假期作业18 向量的数量积-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教B版）

　　　　假期作业１８　向量的数量积　　　　　　　 １．向量的数量积 定义:当a与b都是非零向量时,称　　　　 为向量a与b 的数量积(或内积)．规定:零 向量与任一向量的数量积为　　　　． ２．向量数量积的运算律 (１)交换律:a􀅰b＝　　　　; (２)数乘结合律:(λa)􀅰b＝λ(a􀅰b)＝a􀅰(λb); (３)分配律:a􀅰(b＋c)＝　　　　　　． ３．向量数量积的坐标运算 设非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),‹a,b› ＝θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝　　　　 |a|＝　　　　 数量积 a􀅰b＝　　　 a􀅰b＝　　　　 夹角 cosθ＝　　　 cosθ＝　　　　 a⊥b a􀅰b＝０ 　　　　　　 ４．向量在几何中的应用 (１)证明线段平行或点共线问题,常用共线向 量定理:a∥b⇔a＝λb⇔x１y２－x２y１＝０(b ≠０)． (２)证明垂直问题,常用数量积的运算性质: a⊥b⇔a􀅰b＝０⇔x１x２＋y１y２＝０． ◆[考点一]　平面向量数量积的运算 １．已知向量a＝(６,－８),b＝(３,m),a∥b,则 a􀅰b＝ (　　) A．１４　　B．－１４　　C．５０　　D．－５０ ２．(２０２３􀅰全国乙卷(文))正方形ABCD 的边长 是２,E是AB的中点,则EC → 􀅰ED → ＝ (　　) A．５ B．３ C．２ ５ D．５ ３．已知向量AB → ＝(２,０),AC → ＝(－１,２),且满足(λ AB → ＋AC →)⊥BC →,则λ的值为　　　　　． ◆[考点二]　利用向量数量积求向量的夹角 和模 ４．(２０２３􀅰北京卷)已知向量a、b满足a＋b＝ (２,３),a－b＝(－２,１),则|a|２－|b|２＝ (　　) A．－２ B．－１ C．０ D．１ ５．(２０２３􀅰全国甲卷(理))向量|a|＝|b|＝１, |c|＝ ２,且a＋b＋c＝０,则cos‹a－c,b－c› ＝ (　　) A．－１５ B．－ ２ ５ C． ２ ５ D． ４ ５ ６．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a－ b|＝３,|a＋b|＝|２a－b|,则|b|＝　　　　． ◆[考点三]　平面向量的垂直及应用 ７．(多选)已知a,b 为非零向量,且a＝(x１, y１),b＝(x２,y２),则下列命题中与a⊥b等 价的有 (　　) A．a􀅰b＝０ B．x１x２＋y１y２＝０ C．|a＋b|＝|a－b| D．a２＋b２＝(a－b)２ ８．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(１,１),b ＝(１,－１),若(a＋λb)⊥(a＋μb),则 (　　) A．λ＋μ＝１ B．λ＋μ＝－１ C．λμ＝１ D．λμ＝－１ ９．已知向量a,b的夹角为π３ ,(a－b)⊥b,则 |a| |b|＝　　　 ,a＋b a－b ＝　　　． ◆[考点四]　平面向量数量积的综合应用 １０．(多选)若向量a＝(３,３),b＝(n,３),下 列结论正确的有 (　　) A．若a,b同向,则n＝１ B．与a垂直的单位向量一定是 － ３２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ C．若b在a 上的投影向量为３e(e是与向 量a同向的单位向量),则n＝３ D．若a与b 的夹角为钝角,则n的取值范 围是(－３,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５４ １１．如图所示,ABCD 是正方 形,M 是BC 的中点,将 正方形折起使点A 与 M 重合,设折痕为EF,若正 方形面积为６４,求△AEM 的面积． １２．在 △ABC 中,AB →􀅰AC → ＝０,|AB → |＝１２, |BC → |＝１５,l为线段BC 的垂直平分线,l与 BC交于点D,E为l上异于D的任意一点． (１)求AD →􀅰CB → 的值; (２)判断AE →􀅰CB → 的值是否为一个常数, 并说明理由． １．已知向量a,b是非零向量,设甲:向量a,b 共线;乙:关于x的方程a２x２＋２a􀅰bx＋b２ ＝０有实数根;则 (　　) A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 ２．