→|＝１２,|BC→|＝１５,∴|AC→|＝９． 由已知可得AD→＝１２(AB →＋AC→),CB→＝AB→－AC→, ∴AD→􀅰CB→＝１２(AB →＋AC→)􀅰(AB→－AC→) ＝１２ (AB→ ２ －AC→ ２)＝１２ (１４４－８１)＝６３２． (２)AE→􀅰CB→ 的值为一个常数． 理由:∵l为线段BC 的垂直平分线,l与BC 交于点D,E 为l上异于D 的任意一点,∴DE→􀅰CB→＝０． 故AE→􀅰CB→＝(AD→＋DE→)􀅰CB→＝AD→􀅰CB→＋DE→􀅰CB→＝ AD→􀅰CB→＝６３２(常数)． 新题快递 １．C　[关于x的方程a２x２＋２a􀅰bx＋b２＝０有实数根,则Δ＝ ４(a􀅰b)２－４a２b２≥０, 故(a􀅰b)２≥a２b２,即|a􀅰b|≥|a||b|, 又|a􀅰b|≤|a||b|,所以|a􀅰b|＝|a||b|,即向量a,b共线, 反之也成立,因此两者应为充要条件．] ２．A　[设正方形的边长为２,如图 建立平面直角坐标系． 则A(－１,０),B(１,０),C(１,２), D(－１,２),P(cosθ,sinθ)(其中０ ＜θ＜π), PA→＋PB→ ＋PC→ ＋PD→ ＝(－１－ cosθ,－sinθ)＋(１－cosθ,－sinθ) ＋(１－cosθ,２－sinθ)＋(－１－ cosθ,２－sinθ)＝(－４cosθ,４－４sinθ) 所以|PA→＋PB→＋PC→＋PD→|＝ (－４cosθ)２＋(４－４sinθ)２ ＝ ３２－３２sinθ, 因为θ∈(０,π),所以sinθ∈(０,１],所以|PA→＋PB→＋PC→＋ PD→|∈[０,４ ２), 故|PA→＋PB→＋PC→＋PD→|有最小值为０,无最大值．] 假期作业１９ 思维整合室 １．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ±sinαsinβ　 tanα±tanβ １∓tanαtanβ 　２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　１－２sin２α 技能提升台　素养提升 １．A　２．B　 ３．ABC　 [对 于 A,tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ tan(２５°＋３５°)(１－tan２５°tan３５°)＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３－ ３tan２５°tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３; 对于B,２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°)＝２(sin３５°cos２５°＋ cos３５°sin２５°)＝２sin６０°＝ ３; 对于 C,１＋tan１５°１－tan１５°＝ tan４５°＋tan１５° １－tan４５°tan１５°＝tan６０°＝ ３ ; 对于D, tanπ６ １－tan２π６ ＝１２× ２tanπ６ １－tan２ π６ ＝１２×tan π ３＝ ３ ２． 综上,式子的运算结果为 ３的选项为 ABC．故选 ABC．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６９ ４．B　[因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin ２(α＋β)＝１－２× ２ ３( ) ２ ＝１９． ] ５．D　 [由 半 角 公 式 可 知 sin２ α２ ＝ １－cosα ２ ,解 得 sin α２ ＝ ５－１４ ． ] ６．解析:sinθ＝２ ５５ ,θ∈ ０,π２( ) ⇒cosθ＝ １－sin ２θ＝ ５５ ⇒ tanθ＝sinθcosθ＝２ , ∴tan２θ＝ ２tanθ １－tan２θ ＝ ４１－４＝－ ４ ３ , ∴tan ２θ－π４( ) ＝ tan２θ－tanπ４ １＋tan２θtanπ４ ＝tan２θ－１１＋tan２θ＝ －４３－１ １－４３ ＝７． 答案:７ ７．B　[由题意知f(x)＝ ３２sinx＋４× １＋cosx ２ ＝ ３ ２sinx＋ ２cosx＋２＝５２sin (x＋φ)＋２ 其中tanφ＝ ４ ３( ) ,又因为x∈ R,所以f(x)的最大值为９２． ] ８．D　[由题意得: ∵y＝sinx(sinx＋cosx)＝sin２x＋１２sin２x＝ １－cos２x ２ ＋ １ ２sin２x＝ ２ ２sin ２x－ π ４( ) ＋ １ ２． 