(多选)如图,以 AB 为直径 在正方形内部作半圆O,P 为半圆上与A,B 不重合的 一动点,下面关于|PA → ＋PB → ＋PC → ＋PD → |的说法正确的是 (　　) A．无最大值,但有最小值 B．既有最大值,又有最小值 C．有最大值,但无最小值 D．既无最大值,又无最小值 诺贝尔奖不设数学奖,但国际数学界有一 个代表数学界最高成就的大奖———菲尔兹奖． 菲尔兹奖于１９３２年在第九届国际数学家 大会上设立,１９３６年首次颁奖．该奖以加拿大 数学家约翰􀅰菲尔兹的名字命名,授予世界上 在数学领域做出重大贡献且年龄在４０岁以下 的数学家．该奖由国际数学联盟(简称IMU) 主持评定,每４年颁发一次,每次获奖者不超 过４人,每人可获得一枚纯金制作的奖章和一 笔奖金．奖章上刻有希腊数学家阿基米德的头 像,还有用拉丁文镌刻的“超越人类极限,做宇 宙主人”的格言． １９８２年,美籍华人数学家丘成桐荣获菲 尔兹奖,成为获此殊荣的第一位华人． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６４ 三0022 一教 9.解析：依题意知a=2818=23A=28,18-=5y=23+ 2 不封取=0，则x)=i(2一)】 5cos[晋(r-6小当=10时y=23+5cs(若×4）=20.5. 则()如() 答案：20.5 10,解折：设A)小B(则十华=音十9 2.C[国为y=o(2:+晋)向左平移若个单位所得画数为 =o[(+若)十晋] (肾0）将以4×要+g=2m,即= 2,所以f(x) cos(2r+）=-n2r,所以fu)=-m2, i(r-）)=i(4x-) 而y=7-呈然过(0，-号)与1,0)两点： 作出f)与y=名一专的大致国像如下 1 管案：一号 1.解：1)由题图知}T=音-（吾）平 fx) ∴函数f(x)的最小正周期T=元. 由题图知f(x)的最大值为1，最小值为一1. 考虑2x=-8，2x=3,2x 3元 (2)由1知m-票=2.由题意得2×（音）十g=2kx, 2 7，即x ∈.解得g=2张x+.又-<9<受9= 处)与y-一的大小关系， 则f)=m(2r+晋令2x-受≤2x+号≤2x+受 (∈Z),得x 晋≤<k红+登∈D,就高教 ×(7）8-1 8 代)的单调适增区同是[k红-登：x+]∈D, 3x一4<1： 12.解：1)对于画教y=Asim(ox十g),由因像可知，A=8y 8 ,cd 3 =学=可=吾特(8）入y-8。 7r一41: 8 sim(告x十9)中，可得sin(晋+9）=1，故晋+g=2x+ 所以由图可知)与y=立一号的交点个数为3.] 受∈D,9=2x-吾（∈.因为g<受，所以9 假期作业18 思维整合室 -景故y8gm(告-吾）[4.. 1.al1 blcos902.(1)b·a(3)a·b+a·c 3.a·a√+y7 allblcos0x1+y为 a·b (②在y一8（晋一香）中，个=4得y=4,故D4. ab x1e十y1y 从而得OD对应的函数为y=2VF(0≤x≤4)，设点 √+·+ 。x十My=0 P(行小0≤≤，则矩形PMFE的西积S=（-专)/ 技能提升台素养提升 0<1≤4.周为S=4-买，由S=0,得1=45，当1 1.C[因为向量a=(6,-8),b=(3,m),a∥b,所以6m十24= 3 0,解得：m=-4,a·b-18-8m=-18-8×(-4)=50.] （o,）时，S>0s单洞递培：当(g,4小时，<05 2.B[以(AB,AD为基底向量，可知AB=1AD1=2,AB· AD-0 单调适减。所以当1=4时，S最大，此时点P的坐标 3 剥C-E品+BC-号AB+D.ED=E+D=-号A店 +AD. 新题快递 所以B武.成=（侵A店+A可）·（A+AD)=-号 1.D[因为a)=sin(ar十p)在区间（任，）单调递增， AB+AD=-1+4=3.] 所以号---且。>0，T= 2x=2 3.解析：因为BC-AC-A店=(-3,2)，所以(aA店+AC)1B →(AAB+AC)·BC-=0→xAB·BC+AC·BC=0,即-6x 当r-吾时，f)取得最小值，则2：吾十g=2张x一受k∈ 十7=0，解得以-名 7.则=2x-晋，∈五. 答案：日 95 化受味乐限洲 SE 4.B[向量a,b满足a十b=(2,3), 由AM⊥EN得AM·EV=0,即(8,4)·(4-e,2)=0,解得 a-b=(-2.1), 所以a2-|b2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1= e=5,即AE1=5. -1.] 所以Saam=号A1Bi=号×5X4=10. 5.D[由a十b+c=0得a十b=-c,所以(a+b)=(-c), 12.解：(1)AB·AC=0,∴ABLAC. 即a+2a·b+b=c2,又|a=bl=1,c=2. 所以a·b=0,所以a⊥b. 又AB1=12,BC=15..AC1=9. 如图所示：a-c=CA,b-c=CB,由 B 由已知可得矿-是+心.成=成-花. 余弦定理得CA=CB=5,所以 cos∠ACB=5+5-2=4 A市.C成-之店+AO·(店-AC 25×55· 即cos(a一c -应-A衣)-之144-8)-婴 -c)=÷J (2)A正.CB的值为一个常数」 理由：：1为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D,E 6.解析：由a+b=12a-b,得a=2a·b: 为1上异于D的任意一点∴DE·CB=0, 由a-b=5.得a2-2a·b+b=3.即b=3. 故A正，CB=(AD+D)·CB=Ab.C第+D正.C第 1b1=5. 答案：3 市.成-经（常数）. 7.ABCD[la+b=a-b台a+b12=a-b'=a2+2a·b 新题快递 +b=a2-2a·b+b=a·b=0,a+b=(a-b)2=a+b 1.C[关于x的方程a°x+2a·br+b=0有实数根，则△ =a-2a·b+b=a·b=0.] 4(a·b)-4a2b≥0， 8.D[(a+b)·(a+b)=a+(a+)(a·b)十h 故(a·b)≥ab,即la·b≥al|b, =2(1+r)=0,所以=-1.] 又a·b≤alb,所以a·b=ab,即向量a,b共线， 解析：由向量a,b的夫角为受，且(a一b)Lb: 反之也成立，因此两者应为充要条件，] 2.A[设正方形的边长为2，如图 得a-bb=ab-6=合a1b-b=0, 建立平面直角坐标系， 则A(-1,0),B(1,0),C(1,2), 所以a=2B…8=2 D(-1,2),P(cos0.sin0)(其中0 <0π）， 周为a+b=√(a+b)=√a+2a·b+b PA+PB+PC+PD=(-1- =√4b+2b+b下=√71b. cos 0.-sin )+(1-cos 0,-sin 0) 0 1a-b=√(a-b)F=√a-2a·b+b +(1-cos0,2-sin0)+(-1 =√4b-2b+b下=√3b1, cos 0,2-sin 0)=(-4cos 0.4-4sin 0) 所以a+b=红 所以PA+PB+PC+PD1=√(-4cos0)+(4-4sin0) a-b3· =√/32-32sin0, 答案：2团 3 因为e(0,x),所以sin0∈(0,1]，所以1PA+P店+P元+ 10.AC[设a一h(>0,所以=5解得=E。 PD1∈[0,4W2), 1W5k=3, n=1, 故P+PB+P心+PD有最小值为0，无最大值.] 即a=√3b,放A正骑： 假期作业19 设e=(xy)是与a垂直的单位向量，则有x十3y=0,x+十y 思维整合室 l,sin acoscsincosacos壮sinsin月甲tan atan月 tana士tan3 =1,所以-气号)浅一(.)故B特送： 2.2sin acos a cos'a-sin'a 2cos'a-1 1-2sin'a 因为b在a上的投影向量为3肥，所以a:中=3，所以 a 技能提升台素养提升 3m+33=3,解得n=3,故C正确： 1.A 2.B 23 3.ABC[对于A,tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°= 因为a与b的夫角为钝角，所以a·b<0且a,b不共线，所 tan(25°+35)(1-tan25°tan35)+5tan25°tan35°=√3- 以5m+35<0,解得3即m<-3,所以n(-0. √5tan25tan35°+√51an25tan35°-3； 13-3n≠0， 入n≠1， 对于B,2(sin35c0s25+co535c0s65)=2(sin35cos25°+ 一3)，故D错误.故选AC.] cos35sin25)=2sin60°=√3： 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM的中垂线，设AM与EF交于点 对于C,}+an15=an45十an15 1-tan 15 1-tan 45'tan 153 =tan60°=√3： N,则N是AM的中点，又正方形边长为 8,所以M(8,4),N(4,2). 对于D, 设点E(e,0),则AM=(8,4),AV=(4,2),o而 1-ame吾 2 2 AE=(e,0),EN=(4-e,2), 综上，式子的运算结果为√3的选项为ABC.故选ABC.] 96