选项 A:函数的最小正周 期为 Tmin ＝ ２π ω ＝ ２π ２ ＝π ,故 A 错 误;选 项 B:由 于 －１≤ sin ２x－π４( ) ≤１,函数的最大值为 ２ ２＋ １ ２ ,故B错误;选项C: 函数的对称轴满足２x－π４＝kπ＋ π ２ ,x＝k２π＋ ３π ８ ,当x＝π４ 时,k＝－１４∉Z ,故C错误;选项D:令x＝π８ ,代入函数的f π ８( )＝ ２ ２sin ２× π ８－ π ４( ) ＋ １ ２＝ １ ２ ,故 π ８ ,１ ２( ) 为函数 的一个对称中心,故 D正确．] ９．AD　[∵函数f(x)＝sin ２x＋π４( ) ＋cos ２x＋ π ４( ) ＝ ２ sin ２x＋π４( )＋ π ４[ ]＝ ２sin ２x＋ π ２( ) ＝ ２cos２x,x∈R, f(－x)＝ ２cos(－２x)＝ ２cos２x＝f(x),∴f(x)为偶函 数,故 A正确． 令２kπ＋π≤２x≤２π＋２kπ,k∈Z,解得kπ＋π２≤x≤π＋kπ ,k ∈Z,当k＝０时,π２≤x≤π ,则函数f(x)在 π２ ,π( ) 上单调 递增,故 B不正确．f(x)的最大值为 ２,故 C不正确．由２x ＝kπ＋π２ ,k∈Z,解得x＝kπ２＋ π ４ ,k∈Z,可得当k＝０时,其 图像关于点 π ４ ,０( ) 对称,故 D正确．故选 AD．] １０．解析:连接BP,设∠CBP＝α,其中０≤α＜ π２ ,则PM＝１－ sinα,PN＝２－cosα,四边形OMPN 的周长C＝６－２(sinα ＋cosα),因为(sinα＋cosα)２＝１＋２sinαcosα＝１＋sin２α, 所以要让周长最小,即让(sinα＋cosα)最大,即sin２α最 大,因为sin２α在α＝π４ 时取到最大值１,所以当α＝π４ 时, 周长有最小值６－２ ２． 答案:６－２ ２ １１．解:(１)∵f(x)＝OA→􀅰OB→＝sinx＋sinxcosx＋sin２x－sinx＝ ２ ２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ ,∴当２x－ π４＝２kπ＋ π ２ (k∈Z),即 x＝kπ＋３π８ (k∈Z)时,f(x)取得最大值１＋ ２２ ,f(x)的最小 正周期为π． (２)∵f(x)＝ ２２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ , ∴当２kπ－π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 即kπ－π８≤x≤kπ＋ ３π ８ ,k∈Z时,函数f(x)为增函数． ∴f(x)的单调递增区间为 kπ－π８ ,kπ＋３π８[ ](k∈Z)． １２．解:(１)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) , 得sinα＝－４５ , 所以sin(α＋π)＝－sinα＝４５． (２)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) ,得cosα＝－ ３ ５ , 由sin(α＋β)＝ ５ １３ ,得cos(α＋β)＝± １２ １３． 由β＝(α＋β)－α,得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα, 所以cosβ＝－ ５６ ６５ 或cosβ＝ １６ ６５． 新题快递 １．A 　 [f (x)＝ ３２ sin ２x＋ π ３( ) ＋cos ２ x＋π６( ) ＝ ３ ２ sin ２x＋π３( ) ＋ １ ２ １＋cos２x＋ π ３( )[ ] ＝ ３ ２sin ２x＋ π ３( ) ＋ １ ２ cos ２x＋ π ３( ) ＋ １ ２ ＝ sin ２x＋ π ３＋ π ６( ) ＋ １ ２ ＝ sin ２x＋π３＋ π ６( )＋ １ ２＝cos２x＋ １ ２ , 所以g(x)＝cos２(x－φ)＋ １ ２＝cos (２x－２φ)＋ １ ２ , 因为函数g(x)的图象关于x＝π６ 对称,所以２×π６－２φ＝kπ (k ∈Z), 所以φ＝ π ６－ kπ ２ (k∈Z),因为φ＞０,所以k＝０时,φ＝ π ６ 最小．] ２．解析:sin ２α＋π４( )＝ ２ ２ (sin２α＋cos２α) ＝ ２２ ２sinαcosα＋cos２α－sin２α sin２α＋cos２α ＝ ２２ ２tanα＋１－tan２α tan２α＋１ ＝ ２２× －４３＋１－ ４ ９ ４ ９＋１ ＝－７ ２２６ , 答案:－７ ２２６ 假期作业２０ 思维整合室 １．asinA＝ b sinB＝ c sinC　２． 元素　解三角形 技能提升台　素养提升 １．D　２．B　３．C ４．C　[在△ABC中,已知A＝π３ ,BC＝３,AB＝ ６, 则由正弦定理可得 BC sinA＝ AB sinC ,即 ３ sinπ３ ＝ ６sinC , 求得sinC＝ ２２ , C∈(０,π),∴C＝π４ 或C＝３π４． 再由BC＞AB,以及大边对大角可得C＝π４＜A． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７９